LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. lii

pondant évidemment à celle de deux surfaces du système transformé, les lignes de courbure de l'une quelconque des surfaces transformées sont les lignes correspondantes aux lignes de courbure de la surface qui lui a donné naissance.

Ce tbéorème s'applique, on le voit aisément, à la transformation par rayons vecteurs réciproques d'une surface quelconque, qu'elle fasse ou non partie d'un système de surfaces orthogonales. La restriction est en effet inutile, parce que la condition qu'elle exprime est remplie par une surface quelconque, sans qu'il y ait aucune exception. Si l'on trace en effet, sur une surface quelconque, les lignes de courbure de l'un et l'autre système, et que par les points de chacune d'elles on élève des normales, on formera deux séries de surfaces développables se coupant orthogonalement, et qui, avec les surfaces parallèles a la surface donnée, formeront évidemment un triple système orthogonal dont celle-ci fait partie. Le théorème précédent lui est par conséquent applicable, et lorsqu'on la transforme par rayons vecteurs réciproques, ces lignes de courbure ont pour transformées les lignes de courbure de la surface obtenue.

Détermination des lignes de courbure dans quelques cas simples.

684. La détermination des lignes de courbure d'une surface revient à trouver une courbe d'après la direction connue de sa tangente en chaque point. Ce problème conduit aune équation différentielle qui a été formée (665). Larecherchede l'équation sous forme finie, quand on veut prendre pour point de départ cette équation différentielle, conduit à un problème de calcul intégral que nous n'aborderons pas dans ce chapitre, et que l'on est loin d'ailleurs de savoir résoudre d'une manière générale.

Nous nous bornerons à traiter quelques cas simples dans lesquels des considérations géométriques font connaître les lignes de courbure. Il est facile de vérifier ensuite que leur équation satisfait à l'équation différentielle connue.

685. Surfaces de révolution. — Les lignes de courbure d'une surface de révolution sont évidemment les méridiens et les parallèles de la surface. Les normales aux différents points d'un méridien sont en effet situées dans le plan de ce méridien, et se rencontrent par conséquent deux à deux. Les normales aux différents points d'un même parallèle forment un cône au sommet duquel chacune est rencontrée par la normale infiniment voisine. Ces lignes de courbure se coupent, comme cela doit être, à angle droit.

Les deux rayons de courbure principaux sont évidemment, en chaque point, le rayon de courbure de la ligne méridienne et la portion de normale comprise entre la surface et l'axe.

Lorsque la surface de révolution est sphérique, toutes les normales passent par le centre, et une ligne quelconque tracée sur la surface peut être considérée comme liffne de courbure.

686. Les résultats précédents peuvent aisément se déduire des formules données plus haut.

Soit

(i) z = (?{x'-hy')

l'équation d'une surface de révolution autour de l'axe des z. On en déduit

dz

dz

L'équation différentielle des lignes de courbure (665) devient, par la substitutioii^-i^ de ces valeurs, î%

(2) [8c^'^a:^+r')-^9"i^'+r)][^r[^y-^i^'-rn S-^r]=«-

Le second facteur égalé à zéro donne deux valeurs de -p ?

dy- X

dx r

dy x^

dx X La première de ces équations équivaut à

y dy -{- X dx =^ o ; on en déduit

La seconde peut s'écrire

dy dx