A,A'.+ B,B' = £.AA
et, en nommant - la courbure géodésique -^ •> on en déduit enfin
AB'— AB=.A,A'-|-B,B' = Ar'.— ,
comme on l'avait annoncé.
Courbure totale d'une portion de surface.
720. L'idée de courbure appliquée aux surfaces est extrêmement complexe; on peut en effet concevoir en chaque point une infinité de courbes tracées sur la surface, et la courbure de chacune d'elles est un des éléments qui figurent dans l'idée vague que nous exprimons par le mot courbure appliqué à la surface. Gauss a, le premier, défini celle-ci avec précision; l'illustre géomètre compare pour cela les points de la surface qu'il étudie à ceux d'une sphère ayant pour rayon l'unité de longueur, et il regarde comme correspondants dans les deux surfaces ceux pour lesquels les normales sont parallèles; d'après cette définition, à une portion quelconque de la surface donnée correspondra une portion de la surface sphérique dont l'aire est la courbure totale de la portion considérée.
La courbure moyenne d'une portion de surface est le rapport de la courbure totale à l'aire de la portion considérée.
La courbure d'une surface en un point est la courbure moyenne d'une portion infiniment petite de cette surface comprenant dans son intérieur le point considéré.
721. Remarquons, avant d'aller plus loin, l'analogie complète des définitions précédentes avec celles qui se rapportent aux courbes planes.
7i-2 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
La courbure d'un arc de courbe plane est, en effet, l'angle des tangentes extrêmes ou, ce qui revient au même, l'angle des normales à ses extrémités, c'est-à-dire l'arc de cercle de rayon unité compris entre deux rayons parallèles a ces normales; la courbure moyenne est le rapport de cet arc de cercle à l'arc de courbe considéré, et la courbure en un point est la courbure moyenne d'un arc infiniment petit auquel ce point appartient; il est inutile d'insister sur l'analogie, qui est évidente.
Mesure de la courbure.
722. La courbure d'une surface en un point est égale à l'inverse du produit des rayons de courbure principaux.
Pour évaluer la courbure d'une surface en un point il faut, d'après la définition, cbercber la courbure totale d'une surface infiniment petite qui contienne ce point : cboisissons un rectangle infiniment petit formé par quatre lignes de courbure; soient da, d^ les côtés de ce rectangle, et R,, Ro les rayons de courbure correspondants; les normales menées par les points du contour ABCD forment quatre éléments de surface développable qui peuvent être considérés comme quatre facettes planes se coupant deux à deux à angle droit. Les parallèles à ces normales menées par le centre de la sphère de rayon unité formeront un angle tétraèdre à dièdres droits et détermineront sur la sphère un rectangle dont la surface est, par définition, la courbure totale de ABCD; les côtés de ce rectangle, égaux aux angles sous
lesquels ils sont vus du centre de la sphère, sont mesurés par ^, -^» R, et Ro
étant les deux rayons de courbure; la surface du rectangle est donc ^^^' et le
rapport de cette surface à la surface de ABCD, égale à doid^, ^^^ rTT' ^^""""^^ "°"^ l'avions annoncé.
Si l'élément considéré sur la surface avait une autre forme, le résultat serait évidemment le même. Quelle que soit en effet la forme d'un élément infiniment petit, on peut le décomposer par des lignes de courbure en rectangles infiniment plus petits
