COS X

v/R.-hR.

sm a =

et la formule (i) donne

655. Lorsque les rayons de courbure sont de signes contraires, le théorème précédent doit être modifié, la valeur choisie pour tang a serait, en effet, dans ce cas imaginaire; on devra poser

cos^

sin a =

et par. suite

LRï(R. — R.) R.MR.— ROJ H.H.

656. La direction qui correspond à l'angle défini dans les deux paragraphes précédents est la diagonale du rectangle construit sur les axes de l'indicatrice, lorsque celle-ci est elliptique, et celle d'une asymptote dans le cas où, les ravons de courbure étant de signes contraires, l'indicatrice est hyperbolique.

Nous appliquerons la remarque précédente, qui est due à M. 0. Bonnet, à la recherche de la loi suivant laquelle varie le produit des courbures principales le long de la génératrice d'une surface gauche. En un point quelconque d'une telle surface, la génératrice rectiligne est dirigée suivant l'asymptote de la section indicatrice. Si donc, à partir d'un point M situé sur une génératrice, on porte sur cette droite une longueur infiniment petite MM', l'angle formé par les normales aux

points M et M', divisé par la distance MM', donnera la valeur cherchée de \/ ^^^

On a vu (102) que la tangente de l'angle formé par le plan tangent d'une surface gauche avec un plan fixe passant par la génératrice qui contient son point de contact est proportionnelle à la distance de ce point de contact à un point fixe de la génératrice; en désignant cet angle par tp, et par z la distance OM du point de contact M au point tixe 0, on a

lang9 = G2,

G restant constant sur une même génératrice, on en conclut

cp = arc lang (j2, (sdz

do =