LIVRE TROISIÈME. -APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

similitude des dénominations. Nous verrons d'ailleurs que l'analogie s'étend beaucoup plus loin encore, et qu'on peut la suivre dans l'étude de toutes les questions relatives aux courbes tracées sur les surfaces.

715. La courbure géodésique peut être représentée par plusieurs expressions utiles à connaître, et qui pourraient chacune être prises comme définition. La courbure géodésique d'un arc infiniment petit est égale à l'angle formé par les deux lignes géodésiques tangentes aux extrémités de cet arc, divisé par la longueur de l'arc.

Soit MM' l'arc considéré ; MI, M'I les lignes géodésiques tangentes à ses extrémités ; MM' la ligne géodésique qui réunit le point M au point M', et que l'on peut nommer corde géodésique.

Cette corde ne diffère de l'arc MM' que d'un infiniment petit du troisième ordre; elles ont en effet la même corde rectiligne dont la différence avec chacun des deux arcs est (19) infiniment petite du troisième ordre. On peut donc substituer l'un de ces arcs à l'autre sans altérer la limite du rapport dans lequel ils figurent; d'un autre côté, le triangle IMM' étant formé par trois lignes géodésiques, la somme de ses angles est égale à deux angles droits (710), et l'angle extérieur! peut être considéré comme égal à la somme des angles en M et en M'; on a donc