X -\- t COS'a, >-+£COSp
Or on a (53), en négligeant les infiniment petits du second ordre,
t [x-j- -: cos A, r-h sros pt) = F (^•, r) + -j~ s cos 1 -h -7- ^ cos ^,
et puisque F [x,y) est nul, le second membre se réduit à
Vf . d¥ \
-j— cos A H j- cos |x I ,
c'est-à-dire, en remplaçant cos X et cos /jl par leurs valeurs (81 ),
l'dFV
F [x-+-t cosX, r + e cosfx) = dbi
-s/iM^]
L'extrémité de la longueur z étant, par hypothèse, extérieure à la courbe, la valeur correspondanted^Fest positive, et il faut, par conséquent, danslesecond membre, adopter les signes supérieurs, ce qui exige qu'on les adopte aussi dans les valeurs
de cos X et de cos a,
Détermination de quelques tangentes .
83. Donnons maintenant quelques exemples de détermination de tangentes, en choisissant, de préférence, les problèmes déjà traités par des considérations géométriques.
Problème I. — Tangente à la cycloïde.
Soient AX la droite sur laquelle roule le cercle générateur. A le point de contact de ce cercle dans sa position initiale, A' le point de contact du cercle dans une se-
conde position, M la position correspondante du point générateur; on aura, par la définition même du roulement,
Si l'on prend pour axe des X la ligne AX, et pour axe des Y une perpendiculaire élevée en A, les deux coordonnées du point M seront,
MP=j, VX = x, et l'on aura, en désignant par a le rayon du cercle et par u l'angle MOA',
y = QP H- MQ = a — rt ces M, ^=AA' — OQ = rt«< — rt sin M.
Les deux équations
(i) J=« (i — cos u),
(2)- x = a[u — sinw),
donneraient, par l'élimination de u, l'équation de la cycloïde. Cette élimination est facile, car on tire de la première de ces équations,
u = arc cos
et l'on peut porter cette valeur dans la seconde équation, en remarquant en outre que l'on a
SI
mais il est plus simple de différentier directement les équations ( i ) et (2 ). On en déduit
dy = « sin udu,
dx=:a[i — cosu]du, d'où l'on conclut
dy sin u i
-j- = = cet - w .
da: I — ces u a
La tangente ayant pour coefficient angulaire cot - u, l'angle qu'elle forme avec l'axe
des X est égal à ^ - ^ m, et la normale fait avec le même axe l'angle - u. On en conclut, conformément à ce qui a été dit (14), que la normale est MA', et la tangente MK.
De l'équation
dr I
-—- z= col - U
dx 2
on peut déduire l'expression de ^-^ en fonction de j, dont nous aurons à faire usage.
On a, en effet,
CCS u r= ,
sji ay — r^ sin u = ^ i— .
I — ces U=z-
par suite,
dy dx
= col - Uz=z = i / •
-» I — COS II y y
Cette équation prend une autre forme si, laissant les axes parallèles à leur direction actuelle et changeant le sens de l'axe des Y, on transporte l'origine des coordonnées au sommet de la courbe, dont l'ordonnée est ia. Les formules de transformation sont
y =0.(1 — ji, x=zx^-\-■Ka.
et l'on a, en supprimant l'indice de j.
dy dx
V 2 rt — r'
Problème IL — Tangente à l'épicycloï de.
L'épicycloïde est la courbe engendrée par un point de la circonférence d'un
cercle mobile roulant sur un cercle fixe, de telle sorte que les arcs des deux circonférences, dont les points s'appliquent successivement les uns sur les autres, soient constamment égaux en longueur.
Considérons un cercle de rayon r roulant sur une circonférence fixe de rayon R. Soit A la position initiale de l'un des points de la circonférence mobile ; lorsque cette circonférence sera venue, dans son mouvement, toucher la circonférence fixe en A', le point A sera venu en M à l'extrémité de l'arc A' M, égal en longueur à A' A. Si l'on prend pour axes de coordonnées deux diamètres rectangulaires CX et CY de la circonférence fixe, dont le premier, CX, passe par le point A; en posant A'CA = 9,
on aura A'C'M= 9 —5 et les coordonnées du point M seront
X = ( R -I- r) cos » — /■ ces ( * H ^ J »
j= {R -f- r) sin « — /'sinfç/H ^\->
on en déduit
(/j=(R -{-;•) COS (j) — COS ( ^ H -\ dcf,
dx={l{-hr) — smœ-t-siniaH ^j df,
et par suite
. cos,-cos,^,+ -j
dx- . / \U\ . -^''"^V?^2/-
sm 1 y H ^ 1 — sm «>
Or enjoignant KM, on voit que l'angle formé par cette droite avec l'axe des X est précisément 9 h ^; elle est donc la tangente au ppint M, et la normale est par conséquent dirigée vers le point A'.
