LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
Soit AA' la droite à laquelle sont parallèles les plans des lignes de eourbure de
l'un des systèmes, et par laquelle passent tous les plans des cercles qui leur corres-
pondent sur une sphère dont le centre est en 0; choisissons trois axes de coordonnées OX, OY, OZ, dont l'un, OY, soit parallèle à AA', et dont l'autre, OZ, perce cette ligne en son milieu C : en nommant m la distance OC, l'un des cercles qui passent par AA' a pour équations
2 = a ^ -f- m , «étant un paramètre variable : on déduit de ces équations \
dr dz
- dx dx
dz z — m
d ou, en éliminant -t-j
dx
x'^ -i- xr -7 H 2 ( -2 — m] =^o.
, " dx
En supposant le rayon de la sphère égal à l'unité, x, y, z étant les coordonnées de l'extrémité d'un rayon parallèle à la normale de la surface, on a
-hp'-hcf
l'équation (2) devient par conséquent
p'^pq zf--^ ' + '" v' I -H /^' H- </' = o
on en conclut
(Ir __ — m V f -\- p^-\- q' — ' — /^^ dx pq
La tangente de la ligne de courbure est parallèle, en chaque point, à celle du cercle qui la représente sur la sphère; on peut donc porter cette valeur de -— dans l'équation différentielle des lignes de courbure
(cly'\ ^ (Iy
et l'on trouve ainsi l'équation différentielle en faisant, pour abréger,
H = pq [m ( . +<y2) — y/i 4-y,-^ +^y-'J,
T =z pqm[i -\- p'^ — />? v'' + /^'H- 7^J-
