LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Les dérivées relatives à la seconde variable v s'exprimeraient de la même manière. Le cas où la variable w se confond avec a mérite d'être remarqué, et conduit a un

résultat qui sera utilisé: -^ étant égal à l'unité, et les dérivées par rapport à // devenant des dérivées par rapport a a, on a

dx d\ ^ dX d^ dcx. ^ dot. flp dx

dr dY • d\ d^ doL «a: d^ dy.

dz^ dl dZ f/;3

du-^' da ■^''' J3 Ta

Dans ces trois équations, on a pris pour variables indépendantes le paramètre a et une variable quelconque v qui reste constante dans le calcul des dérivées par rapporta^,. On voit que dans les seconds membres les dérivées ^ , ~ -, ^-r- ont Dour

(la dcc doc '

coefficient le rayon de courbure p. relatif à la ligne de courbure perpendiculaire à celle pour les points de laquelle a est constant.

671 . Lorsque x, y, z, X, Y, Z, ont été exprimés en fonction de deux variables quelconques M et v, il existe entre les dérivées partielles de ces fonctions des relations nécessaires que nous allons faire connaître.

On a, pour un déplacement quelconque effectué sur la surface,

(i) Xdx-\-\ dx-^-1dzz=o,

et puisque x, y, z sont fonctions de u et de r, en appliquant l'équation (i) aux deux déplacements qui résultent d'un changement infiniment petit attribué à une 'seule des deux variables, on a

y^dx dr ^ r, dz du du du

^ dx dy ^ydz dv dv dv

L'équation

donne d'ailleurs

A — f- Y —. hZ -7- = 0,

du du du

^ d\ ^.d\ ^dZ

dv dv dv

dx du ~

du dv

dx dv*'

dy du ~

,, dY ^^dY

du dv

dY ^, du

dY dv

dz du

,, dZ , -^ dZ du dv

dz dv''

dZ dv

Chacune des deux équations (3) doit être une conséquence des équations (2); car s'il en était autrement, on aurait trois équations distinctes entre X, Y, Z, dont la seule solution possible serait

Il faut donc que les équations (2) puissent s'obtenir en ajoutant les équations (3) après les avoir multipliées par des coefficients convenablement choisis, et l'on a par conséquent, en désignant par M et N des- fonctions convenables,

La démonstration de ces équations est en défaut lorsque les deux équations (3) rentrent l'une dans l'autre, c'est-à-dire dans le cas où l'on a

Ces relations expriment que Y et Z sont fonctions de X, ou en d'autres termes que X, Y, Z peuvent s'exprimer tous trois en fonction d'une seule variable; à chaque valeur de cette variable correspond une direction de la normale, et comme il n'est pas possible qu'une surface admette une infinité de plans tangents parallèles entre eux, le plan tangent correspondant est déterminé. L'équation du plan tangent étant déterminée par une seule variable, la surface est l'enveloppe des positions d'un plan dans l'équation duquel figure un seul paramètre, c'est-à-dire une surface développable. Les surfaces développables font donc seules exception au résultat que nous venons d'obtenir.

672. Lorsque après avoir choisi deux variables quelconques u et ^, on aura formé les équations dont la possibilité vient d'être démontrée,

' dZ

dx ^, f/X ^, du du du dv

d^ XT,

-7-4- N' du

dv '

dy ^,dY ^, dY du du dv

dz ,, c/Z ^, dZ du du dv

dv~

dZ ,,, du

Tv'