LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

on pourra en déduire, en chaque point, l'expression des deux rayons de courbure de la surface. Si l'on se déplace en effet sur une ligne de courbure, on a (669;, en nommant p le rayon correspondant,

(2) dx = pd\, df=pdY, dz = pdZ,

c'est-à-dire,

Ix , dx , fdX j dX , \

r^du+^,d. = p(^-^du + -^d.j

dr , dr , (dY , ^Y , \

dz j dz j ( d7u j dZ j \

(ijc dioc En remplaçant dans ces équations -r- ? -j- ' * • • ' pour les valeurs déduites du système (1), on obtiendra trois équations de chacune desquelles on pourra déduire la valeur de l'un des trois rapports

et ces valeurs seront précisément les mêmes. Or on sait, cependant, que ces trois fractions ne sont égales que dans le cas d'une surface développable; en excluant donc ce cas, il faut que les expressions identiques fournies pour ces rapports par

nos équations se réduisent à - » et pour cela on doit avoir

dY'

dz:

• (M — p)du-+-M'dv = o, (5)

1^ du-h{'S' — p)dv = o; on en conclut

équation du second degré qui fera connaître les rayons de courbure, p étant connu, les équations (5) fourniront la valeur du rapport j- qui convient à la ligne de courbure correspondante.

Si l'on suppose que l'une des lignes de courbure corresponde à une valeur constante de w, on a pour cette ligne du = o; comme d{^ est nécessairement alors différent de zéro, les équations (5) donnent

M' = o, N' = p, ce qui s'accorde avec les résultats obtenus plus directement (670).

Surface tangente aux normales d'une surface donnée.

673. Les normales d'une surface sont, en général, tangentes à deux autres surfaces que les résultats précédents permettent de définir. Si l'on considère, en effet, les lignes de courbure de l'un des systèmes, les normales menées à la surface par les points de chacune d'elles sont tangentes à une même courbe, et la surface lieu de ces courbes est évidemment tangente à toutes les normales de la proposée. Les lignes de courbure du second système peuvent servir de même à déterminer une seconde surface également touchée par toutes les normales de la première.

674. Aucune autre surface ne partage avec celles que nous venons de définir la propriété d'être touchée par toutes les normales de la proposée. Supposons, en effet, une surface 2, touchée en chacun de ses points par une des normales de S. Nous pouvons concevoir que l'on ait tracé sur I des courbes tangentes en chaque point à la normale correspondante de S; les tangentes à l'une de ces courbes forment une surface développable dont les génératrices sont normales à S et coupent par conséquent celle-ci suivant une ligne de courbure. La surface 2 est par conséquent le heu des arêtes de rebroussement des surfaces développables formées par les normales aux divers points des lignes de courbure de S, c'est-à-dire l'une des deux surfaces définies au paragraphe précédent.

675. Les deux surfaces auxquelles sont tangentes, comme on vient de le voir, les normales d'une même surface, ont entre elles une certaine dépendance. En les choisissant arbitrairement, il serait impossible, en général, de trouver une troisième surface dont les norm.ales leur fussent tangentes à toutes deux.

Les deux surfaces 2 et 2', auxquelles sont tangentes les normales d'une même surface S, sont telles, en effet, qu'en quelque point de l'espace qu'on suppose placé l'œil d'un observateur qui les regarde, leurs contours apparents paraissent se couper à angle droit.

Pour démontrer ce théorème, considérons un point quelconque de la surface S, et les deux lignes de courbure qui s'y croisent; les normales à la surface, menées parles points de chacune de ces lignes de courbure, forment deux surfaces développables dont chacune est tangente à l'une des surfaces 2 et 2', et son arête de rebroussement est située sur l'autre. Il semble au premier abord que toutes les génératrices de la surface développable étant tangentes aux surfaces 2 et 2', cette surface leur est elle-même tangente à toutes deux, mais cela n'a pas lieu cependant, comme on l'a expliqué (662) pour celle qui contient l'arête de rebroussement, parce que le plan qui contient deux tangentes infiniment voisines d'une surface cesse d'être tangent à la surface lorsque la ligne qui joint les points de contact se confond à la limite avec chacune des deux tanstentes.