Problème III. — On abaisse, d'un point 0, des perpendiculaires sur les tangentes d'une courbe plane ; déterminer la tangente à la courbe lieu des pieds de ces perpendiculaires.
Pour résoudre ce problème, dont la solution géométrique a été donnée (14), prenons pour origine des coordonnées le point 0; soient ^, y les coordonnées d'un point M de la courbe donnée, l'équation de la tangente MP est
dx
Celle de la perpendiculaire OP,
dx
Si entre ces deux équations et celle de la courbe donnée, on élimine y et a, on obtiendra l'équation de la courbe lieu des points P; mais, pour déterminer la tangente, cette élimination n'est pas nécessaire. Éliminons en effet entre les équations
( 1 ) et (2) le rapport -j--> nous obtiendrons la relation suivante, entre les coordonnées w et t du point P,
c'est-à-dire
( 3 ) a' H- /- = uy -\-tx, ,
et en différentiant cette équation,
(4) iudu-{-itdt^=ud)'-\~ tdx ^ ydu-\- X dt.
Or on déduit de l'équation ( 2 )
udy -\- tdx = o.
L'équation (4) devient donc
2 u du -hit dt ^=::ydu -\- xdt, d'où l'on déduit
du 9.
Tt ~ r '
et l'on voit que la tangente cberchée, dont le coefficient angulaire est -ri est perpendiculaire à la ligne qui joint le point P du lieu, au point milieu de OM dont les
OC y* '
coordonnées sont - et -• Ce qui équivaut au résultat trouvé (14).
Problème IV. — On abaisse dun point 0 des perpendiculaires sur les tangentes
d'une courbe plane, et l'on prolonge chaque perpendiculaire OV jusqu'en un point Q,
tel que
OP.OQ = aS
a étant une ligne donnée. Trouver la tangente à la courbe lieu des points Q .
La solution géométrique de ce problème a été donnée (14). L'analyse conduit facilement au même résultat. En nommant x et j les coordonnées du point de contact M, l'équation de la tangente MT est
et celle de la perpendiculaire OP
dx
On a d'ailleurs, en nommant ir,,j, les coordennées dupoinl Q,
et en remplaçant ^ par — — (à cause de l'équation (aj à laquelle u — y^,
t = X, , satisfont;, il vient
/ Xi
ou, en réduisant, •
(3) xy^-{-xx,=a\ En difTérentiant cette équation, on en conclut
( 4 ) y'd}i -+- }'i dy -\- xdXi-+-Xidx=:^ o ;
mais le point Q, étant sur la droite représentée par l'équation {i), on a
j\ dr -{-x,dx = o,
et l'équation (4) sti réduit à
ydfi-\- xdxi = o,
donc
</ri £
dx, ~~ X '
c'est-à-dire que la tangente cherchée est perpendiculaire à la droite OM, ce qui est d'accord avec le résultat trouvé (14).
84. Dans la solution des deux prohlèmes précédents certains termes disparaissant d'eux-mêmes de l'équation obtenue par la différentiation, il en est résulté une grande simplification dans les calculs. Cette simplification tient à une circonstance géométrique commune aux deux problèmes; elle se présenterait également dans un grand nombre de cas analogues. Voici l'énoncé général d'un problème pour lequel elle a lieu, et qui comprend les deux précédents comme cas particuliers.
Problème V. — Déterminer la tangente à une courbe dont les points se déduisent, suivant une loi connue, des tangentes à une autre courbe donnée. Soit
l'équation de la courbe donnée j» l'une de ses tangentes a pour équation
dr ,, , '
dx
Les coordonnées x^ , j, du point correspondant de la courbe cherchée sont des fonctions données des coefficients de cette équation, elles ont, par conséquent, des expressions de la forme
' dy ' dr\
^'=^H^-' ^'~"dxj'
- ' ^ \dx^ "^ dx )
Pour déduire de ces équations le coefficient angulaire de la tangente cherchée
dr>
-—•> posons
on aura
dr dx
dr
dx^
■= -j— du -h —r- dv, du dv
dr,
= -j— du H 7- dv,
du dv
mais
dv ^=z d [y — ux) = dy — u dx — x du .
