LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

des lignes géodésiques issues de ses différents points, le théorème leur est applicable pourvu que leur longueur soit suffisamment petite, et l'on obtiendra un»' nouvelle courbe coupée orthogonalement par les lignes géodésiques normales à la première; à partir des points de cette nouvelle courbe, on pourra encore porter sur les mêmes lignes géodésiques prolongées une .longueur constante assez petite pour que le lieu des extrémités forme une troisième courbe coupant les mêmes lignes à angle droit; en continuant ainsi, on finira par porter sur chaque ligne une longueur aussi grande que l'on voudra, en démontrant que le lieu des extrémités coupe toujours à angle droit les lignes géodésiques sur lesquelles la longueur portée à partir de l'origine peut croître sans limite.

Les lignes géodésiques normales à une même courbe peuvent évidemment être remplacées par des lignes issues d'un même point, et la démonstration se fera absolument de la même manière.

Si l'on considère sur une surface une série de lignes géodésiques, et une seconde série de courbes coupant celles-ci à angle droit, les portions de deux lignes géodésiques quelconques comprises entre deux trajectoires orthogonales sont égales entre elles. Ce théorème est une conséquence évidente du précédent, dont il peut être considéré comme la réciproque.

713. On peut déduire du théorème précédent une conséquence importante relative à la forme de l'expression du carré de la distance de deux points infiniment voisins. Si les points d'une surface sont définis par deux coordonnées u et (', telles que les courbes qui correspondent à des valeurs constantes de (^soient des lignes géodésiques, et que celles qui correspondent aux valeurs constantes de u coupent les premières à angle droit, le carré de la distance de deux points infiniment voisins aura (124) une expression de la forme

(r) ds- = kdH'-hBdv';

mais d'après le théorème précédent, deux trajectoires des lignes géodésiques interceptent sur ces diverses lignes des arcs de même longueur. Si donc on suppose fA^=o, c'est-à-dire si l'arc ds appartient à une des lignes géodésiques, la valeur de ds- ne dépendra que de u et de du, et A est .par conséquent fonction de la seule variable u. Soit u' une fonction de u telle que «

( 2 ) du' = du \/A ;

si l'on substitue la variable u' à la variable u, ce qui ne change évidemment pas les deux systèmes de lignes correspondant aux valeurs constantes des coordonnées, l'expression (r) devient (3) ds' = du''-h(}dv^,

(t représentant ce que devient B lorsqu'on l'exprime en fonction de u' et de v. Si l'on suppose fl?t^=o, on a

ds = du',

et l'on en conclut que u est la longueur portée sur une ligne géodésique, à partii' d'une trajectoire orthogonale déterminée que l'équation (2) laisse arbitraire, puisqu'elle permet d'ajouter une constante à cette coordonnée.

Courbure géodésique.

714-. La courbure d'une ligne plane fait connaître la plus ou moins grande rapidité de l'écart entre cette courbe et sa tangente. Si en un point M la tangente est MT, et que M' soit un point infiniment voisin de M pris sur la courbe considérée,

et M'P la distance de ce point M' à la tangente, la courbure - est donnée par la

formule

\ 2>rp

^' MM''

de sorte que, pour une même longueur infiniment petite MM', la courbure est proportionnelle à la distance M'P de la courbe à la tangente. Euler a considéré la courbure d'une ligne tracée sur une sphère, et nous avons montré (550) qu'elle est proportionnelle à la distance de la courbe à l'arc de grand cercle qui la touche. On peut de même considérer pour une courbe tracée sur une surface quelconque un élément analogue, auquel M. Liouville a donné le nom très-expressif de courbure géodésique.

Soit AMB une courbe tracée sur une surface donnée, MT la ligne géodésique qui la touche au point M, M' un point infiniment voisin de M pris sur la ligne AM, et M'P la distance de ce point à MT; le rapport

MM'

est, par définition, la courbure géodésique de la courbe AMB au point M. L'ana-

»gie avec la courbure d'une ligne plane est évidente et justifie suffisamment la