LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

on en déduit

(5) lx—lx=c,

et elle exprime par conséquent que le rapport - est égal à une constante. La première de ces équations représente évidemment la projection des parallèles sur le plan des XY, et la seconde la projection des méridiens. Si la fonction 9 était telle, que Ton eût

l'équation (2 ) serait identiquement satisfaite, et les lignes de courbure deviendraient indéterminées. Ce cas est celui où la surface est spliérique. Si nous posons en effet x^ -h j^ = u, l'équation (6) devient

on en déduit

Le second membre est la dérivée de \J—c—/au\ on a donc

C et c' désignant deux constantes. L'équation de la surface de révolution dont les lignes de courbure sont indéterminées est par conséquent

équation d'une sphère dont le centre est sur l'axe des z.

687. L'analyse précédente prouve que parmi les surfaces de révolution la sphère est la seule dont les lignes de courbure soient indéterminées. On peut démontrer aisément qu'aucune autre surface ne partage avec elle cette propriété.

Pour que les lignes de courbure d'une surface soient indéterminées, il faut évidemment que chaque point soit un ombilic, et que la direction des sections princi-

pales soit arbitraire. La sphère et le plan remplissent évidemment cette condition; nous allons montrer qu'elles sont les seules. Considérons en effet une surface dont chaque point soit un ombilic; les deux rayons de courbure étant égaux en chaque point, les deux nappes de la surface, lieu des centres de courbure, se confondent. Si l'on considère sur cette surface une ligne quelconque, elle sera le lieu des'centres de courbure relatifs aux points d'une certaine ligne tracée sur la surface proposée. Les normales menées parles points de cette dernière ligne sont par conséquent tangentes à la première : on en conclut que si xM est un point de la surface lieu des centres de courbure, et A le point correspondant de la surface proposée, la droite AM est tangente à toute courbe tracée par le point M sur la pre-, mière surface; le lieu des points M a donc, en chaque point, une tangente et non un plan tangent. Ce lieu est par conséquent une courbe et non une surface; mais alors toutes les normales à la surface proposée devraient être tangentes à une même courbe et former une seule surface développable. Cela est évidemment impossible ; le lieu des points M doit donc se réduire à un point, et la surface lieu des points A est une sphère.

688. L'analyse conduit aisément à la même conséquence. Si tous les points d'une surface sont des ombilics, on a (635), pour toutes les valeurs de x et de r,

d'où l'on déduit, en remarquant que

i-hq'~

nt que

.dp ■ dy-

dq dx

I dq ' q dx^

i-hq'

I dp 'pdj-'

ou, ce qui revient au même,

[l. \/i-hp'—lq) = o,

-^(Ls/i-^q^-lp)=o.,

et par conséquent — — — est indépendant de a?, et — — ^indépendant de y. On a donc

i-\-q' = Xp\

Y étant une fonction de r, et X une fonction de x. On déduit de ces deux équations

et l'équation -f =z -^ donne par suite * ay dx ^

I rfX I f/Y

(,4-xf "^-^ (J + Yr "^^

Le premier membre de cette équation ne dépendant que de x, et le second que de j, il faut qu'ils soient tous deux constants; posons donc

c'est-à-dire

d^sJi-\-\.

c et c' étant des constantes.

On aura de même

cj-4-c"

Si de ces équations on déduit X et Y, qu'on les substitue dans les valeurs de p et de y, puis dans l'équation

dz = p dx H- q df, on a

et par conséquent,

équations d'une sphère.