1.1 VRE PRKMIKR. - ÉTUDM UKS UIFKKIŒ.NTIELLES ET DES DÉRIVÉES. 8:5
Or, à cause de l'équation -^ — m, eeLte valeur de ^/r se réduit à — xdu, et l'on a
(IXi r^ — ; <ll( X —7— (lu,
(In dv
, (Il , , (IV-, ,
(Ir, = - — - (1(1 — X — (1(1,
•^ (lu dv
(If, du dv
dxi dV, r/F,'
du dv
ce qui résout le problème, La siuiplification du résultat tient à ce que la différentielle
dy^ du se trouvant facteur commun, le rapport ~ se détermine sans qu'il soit nécessaire
dr de connaître la dérivée de ^» que, sans cette circonstance, il aurait fallu calculer.
On voit que dans l'expression de doc^ et dans celle de «fr, , les termes en dy et en dx se détruisent, et qu'il ne reste que ceux dont le multiplicateur est du. Les calculs sont donc les mêmes que si, en passant d'une tangente à la tangente infiniment voisine, on se contentait de faire varier le coefficient angulaire u, sans changer les coordonnées x et y du point de contact, et la tangente cherchée est la même que si la droite qui sert à déterminer les différents points de la courbe, tournait autour d'un point fixe : c'est ce que nous avons déjà vu (14).
85. Problème VI. — On porte, à partir des différents points d'une courbe plane donnée, une longueur constante sur les normales à cette courbe; trouver la tangente à la courbe lieu des points ainsi obtenus.
Soient x,y les coordonnées d'un point de la courbe donnée, t, u les coordonnées du point correspondant de la courbe qui s'en déduit; en nommant )., ix les angles formés par la normale avec les axes, on a évidemment
t = X -h l CCS ).,
u = y -\- l cos n, on en déduit par la différentiation
dt = dx -+- /r/cos>, h.)
du = dy H- Id cos pi.
Multiplions la première de ces équations par cos >., la seconde par cos a, et ajoutons-les ensuite, il viendra
(3) co'^ldt -h cos [idu = dx cos/ -\-dycos\t. -j- / (cos/^/cos> -h cosf*</coSfA) ;
g^ PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
mais de l'équation \
cos'> -f- cos' i>==^ l,
on déduit, en différentiant,
f/\ cos)i r/cos>. + cospic?cosp^ ==o,
d'ailleurs (81)
et l'équation (3) devient
(5] cosl dt -+■ cos ii^du=^ o;
la comparaison des équations (5) et (6) donne
dt df du dx
les tangentes aux deux courbes sont donc parallèles, ainsi que nous l'avons trouvé géométriquement ( 14).
86. Problème VII. — Lorsqu'un angle de grandeur constante se meut de telle sorte que ses ccUès touchent constamment une courbe plane donnée, son sommet P décrit une courbe, dont la normale s'obtient en joignant le point P au centre du cercle qui passe par ce point et par les points A et B, où les cotés de l'angle mobile touchent la courbe donnée.
Soit
l'équation de la courbe donnée; nommons «, /3 et a', p' les coordonnées des deux points de contact, et a la tangente trigonométrique de l'angle donné. Outre les égalités /3 = © (a), ^' = (p(«'), on aura, pour déterminer les coordonnées ^, jdu point P, les équations
d^ dp' ( dfi d^'\
Eliminant ^-^ et ^, entre ces équations, on aura
rtsf dy. *
(4) «[(r— §) (j— P') 4- (■^ — ^•)(-^ — ^')] + (r-P')(-^'— =') — (.>•— ?) (^- — ^'j facette égalité, en y considérant x et y comme seules variables, représente un
cercle qui passe par le point P elles points (a, /5) («', /B'). Si l'on différentie cette équation, on aura
[:>. rtj— rt (p + p') ■+- (a' — a)] rfr-H [Q.ax—a ( 7.-^ a') + (p.— 6')] dx
(5) + {[(r- P) - a [x-r,]]- [(^-a) + a [y - fi) ] 'j|j ,/a'
-JL(r-^')+«(^--')]-4(r-8'} + (.r-a')]^jr/. = o.
Si maintenant on remplace dans l'équation (5) les valeurs de j — ^S et de j — [:,' tirées des équations (i) et (2), les coefficients de dcf. et dod disparaîtront à cause
des équations (i), (2) et (3). L'expression du coefficient différentiel y^ est donc la
même, soit que l'on considère, dans l'équation (4), a et c/.' comme variables ou comme constants. La tangente, au lieu des points P, se confond donc avec celle du cercle représenté par l'équation (4), lorsqu'on y regarde «, |3, a\ fi' comme constants.
