LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
(Ç — s) yj'i ^ p^-Y-q'^ est donc la longueur même de cette normale qui se trouve égale au rayon de courbure principal. Il en résulte que deux normales infiniment voisines se coupent précisément au centre de courbure de la section principale.
667. Lorsque l'équation d'une surface est donnée sous la forme
il est quelquefois commode d'introduire dans l'équation différentielle des lignes de courbure les dérivées partielles de la fonction 9, au lieu des dérivées de z par rapport à X et à r. On pourrait aisément faire cette transformation dans les formules précédemment obtenues, mais il est plus simple de reprendre la question pour la traiter avec cette notation nouvelle, ç, vj.Ç désignant toujours les coordonnées courantes, la normale au point dont les coordonnées sont x,y, z, a pour équations
que l'on peut écrire
■n —r dcp
dx
~ do dz
do dz
, do
.do do
^ ' dz ^ ■ ' dy
Pour exprimer que la normale au point x, y, z rencontre celle qui correspond au point voisin dont les coordonnées sont x-^dx, y+dy, z-\-dz, il faut écrire que les équations (2) sont compatibles avec celles que l'on obtient en les différentiant par rapport à x, j, z, considérés comme variant simultanément: on a ainsi
L'élimination de (^-^), (vj-j), [^-z] entre les équations (2) et (3) donne On a d'ailleurs
^- (è) = ÎtÏ ^'^ + .-S:. ^^r+ :& ^^'
,dx] dx' '^ dx dy -^ ^ dx dz (5) d.('^\--^dx^'^''^dr-^ "^'"^ dz
j /do\ d'o , d'o , d'o ,
et, parla, l'équation (4) se transforme en une équation du second degré entre dx, dy, dz, à laquelle il faut adjoindre
^9 j . do j do j dx dy -^ dz
668. Examinons le cas où le plan tangent au point x, j, :; étant parallèle au plan des XY, les tangentes aux lignes de courbure sont parallèles à l'axe des X et à
l'axe des Y. On a alors, en ce point, c?z = o, ^ = o, ^ = o, et l'équation (4)
doit avoir pour solutions dx = o, dy=o; or ces hypothèses lui donnent l'une des formes
dz " l dx
^9 j fd
lo
dz \dx^ suivant que l'on suppose dx^o ou dy = o. On a d'ailleurs
, (do\ d'o j , d'o j j d'o ,
, (do\ d^o j d'o , d'o ,
^\Tr)=d^/^-^'d^^^r+diTz'^'^
c'est-à-dire, puisque dans l'équation (6) on a dx = o, dz = o, et dans ('■) dy=^o, dz=:o,
J (do\ d-o , , (do\ d^o ,
'^- \dx)=d^y ^y^ ^' \Ty) =lb^y^''^
et par conséquent, ^ n'étant pas nul, les équations (6) et (7) se réduisent l'une et l'autre à
dx dy^ '
c'est la condition nécessaire et suffisante pour qu'en un point où le plan tangent est parallèle au plan des XY, les lignes de courbure soient tangentes aux axes de coordonnées.
669. Considérons une ligne de courbure sur une surface quelconque, et nommons X, Y, Z les cosinus des angles formés par la normale à la surface avec les gxes de coordonnées. La ligne de courbure étant tangente en chaque point à une
