LIVRE TROISIÈ^Œ.- APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES-. 7i

le triangle ABC ne cessera pas, après la déformation, d'être formé par trois lignes géodésiques delà surface déformée; les angles A, B,C, ne changeront pas, non plus que l'aire ABC, et l'équation (i) doit par conséquent s'appliquer au nouveau système, ce qui exige que le produit RR' n'ait pas changé de valeur.

On peut démontrer cette proposition importante sans la rattacher à la précédente.

Supposons qu'un fil de longueur infiniment petite c ait l'une de ses extrémités fixée au point considéré M, et tourne en restant tendu sur la surface; l'autre extrémité de ce fil décrira une courbe dont la longueur ne variera pas lorsqu'on viendra à déformer la surface, et qui, de plus, pourra être considérée comme décrite sur la surface transformée, de la même manière qu'elle l'avait été sur la surface primitive, et à l'aide d'un fil de même longueur. Or nous allons calculer le périmètre total de cette courbe, et l'on verra qu'il ne peut rester constant que si le produit RR' des rayons de courbure est lui-même invariable.

Soient oo,y, z les coordonnées du point M; faisons, suivant l'usage,

(2) dz ^ pdx -^ qdf , dp =^ rdx -\- sdj- , dq =z sdx -^ tdf ^

d'où l'on conclut

(3) d^z =pd^x-\- qd^f-'r rdx'^-h "isdxdf-h tdy^.

Appelons 5 l'arc d'une ligne géodésique passant au point [x, j, z) : on sait que la normale principale de cette ligne coïncide avec la normale à la surface ; il en résulte, en prenant s pour variable indépendante,

(4) d^x-\-pd'z = o, d'y+qd''z = o.

La direction de la normale à la surface forme en effet avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à/?, ^ et — i , et celle de la normale principale de la

d' X d^ Y d^ z courbe forme des angles dont les cosinus sont proportionnels (587) à -7-7 ? -tt j -^ '■>

les équations (4) expriment que les deux directions coïncident. En différentiant les équations (4), on a

d^x-\-pd^z -\-{ rdx -\-sdr)d^z = o, d^y -+■ qd^z-\- [sdx -î- idf)d^z = o.

De plus, si nous nommons B, y}, Ç les coordonnées de l'extrémité d'un arc égal à c, porté sur cette ligne à partir du point {x, y, z), nous aurons

dx 1^

d'x ds'

d\r ds'

dz ds

d'z ds'

Supposons maintenant que le point (-a?, y, z) soit le point désigné ci-dessus par M; prenons ce point pour origine des coordonnées, l'axe des z étant dirigé suivant la normale à la surface : nous aurons

On peut d'ailleurs disposer l'axe des X de façon que l'on ait 5=0. Il suit de ces hypothèses et des équations écrites plus haut

dz = o, d''z = rdx^ -\- tdr^ , d^x = 0, d\y'=o, û?' j7 -h r'dx^ + rtdxdy^ = o , d^y + rtdx'^dy -f- f^dy"" = o.

Nommons a l'angle que fait avec l'axe des X la tangente à l'arc c mené par l'origine, de sorte qu'on ait

nous en conclurons

et par conséquent.

dx dr

-j- = cos(x, -7-=sina:, as ds

— — = r cos- o(-\- t sm' a ,

ds'

—j-r = — r^ ces' X — rt cos a sui^ x ,

—r- = — rt cos^ a sin a — P sin' a , ds^

? = 7 COS a — -r ( /■= cos' a + rt cos a sm a ) ,

-/} = 0- sin a — -7- ( rt cos^ a sm ai-\-t- sin' a ) ,

C=^ —ir ces' a-\-t sin' a '

En donnant à « toutes les valeurs de zéro à 271, on aura successivement, par ces formules, tous les points de la courhe fermée définie plus haut. Si maintenant nous désignons par X l'arc de cette courbe, lequel est une fonction de a, on aura

da = ^dl'-\- drr -^d'Ç\

ou bien, en ayant égard aux valeurs précédentes de ^, n, Ç, et observant que a seul est variable,

on en conclut

rt a' /. = X [ 7 ^ — t- • • + consl. ,