PREMIÈRE PARTIE. - CALC

on conclut (le fio)

c'est-à-dire, à cause de (i i),

donc enfin

dX

ds

„ d'L dX

ds ds

dX dX d'L

ds ds ds

ce qui prouve que la direction qui fait avec les axes les angles dont les cosinus sont

proportionnels à /?, q, — i , coïncide avec celle qui fait des angles dont les cosinus

t. .• I ' dX dY d7j , •> 1 T • ,, 1 .

sont proportionnels a — , -^ , -^ ; la première de ces directions est celle de la

normale à la surface I, et la seconde, celle de la normale principale à la courbe S. Pour que ces deux directions coïncident, il faut et il suffit que le plan osculateur de la courbe 2 soit normal en chaque point à la surface S.

6G2. Le même théorème peut se démontrer géométriquement de la manière suivante: pour que les droites d'un faisceau soient normales à une même surface, il faut et il suffit (649) que chacune d'elles soit rencontrée par deux autres infiniment voisines et situées dans des plans perpendiculaires l'un à l'autre, et passant par la droite considérée. Considérons, dans le cas qui nous occupe, l'une quelconque D des droites du faisceau et la ligne géodésique 1 à laquelle elle est tangente : l'une des droites infiniment voisines du faisceau qui rencontre la ligne D est évidemment la tangente infiniment voisine de 2, et le plan qui les contient toutes deux est (563) lé plan osculateur de cette courbe; toutes les droites du faisceau étant tangentes à la surface désignée par S, soient A le point de contact de D, et A' celui de la seconde droite infiniment voisine, qui, faisant partie du faisceau, rencontre la droite D; la ligne AA' est à la limite tangente à la surface S dont le plan DAA' est par conséquent le plan tangent; l'un des deux plans qui passent par la droite D et par une droite infiniment voisine du faisceau est donc osculateur à une ligne géodésique de S, et l'autre tangent à cette surface ; il en résulte (631) qu'ils sont perpendiculaires l'un à l'autre.

L'étude de la démonstration précédente peut donner lieu à une difficulté à laquelle il est nécessaire de répondre. Le raisonnement par lequel nous prouvons que le plan passant par la droite D et par une droite infiniment voisine du faisceau est tangent à la surface S, semble applicable aux deux droites du faisceau qui ren-