Remarque relative aux problèmes précédents .
87. Les problèmes précédents sont tous compris dans ce même énoncé général : les points d'une courbe 2 se déduisent par une certaine construction des points et des tangentes d'une autre courbe S; connaissant la tangente en un point donné de la courbe S, trouver la tangente au point correspondant de la courbe 2.
Le problème a été résolu dans les cas particuliers choisis pour exemples, mais il ne faut pas croire pour cela que la solution soit toujours possible. Si l'on choisit au hasard la construction à l'aide de laquelle les points de la courbe
1 se déduisent des points et des tangentes de la courbe S, la tangente à la courbe
2 ne sera pas déterminée lorsqu'on se donnera seulement le point correspondant de S et la tangente en ce point. Si cette détermination a été possible dans les cas particuliers que l'on a examinés, c'est que ces cas ont été choisis pour qu'il en fût ainsi.
On a déjà expliqué (84) à quoi tient, pour deux d'entre eux, la simplification qu'a présentée la solution ; nous allons montrer pourquoi le résultat demandé est impossible en général.
Soient X et r les coordonnées d'un point de la courbe S, et/; le coefficient angulaire de la tangente en ce point, x^ et v^ étant les coordonnées au point correspondant de la courbe 2, on aura, d'après la définition de cette courbe,
cp et F étant deux fonctions dont l'énoncé détermine la nature. (3r on déduit de ( i
par suite,
dx dy -^ dp ^
d¥ , dF , dY , "^y^^^ dx'^""^ dy'^y-^dp '^P'
dxi
do d(f dy^ d<f dp dt^ ^ d^ dv^ dp
dx dy dx dp dx dx P dy dp dx
~ dF dFdy dF dp dF dF dF dp dx dy^ dx dp dx dx " dy dp dx
On voit que -T^î coefficient angulaire de la tangente cherchée, contient non-seulement^,/ etp, comme dans les cas particuliers qui ont çté examinés, mais encore -^- Lors donc qu'on se donnera un pointde lacourbeSetla tangente en ce point, la tangente au point correspondant de la courbe 2 restera, en général, indéterminée.
Tangentes aux courbes rapportées aux coordonnées polaires.
88. Lorsqu'une courbe est définie par une équation en coordonnées polaires,
F(oj,p)=o,
on peut facilement déterminer, en chaque point, la direction de sa tangente. Soit M un point donné sur la courbe ayant w et p pour coordonnées; soit M' un point voisin, menons les rayons vecteurs OM, OM', et du point 0 comme centre, avec OM pour ravon, décrivons un arc de cercle MP terminé au rayon OM' : on aura évidemment
OM = p, arcMP = />^o).
De plus, M'P étant l'accroissement infiniment petit de p, peut être considéré (46) comme égal k dp; or on a, dans le triangle MM'P,
MP sinMM P WV ~ sinM'MP
MP , do^ , . , ,,,,,,^ 1 1 .sinMM'P
A la limite, ^7p est égal a p ^, le triangle MM'P est rectangle, et le rapport ^.^^.^^p
devient égal à la tangente de l'angle V formée par le rayon vecteur avec la portion de tangente dirigée du côté vers lequel l'angle oj décroît. On a donc
d<ù langV=p^.
Lorsqu'unc courbe est rapportée à des coordonnées polaires, on désigne quelquefois sous le nom de tangente, normale, sous-tangente, sous-normale, quatre lignes que nous allons définir.
Élevons parle pôle 0 une perpendiculaire au rayon vecteur OM; soit TTinteisection de cette perpendiculaire avec la tangente, et N son intersection avec la normale en M, MT se nomme la tangente, MN la normale, OT la sous-tangente, ON la sous-normale. *
Le calcul de ces quatre lignes n'offre aucune difficulté. On a
OT=S, = ptang\ =p j-' M I = / = 4/ 0=4- p. — , or aw V ' rfw^
89. Comme application des formules précédentes, déterminons la tangente à la spirale logarithmique dont l'équation est
on a
. d'il ni'j) I I
lang V =1 p -y- =: rtîe
d? mue""" m
1/anglt: V est donc constant et il a pour tangente — • Ainsi la spirale logarithmique
coupe sous un angle constant les rayons vecteurs issus d'un point fixe. Si l'on suppose m = o, l'angle V est droit et la spirale logarithmique devient un cercle.
