LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. C

l'équation (7) devient par suite

Remplaçant Z par/?X + qY, et remarquant qu'en indiquant par des parenthèses les dérivées partielles prises avant d'avoir remplacé z par sa valeur en x et y, on a

dX

dx

\dx j \ dz 1 dx

dX

dj ~

/d\\ /dX\ dz

-[dr)^[dz) dr'

dY dx

/^Y\ fdY\ dz ' \dx j \ dz j dy '

dY dy

\ dyj \ dz J dy

dz ^ dz . '^ ' 1 ' • . , ,

^ et ^ ayant ete désignes parp et q, en ayant égard à ces équations, la condition (8) devient

, . r„û?X , ^^fi?X , , ^r,dX~\ V^dY dY dYl

en nommant ds l'arc infiniment petit de la courbe à laquelle la droite considérée est tangente, on a

dx dy dz

ds ds ds

et par conséquent

x'^+Y'l^ + ipX-^nY)^ = ^'l^ + ^^r^d Xdz__dX dx dy ^^^ ^"i > dz dx ds^ dy ds ^ dz ds - dJ

de même

X^ + Y — +Z — = — • dx dy dz ds '

Téquation {9) équivaut donc à

dX dY ^-dJ^^-d^'

ou

dX dY (10) ds^d^^

P Q ' on a d'ailleurs X^* + Y^ + Z= = i , et par conséquent

ds ds ds