LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. li

que lui. La courbure moyenne de chaque rectangle étant, à la limite, l'inverse du produit des rayons de courbure, il en est de même de la courbure moyenne de leur ensemble.

723. L'un des rayons de courbure d'une surface dcveloppable étant infini, la courbure est, en chaque point, égale à zéro. Cela résulte d'ailleurs directement de la définition. Les normales menées par les différents points d'une génératrice étant en effet parallèles, les points de la sphère correspondant à tous ceux de la surface développable forment une ligne courbe, dont chaque point correspond à une génératrice tout entière, et la portion de sphère correspondant à un contour fermé grand ou petit a toujours une surface nulle.

Théorie du développement des surfaces. .

724. Gauss a démontré plusieurs théorèmes relatifs à la courbure totale, que l'on doit compter parmi les plus élégants et les plus remarquables de la Géométrie. Sans aborder les méthodes employées par l'illustre auteur, nous donnerons la démonstration géométrique de ses résultats les plus importants.

Nous établirons d'abord un lemme dû à M. 0. Bonnet, et sur lequel ces démonstrations sont fondées.

Si l'on trace sur une sphère un contour fermé quelconque, et que par chacun de ses points on mène un arc de grand cercle tangent sur lequel on porte, toujours dans le même sens, une longueur d'un quadrant, le lieu des points ainsi obtenus divise la sphère en deux parties équivalentes.

Pour le démontrer, considérons d'abord un polygone ABCDEF formé par des arcs de grand cercle. Prolongeons les divers côtés, toujours dans le même sens, et de

chaque sommet comme pôle, avec un rayon sphérique égal à un quadrant, décrivons un arc de cercle : nous formons ainsi des triangles sphériques isocèles dont

chacun a pour mesure l'angle extérieur correspondant du polygone. La Géométrie élémentaire permet d'en conclure immédiatement que ces triangles ajoutés à la surface du polygone donnent une somme mesurée par quatre angles droits et égale par conséquent à la moitié de la sphère, en sorte que le trait continu PQRSTUVXYZMNP partage la sphère en deux parties équivalentes.

Si le polygone avait des angles rentrants, il faudrait, pour l'exactitude du théorème, retrancher les triangles qui correspondent a ces angles; mais la construction n'en donnerait pas moins un trait continu partageant la sphère en deux parties équivalenles : si, par exemple, le polygone est ABCD, et que des sommets A, B, C, D

comme pôles on décrive des arcs de grand cercle, PQ, RS, TU, VX, la ligne continue PQRSTUVX partage la sphère en deux parties équivalentes.

Si l'on fait augmenter indéfiniment le nombre des côtés du polygone, on le remplacera par une courbe fermée quelconque et l'on obtiendra le théorème énonce.

725. Ce théorème remarquable ne diffère pas, au fond, d'une autre proposition énoncée par Jacobi.

Si par le centre d'une sphère on mène des parallèles aux normales principales d'une courbe fermée quelconque S, le lieu de leurs extrémités partagera la sphère en deux parties équivalentes.

Si l'on considère en effet l'indicatrice' sphérique lieu des extrémités des rayons parallèles aux tangentes de la courbe S, les arcs de grand cercle tangents a cette indicatrice ont leurs plans (566) parallèles aux plans osculateurs de S, et le point situé sur l'un d'eux, à distance d'un quadrant de l'indicatrice, est l'extrémité d'un rayon mené dans le plan osculateur perpendiculairement à celui qui correspond au point de l'indicatrice, c'est-à-dire à la tangente de la courbe S; ce rayon est évidemment parallèle à la normale principale de S, et le théorème de M. Bonnet rentre par conséquent dans celui de Jacobi.

726. Considérons sur une surface quelconque un triangle formé par trois lignes