LIVRE TROISIÈiME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

c'est précisément le théorème de Gauss : la courbure totale du triangle géodésique ABC est mesurée par l'excès de la somme des angles de ce triangle sur deux angles droits*.

727. Le théorème précédent, remarquable par sa grande élégance et par sa généralité, se distingue des autres propriétés générales des surfaces en ce qu'il s'applique à une portion finie de surface quelconque. Les théorèmes d'Euler et de Monge, aussi généraux que celui de Gauss, sont relatifs aux portions infiniment petites d'une surface; on comprend à priori que les propriétés dans l'étude desquelles on peut négliger les infiniment petits d'un certain ordre, peuvent s'étudier simultanément pour toutes les surfaces continues; dans l'étude des tangentes, par exemple, les infiniment petits du second ordre peuvent être négligés: toute surface peut donc, dans le voisinage d'un point, être considérée comme plane, et c'est pour cela que les tangentes à toutes les courbes qui passent par ce point sont dans un même plan. Dans l'étude des rayons de courbure, on peut négliger les infiniment petits de troisième ordre, et toute surface peut être, sous ce point de vue, réduite par conséquent à une surface de second degré; il est donc tout naturel que les lois de la distribution des courbures autour d'un point soient les mêmes pour toutes les surfaces. Le théorème de Gauss se distingue de tous les autres parce que, son énoncé se rapportant à une portion finie de la surface, des points situés à une distance finie se trouvent ainsi rattachés les uns aux autres, quoique la loi de continuité ne semble au premier abord leur imposer aucune condition.

Si l'on y regarde de plus près, cependant, cette circonstance, tout en restant fort remarquable, peut s'expliquer à priori. On peut voir, en effet, que le théorème de Gauss, s'il est vrai pour un triangle infiniment petit, est vrai, par cela même, pour un triangle fini quelconque. Si l'on décompose en effet un triangle en d'autres plus petits ayant pour côtés des lignes géodésiques, la courbure totale du grand triangle sera égale à la somme des courbures de ceux qui le composent, c'est-à-dire, en admettant le théorème démontré pour ceux-ci, à l'excès de la somme totale de leurs angles sur autant de fois deux droits qu'il y a de triangles.

Or il est clair que les angles de la figure qui ont leurs sommets aux sommets A, B, G du triangle proposé ont pour somme la somme A+B+C de ces trois angles, et quant aux autres angles, ceux qui ont un sommet commun ont pour somme quatre droits ou deux droits, selon que ce sommet est situé dans l'intérieur ou sur le contour de ABC; l'excès de la somme totale des angles, sur autant de fois deux droits (ju'il y a de triangles, est donc A + B + C plus ou moins un multiple de deux angles droits; mais si la figure était plane et que les lignes géodésiques fussent droites, la somme serait nulle et égale à A -f- B -h C — ti , et comme le nombre des triangles et le nombre des sommets de chaque espèce restent les mêmes dans tous les cas, celte expression

est générale. Le théorème de Gauss, relatif à un triangle quelconque, est donc une conséquence nécessaire du théorème relatif à un triangle infiniment petit; mais ici une observation est nécessaire : si, pour démontrer le théorème 'relatif à un triangle quelconque, on devait l'établir d'abord pour un triangle infiniment petit, en prouvant que, dans ce cas, il est rigoureusement exact, il n'y aurait aucun avantage, ou, pour parler plus exactement, l'énoncé ne serait modifié en rien. Lorsqu'on dit en effet qu'un triangle infiniment petit possède une certaine propriété, cela signifie que l'énoncé s'applique à un petit triangle avec une erreur qui diminue avec les dimensions et devient négligeable à la limite. Quand on dit, par exemple : la courbure totale d'un triangle infiniment petit est égale à l'excès de la somme de ses angles sur deux angles droits, cela veut dire que la différence entre la courbure totale, qui est du second ordre, et l'excès de la somme des angles sur deux droits, est un infiniment petit du troisième ordre. Si l'on voulait dire que la différence est rigoureusement nulle, les dimensions infiniment petites du triangle ne joueraient aucun rôle dans l'énoncé, et il serait inutile de les mentionner.

Il est clair d'ailleurs qu'en admettant l'énoncé entendu de cette manière, on en pourrait conclure ensuite que l'égalité est rigoureuse pour un triangle quelconque, et par conséquent pour un triangle infiniment petit. Lorsqu'on effet on décompose un triangle fini en triangles infiniment petits, la somme des courbures de ces triangles étant finie, celle des infiniment petits du troisième ordre que l'on néglige dans l'évaluation de chacune d'elles a une limite nulle, et ne peut exercer d'influence sur le résultat.

728. Connaissant l'expression de la courbure totale d'un triangle formé par trois lignes géodésiques, on en déduit celle d'un polygone quelconque formé par de telles lignes : elle est égale à l'excès de la somme des angles sur autant de fois deux angles droits qu'il y a de côtés moins deux.

729. Lorsque deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre, leur courbure est la même aux points qui se correspondent. En d'autres termes, lorsqu'on déforme une surface sans altérer les longueurs des lignes qui y sont tracées, le produit des rayons de courbure en chaque point reste invariable.

Considérons, en effet, un triangle infiniment petit ABC formé par trois lignes

géodésiques : R et R' étant les deux rayons de courbure de la surface, la courbure

ABC totale de ABC est égale (722) à -^^•, elle est aussi (726), en désignant les trois

angles par A, B, C, égale àAn-B + C — Tirona donc

Si l'on déforme la surface sans altérer les longueurs des lignes qui y sont tracées,