Nous appliquerons encore les coordonnées polaires à la solution du problème suivant.
Problème VIII. — D'un point fixe 0 situé dans le plan d'une courbe S, on mène à cette courbe des rayons vecteurs que l'on prolonge d'une quantité constante l; trouver la tangente à la courbe E, lieu des points ainsi obtenus.
Prenons des coordonnées polaires et pour pôle le point fixe 0; si l'équation de la courbe donnée est
celle de là courbe qui s'en déduit est
p rrr ^ ( w ) -f- /,
et l'on voit que la sous-normale S„ étant exprimée par -7^? a la même valeur pour les deux courbes, en sorte que les normales aux points correspondants vont concou-
rir sur la perpendiculaire au rayon vecteur menée par le point 0 ; de la résulte une
construction, très-simple pour la normale, et par suite pour la tangente.
Il suffit, en effet, pour obtenir la normale au point M' de la courbe 1, de mener la normale en M à la courbe S et de joindre M' avec le point où cette normale rencontre la perpendiculaire ON au rayon vecteur OMM'.
V^OO. 31. William Roberts a remarqué que p et « représentant les coordonnées polaires des points d'une courbe, si l'on pose
p' =: p" et (,>' = IlM, •
on en déduit
pdo) p'do)'
et, par conséquent, la courbe dont les points ont pour coordonnées p' et oj' et la courbe proposée, coupent leurs rayons vecteurs correspondants sous le même angle. Il en résulte le moyen de déduire de deux courbes données, deux autres courbes qui se coupent sous le même angle qu'elles.
Si l'on considère, par exemple, les droites dont les équations sont
p COS w = a, p ces [m — <? ) = f^,
OÙ « et p sont arbitraires, et 9 désigne un angle constant, ces droites se coupent évidemment sous l'angle ©. On en conclut que les courbes représentées par les équations
p" COS « w = a", p" ces [ïloi — cp ) = ^"
se coupent toujours sous l'angle 9, quelles que soient les valeurs attribuées à a et f^. En supposant n = 2, on obtient le théorème suivant :
Un système ri' hyperboles èquilatères concentriques et semblahlement placées est coupé par un autre système de même nature sous un angle constant, double de celui que font les axes des deux systèmes.
Si l'on fait n = -, les courbes deviennent des paraboles de même foyer, et l'on
a le théorème suivant : Toutes les paraboles ayant le même foyer et le même axe,
sont coupées par des paraboles de même foyer, mais d'axe différent, sous un angle moitié de celui que font les axes des deux systèmes de courbes.
M. Roberts a déduit de sa remarque un grand nombre de tbéorèmes, dont (juelques-uns sont indiqués comme exercices à la fin du chapitre.
Tangentes aux courbes a double courbure.
01 . Soient (3k{x,y,z) — o, ^\ ix, v, z) —o, les équations d'une courbe a double courbure; cherchons sa tangente en un point donné.
La tangente est la limite de la ligne qui joint deux points intiniment voisins, et l'on sait (13] que l'on peut, sans changer cette limite, remplacer l'un des deux points par un autre, qui en soit situé à une dislance infiniment petite du second ordre. Si donc x,y, z sont les coordonnées du premier point, on pourra regarder celles du second comme égales à ^- 4- dx, y -^ dy, z + dz-, on sait en effet (4-6) que dy et dz ne diffèrent des accroissements véritables de j et de^ que par des infiniment petits du second ordre.
Si t, u, V désignent les coordonnées d'un point quelconque de la droite qui joint les deux points dont les coordonnées sont. r,j, z, x-hdx,y-\- dy, z -+■ dz, les équations de cette droite sont
dx ~~ dy '~ dz
Pour avoir, sous forme finie, les équations de la tangente, il suffit donc de trouver trois quantités finies proportionnelles à dx, dy, dz, et d'écrire que ces quantités sont aussi proportionnelles à ; — a?, M —j, ç'— s; or on a trouvé (62 j ^
dx dy dz
dtstdif dti^d-if dtsjd-^ dr^d^ d<^d-i^ d<ifd-h dz dy dy dz dx dz dz dx dy dx dx dy
Les équations de la tangente sont donc
djdji^ dfd-^ dr^d-if dt^d-^ dfdl dvdh dz dy dy dz dx dz dz dx dy dx dx dy
On donne quelquefois à ces équations une autre forme qu'il est bon de
connaître. Elles expriment qu'il y a proportionnalité entre les différences t — x,
u — y, ç -- z, et les différentielles dx, dy, dz. Or ces différentielles satisfont aux
équations
d(ù . d'i) , da .
