M MF
MM'
MM'
; est, par définition, la moitié de la courbure géodésique en M; on verra de
MM'
même que rj-rp- est la moitié de la courbure géodésique en M' qui, évidemment,
diffère infiniment peu de la première, et l'équation (i) montre par conséquent
que ^^, représente, comme nous l'avions annoncé, la courbure géodésique.
716. La courbure géodésique d'une courbe en un point est égale à la courbure L 93
de la projection de la courbe sur le plan tangent de la surface au point considéré. Considérons l'arc infiniment petit MM' tracé sur la surface donnée, et la ligne géodésique MT qui la touche en M; soit M'P la distance du point M' à la ligne MT.
Projetons le triangle MMT sur le plan tangent à la surface en M; les projections de MM' et de MP sont deux courbes tangentes l'une à l'autre; celle de MP, ayant (708) un rayon de courbure infini, peut être considérée comme une ligne droite. SoitMM"P' la projection de MM'P; les côtés de l'angle MPM' formant des angles infiniment petits avec le plan sur lequel on les projette, cet angle diffère infiniment peu de sa projection; l'angle MF M" peut donc être regardé comme droit, et la courbure de la ligne MM" est par conséquent
2 MM
Mais les lignes M'P, MM', infiniment peu inclinées sur le plan tangent en M, peuvent être considérées comme égales à leurs projections sur ce plan; l'expression (i) qui représente la courbure de la ligne plane MM" est donc égale à
a MM'
c'est-à-dire (714) à la courbure géodésique de MM'.
717. Soit - la courbure absolue de la liqne MM' considérée comme courbe P donnée dans l'espace, et indépendamment de la surface qui la contient; nommons ô
l'angle formé par le plan osculateur de cette ligne avec le plan tangent de la surface
en M, la courbure géodésique a pour expression
CCS B
Si l'on nomme, en effet, z l'angle de contingence formé par les tangentes aux points
M et M', la courbure - est égale à ~, -, si l'on projette MM' sur le plan tangent
en M, on obtient l'arc MM" que l'on peut regarder comme égal à MM', et en nommant £' l'angle de contingence de MM", la courbure de MM" égale (716) à la cour-
bure géodésique de MM' a pour mesure j^rp ' ou, ce qui revient au même, ^^^ ■
