THÉORIE ANALYTIQUE DES TANGENTES ET DES PLANS TANGENTS
Équations de la tangente et de la normale a une courbe plane.
78. Lorsqu'une courbe plane est définie par une équation connue entre les coordonnées rectilignes ^r et j de ses points, on peut, d'après ce qui a été dit f 24 ), trouver l'équation de la tangente à cette courbe. On a vu, en effet, que le coefficient angulaire de cette tangente, au point dont les coordonnées sont x et y, est la dérivée
dy
^ de j par rapport à x, et les chapitres précédents font connaître le moyen de la
calculer.
En représentant par t et u les coordonnées d'un point quelconque de la tangente dont le point de contact a pour coordonnées x et y, l'équation de cette tangente est
La normale qui lui est perpendiculaire et qui passe également par le point dont les coordonnées sont x et y, a pour équation
ou, ce qui revient au même,
(3) . [u — y)df-\-[t — x)dx = o.
79. L'équation de la normale peut s'obtenir plus directement. Soient, en effet, t et u les coordonnées d'un point de la normale; le cercle dont ce point est le centre et qui passe par le pied ^, j de la normale, a une équation de la forme
X et y désignant les coordonnées de l'un quelconque de ses points. En différentiant cette équation, on en conclut
['>■) [y — h) dy + {x — /} ^/.r = o,
et comme ce cercle touche évidemment la courbe proposée au point dont les coordonnées sont X et r, le rapport y- a la même valeur en ce point, pour le cercle et
pour la courbe; on peut donc, dans l'équation (2), regarder dy et dœ comme se rapportant à la courbe, et elle ne diffère pas alors de l'équation déjà trouvée (78) entre t et u.
80. Les axes de coordonnées étant rectangulaires, si l'on abaisse, du point *de contact M, l'ordonnée MP, la ligne PT, comprise entre le point P et l'intersection T de la tangente avec l'axe des X, reçoit le nom de sous-tangente.
On la désigne abréviativement par S,; MN étant la normale, PN est la sous-normale que nous désignerons par S„, enfin MT et MN reçoivent respectivement les noms de tangente et de normale. Les expressions de ces quatre lignes s'obtiennent immédiatement d'après les équations de la tangente et de la normale : on trouve
La sous-tangente et la sous-normale ont un signe que les formules précédentes donnent exactement, si l'on convient de regarder la sous -tangente comme positive quand la ligne TP est dirigée dans le sens des X positifs, et la sous-normale comme positive quand PN est dirigé dans le même sens. Nous ne nous arrêterons pas à cette discussion, qui n'offre ni difficulté ni intérêt.
81. On a souvent besoin d'introduire dans les calculs les angles formés par la tangente ou la normale a une courbe avec les axes de coordonnées, et il est nécessaire d'éviter toute ambiguïté sur le sens dans lequel ces angles sont comptés.
Le coefficient angulaire de l'équation de la tangente est J^; si donc a désigne
l'angle formé par la partie positive de l'axe des X avec la portion de cette tangente supérieure à l'axe, on a
dx
I.IVHK l'HKMlKR. - ÉTUDE DKS DIFFÉKI-NTIKIJ.LS i:i DES DKUIVKES. 7.^
La direction de la normale se détermine par les angles X et /x, que forme, avec les axes, la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur la tangente. La perpendiculaire pouvant être prise dans un sens ou dans l'autre, les angles >. et a sont affectés d'une certaine indétermination, et Ton peut les cJianger tous
deux en même temps, en leurs suppléments. Le rapport — ^ est, néanmoins,
parfaitement déterminé, et l'on a, quelle que soit celle des directions opposées que l'on adopte,
ces). (h
ou, ce qui revient au même,
( 3 ) f'os À dx -h cos p.d'}' = o. ■
L'équation de la courbe étant
le rapport -^ est fourni par l'équation
I f\ ''^^ I dV j
(4) ^'^"■ + ^-^^'- = "' d'après laquelle l'équation (2) équivaut à
(5) dx dy
cos> cos p.
Ainsi donc : les cosinus des angles que forme la normale a une courbe plane avec les axes de coordonnées, sont proportionnels aux dérivées partielles du premier membre de l'équation de la courbe.
La somme des carrés de ces cosinus étant, pour une droite quelconque, égale à l'unité, on en conclut ^
dF dx
cos A = zt
//dFY l'dFy
cos u = :
'Il dr
les signes supérieurs ou inférieurs devant être pris en même temps à cause de l'équation (5 j.
82. (3n distingue quelquefois sur la normale à une courbe la direction extérieure et la direction intérieure à la courbe. Pour définir ces deux directions, il faut regarder la courbe dont l'équation est
comme partageant le plan en deux parties, l'une extérieure à la courbe et définie par la condition F (a;, y) > o, et l'autre intérieure, définie par la condition F (oc, y) < o. Cela posé, si nous nommons normale extérieure celle qui est dirigée vers la portion du plan extérieure à la courbe, X et [j. étant les angles formés par cette normale avec les directions des axes positifs, on aura toujours
ces / = H-
dV dx
vU) +
d¥ dr
cos p = +
Si nous portons, en effet, sur la normale extérieure une longueur infiniment petite £, les coordonnées de son extrémité seront
