LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
On déduit de (2)
dy ^ oidx , et par suite
d\=:ocd\;
on en conclut que pour tous les points d'une même ligne de courbure, la différence Y — aX est constante; cette constante pouvant d'ailleurs varier d'une ligne de courbure à l'autre, désignons-la par 9 (|S); nous aurons
(3) Y-aX = 9(^);
.en indiquant par â les variations correspondantes aux lignes de courbure du second système, on a (636)
(4) • dfèq-{-dxdp = o,
et par suite, a cause de
dy
dx on a
on en conclut
(5) p-^xq=y,
y restant constant pour une même ligne de courbure du second système; mais on a
s/i-hp'-hq' \li-\-p' + q' s/i-i- p'-hq'
et l'équation (5) peut s'écrire
(7) X + aY-t-j/Z = o; on en déduit
(8) ^ âX+aôY + yôZ = o,
et comme c?^, ây, âz sont proportionnels à d'X, âY, âZ,
{9) ox-\- ocây-{-yèz=Oj
et par conséquent
h restant constant ainsi que a et 7 pour tous les points d'une même ligne de courbure du second système; l'équation (r o) représente un plan. Quelles que soient les valeurs de 7 et de A, le plan est perpendiculaire à ceux des lignes de courbure du premier système dont l'équation est
705. Surf aces dont toutes les lignes de courbure sont planes. — Plusieurs géomètres ont
étudié les surfaces dont les lignes de courbure sont planes; nous nous bornerons à démontrer ici les résultats les plus simples auxquels ils sont parvenus.
Lorsqu'une ligne de courbure est plane (678), les normales à la surface menées par les différents points forment avec son plan un angle constant. Si donc par le centre d'une sphère on mène des parallèles à ces normales, elles formeront un cône de révolution et couperont la sphère suivant un cercle dont le plan est parallèle à celui de la ligne de courbure.
Si toutes les lignes de courbure d'une surface sont planes, celles qui leur correspondent sur la sphère dont nous avons parlé, formeront deux séries de cercles, et ces cercles se couperont à angles droits. Soit en effet M un point de la surface où se croisent deux lignes de courbure MA et MB ; considérons la normale 3IN en M, et les normales infiniment voisines AO et BO', menées par les points A et B situés sur les deux lignes de courbure, à distance infiniment petite de M; les deux plans OAM, O'B'M, sont perpendiculaires l'un à l'autre: or, en menant parle centre d'une sphère trois rayons CMo CA,, CB,, parallèles à OM, OA, O'B, les plans CMA, CMB sont parallèles à OAM, O'BM, et par conséquent perpendiculaires entre eux, en sorte que les lignes M< A, , M, B, , qui, sur la sphère, correspondent à deux lignes de courbure de la surface, sont perpendiculaires l'une à l'autre.
Pour savoir comment sont situés dans l'espace les plans des lignes de courbure de la surface cherchée, il suffit de chercher comment peuvent être situées sur une sphère deux séries de cercles tels, que chacun coupe à angle droit tous ceux qui appartiennent à une série différente. Nous allons prouver que les plans de tous les cercles d'un même système doivent, pour cela, avoir une droite commune.
On sait en effet qu'un cercle étant tracé sur une sphère, toute tangente à la sphère menée par un de ses points, et coupant le cercle à angle droit, est une génératrice du cône circonscrit à la sphère le long du cercle donné. Si donc un cercle C coupe à angles droits deux cercles différents C, et C^ , deux tangentes de ce cercle C sont des génératrices de cônes circonscrits a la sphère suivant G, et C'^ . Le plan du cercle C passe donc par la droite qui joint les sommets des cônes circonscrits à la sphère suivant deux cercles quelconques de l'autre système, et ces cercles sont par conséquent les cercles de contact des cônes circonscrits ayant leurs sommets sur une même droite; on sait que leurs plans passent par une même droite perpendiculaire à la première.
Lorsque toutes les lignes de courbure d'une surface sont planes, leurs plans sont parallèles à ceux de deux systèmes de cercles se coupant perpendiculairement sur la sphère; ils sont donc parallèles respectivement à deux lignes droites perpendiculaires l'une à l'autre.
706. On peut obtenir facilement l'équation différentielle des surfaces dont toute? Jes lignes de courbure sont planes.