-j— dx H — —- d} H j^ d: =^ o,
dx dy " (tz
d'^ . d^ . dl -
-.î- dx H- -T^ dy -h -T dz = o,
dx dy - dz
90 PREiMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Si donc on écrit
• • ^('-")-+-^-("-^-) + ^(^'-^)=^' d'il , ' , d-ii , , d'il , .
s ('-») + rf? ("-■'■' + ,71 ("-"' = "•
on aura exprimé que les difterences t — jc, u — y, <^> — z, ont les nièuies rapports (jue dx-, dy, dz, et qu'elles leur sont, par conséquent, proportionnelles. Les équations ( I ) qui représentent deux plans sont donc, si l'on veut, celles de la tangente.
./ 92. Les équations de la tangente à une courbe conduisent, sans difficulté, à celle du plan normal. Pour obtenir ce plan, il suffit en effet de remarquer qu'il passe par le point dont les coordonnées sont x, y, z, et qu'il est perpendiculaire à la tangente. Les formules de la géométrie analytique donnent d'après cela pour son équation
[t — x) dx -^- [u — y) df-\-[v — z) dz=zo,
dans laquelle dx, dy, dz, devront être remplacés par les fonctions qui leur sont proportionnelles. On peut d'ailleursdémontrerdirectement cette équation. Soient /, f/, t', les coordonnées d'un point quelconque de l'espace, les différences t — x, u —y, V — z, sont proportionnelles aux cosinus des angles formés avec les axes par la droite qui joint ce point au point donné de la courbe dont les coordonnées sont x, y, z. Mais dx, dy, dz, sont proportionnels aux cosinus des angles formés par la tangente à la courbe avec les mêmes axes, et, par suite, la condition pour que ces deux directions soient perpendiculaires, c'est-à-dire pour que le point t^ u, ç^ appartienne au plan normal, est précisément fif
[t — x] dx-\- [u — y) dy-\- [v — z] dz = o.
Courbes tracées sur une sphère.
93. L'étude des courbes tracées sur la sphère a conduit les géomètres à des résultats intéressants, et dont l'analogie avec les propriétés des courbes planes est digne de remarque. Nous nous bornerons à indiquer ici le système de coordonnées le plus habituellement employé pour représenter les points d'une sphère et le moyen d'abtèBÎr la tangente à une courbe définie par une équation entre les deux coordonnées de l'un quelconque de ses points.
Considérons sur la sphère un point P, auquel nous donnerons le nom de pôle ; le grand cercle dont le plan est perpendiculaire au rayon qui aboutit en P, recevra le nom (ïâquateur ; les grands cercles passant par le point P seront des méridiens, et les petits cercles ayant leurs plans parallèles à l'équateur, des parallèles. Les
points (Je la splièrt' seront définis par le méridien et le parallèle sur lesquels ils se trouvent, le premier étant donné par l'angle 9, formé avec un méridien fixe, et le second par sa distance au pôle, comptée sur un arc de grand cercle. 9 variant de o il ■:>.T. et 5 de o à ;:, tous les points de la sphère sont représentés. Ce système équivaut évidemment à l'emploi de la latitude et longitude géographiques à la surface de la terre, «p. désignant la longitude et 0 le complément de la latitude.
Soir une courhe définie par une relation F(&, o; = o entre les coordonnées de ses points. Soient M un de ses points et M' le point voisin; du point P comme pôle,
avecPM ( c'esl-a-dire R6) pour ravon sphérique, décrivons un petit cercle MM,. Le triangle MM'M, pourra être considéré comme plan et l'on aura
^, MM
^^"^^ mTF'
M' étant l'angle formé par la courhe avec l'arc de grand cercle PM'. Or on a
M,M' = Rrf9,
MM, =H sin 9^/0.
La première de ces équations est évidente, la seconde résulte de ce que MM, est un arc correspondant à l'angle da^ dans un cercle de rayon R sin 5. On a donc
Rf/9 I </6
tang M' = 77-^ — T-— = -: — - • -T--
Si en M' on mène un grand cercle M'Q normal à la courbe considérée, et que du point P on abaisse un arc de grand cercle PQ, perpendiculaire sur M'Q, le triangle sphérique PQM' donnera
