C-OS V
, (d¥y (dvy
dz
COSp,
- + SCOS vj =
[r) -^{dz)
p (dvy- /dFy- [dxj "^U/r / '
idvy- '
[y\dx) -^[dy]
fdFy
dx j \dy j \ dz
La normale ayant été menée extérieurement, le premier membre est positif, et par conséquent il faut, dans le second membre, adopter le signe supérieur, ce (jui exige qu'on l'adopte également dans les équations précédentes.
97. Les formules qui font connaître la direction de la normale à une surface ayant une grande importance, il ne sera pas inutile de les démontrer directement, indépendan^ment de l'équation du plan tangent.
Soit
l'équation d'une surface : si, partant d'un point de cette surface dont les coordonnées sont .r, V, z, on passe à un point voisin dont les coordonnées sont j:- + d.r, y -+■ dy, z -^ dz, la fonction F devant rester nulle quand on substitue aux trois variables leurs nouvelles valeurs, l'accroissement infiniment petit de F sera égal à zéro, et l'on aura
r/F dx
dx
'Il dy
dy
dV dz
'fz = o.
Cette équation est vraie en négligeant les infiniment petits du second ordre, si djL-, dy, dz, sont rigoureusement égaux, comme on l'a supposé, aux accroissements intiniment petits de a:, de j et de s; mais elle est rigoureusement exacte, si da- et dy, représentant les accroissements de x et de y, dz est égal à la différentielle de ;,
laquelle ne diffère, comme on sait (53), de l'accroissement de :;, que d'un infiniment petit du second ordre.
En entendant les choses de cette manière, l'équation ( i J, qui est rigoureusement exacte, prouve que la droite qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont
• ^ dF dY dF proportionnels à j-' 7^' "/"' 6st perpendiculaire à celle qui forme des angles dont
les cosinus sont proportionnels à doc, dy, dz; cette dernière direction étant celle de la droite qui réunit deux points infiniment voisins de la surface, est celle d'une quelconque de ses tangentes, et la première est par conséquent celle d'une droite perpendiculaire sur toutes les tangentes, c'est-à-dire de la normale.
Détermination de quelques plans tangents.
98. Nous appliquerons les formules précédentes à quelques exemples. Exemple I. — Cherchons le plan tangent à la surface représentée par l'équation
f I ) X — az — (^ [y — bz] z= o.
L'équation du plan tangent est, d'après les formules précédentes,
Les cosinus des angles formés par la normale avec les axes de coordonnées sont
proportionnels à
I, —<},', —a-{-b<!/', et comme on a
«4-(— ^' )/>+(/> y' — rt) =0,
on voit que la normale de la surface est perpendiculaire à la droite dont les
équations sont
X = az, y^=: bz,
et que par suite le plan tangent est parallèle à cette droite.
L'équation ( i ) représente en effet une surface cylindrique dont les génératrices sont parallèles'à la droite x =r az, y= bz, et le plan tangent, contenant toujours une génératrice, doit être, comme on l'a trouvé, parallèle à cette droite.
Exeny)le IL — Considérons, en second lieu, la surface dont l'équation est
(i) ax-{-by-h z — <f{x' + y' + z'),
le plan tangent a pour équation
. [t — x) [a— -zxrf') H- [u — y) [b — iyvf') + (t/ — z) (i — 2 2»') = o. La normale a pour équations
La surface représentée par l'équation f i ) est de révolution autour de la droite dont les équations sont
t = av, u ==: hv.
La géométrie montre que cette droite est rencontrée par toutes les normales à la surface. 11 est d'ailleurs facile de le vérifier d'après leur équation générale trouvée plus haut.
Si, en effet, dans les équations (2) on remplace t par ac^ et u par ^ç^, elles deviennent
av — X hv — Y V — z
a — ■?.X'Sj' h — 2 y «p' I — 2 2»' auxquelles on peut satisfaire en posant
99. Nous résoudrons enfin quelques problèmes, dans lesquels nous nous proposerons de déterminer le plan tangent à une surface suffisamment définie, mais dont l'équation n'est pas donnée.
Problème l. — On abaisse d'un point 0 une perpendiculaire OP sur le plan tangent d'une surface S donnée par son équation; trouver le plan tangent à la surface 1 déente par le pied P de cette perpendiculaire .
Soient^, y, z les coordonnées d'un point de la surface S, le plan tangent en ce point a pour équation
la perpendiculaire abaissée de l'origine sur ce plan est représentée par les équations •
dz
dx
dz df
Si entre les équations (i) et (2) on élimine y- et y-» on obtient la relation
qui a lieu entre les coordonnées x,y, z d'un point M de la surface S, et les coordonnées t, u, V du point correspondant P de la surface 1.
En différenciant cette équation, on trouve
( 2 c» — z) dv -j- [-2. l — x] dt -h {9. H —y-) du — v dz — tdx — udy- = o.
D'ailleurs on a '
tdx -+- ady -\- vdz =^ o.
t, a, t' sont en effet proportionnels aux cosinus des angles formés avec les axes par la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan tangent à la surface S au point M, et dx, dy, dz sont proportionnels aux cosinus des angles formés, avjules axes, par la ligne qui joint, sur cette surface, le pointât,/, 2 à un point infiniment voisin, et il est clair que ces deux directions sont perpendiculaires. L'équation (4) se réduit, par suite, à
(5) (2/ — x) dt + [iu — j) du+ [^.v — z) dv=^ o.
Elle prouve que la droite qui fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à dt, du, dv, c'est-à-dire une tangente quelconque à la surface 1 au point P, est perpendiculaire à celle qui fait des angles dont les cosinus sont proportionnels à (2/ ~ x), [lu—y], [iv — z), c'est-à-dire à la droite qui joint le point
dont les coordonnées sont /, w, v, à celui dont les coordonnées sont ;' '-'^- ^1
résulte de là que, comme on l'a démontré (14), la normale à la surface 1 passe par
le milieu de la droite OM dont les coordonnées sont -5"-» ^•
Problème II. — On abaisse d'un point 0 une perpendiculaire sur le plan tangent d'une surface S donnée par son équation, et l'on prolonge cette perpendiculaire OP jusqu'au point Q , tel que
' OP.OQ = a%
a étant une ligne donnée. Trouver le plan tangent à la surface 1, lieu des points Q.
Soient M le point de contact du plan tangent à la surface S, et x, y, z les coordonnées de ce point. L'équation du plan tangent est
/ dz , .dz
la perpendiculaire OP a pour équations, comme dans le problème précédent, . dz dz
et si l'on nomme .r-,, y,, 2:, les coordonnées du point Q, on aura par conséquent
dz dz
0Q.= .; + r; + ^; = Op, = "-^j^^ ',u
\ dx ^ dr
Éliminant -j- ei-^ entre les équations précédentes, il vient
(3) xx^-{- yyi-\- zz,^a\
Cette seule équation suffit, comme nous allons le voir, pour ia détermination du plan tangent cherché. Elle donne, en effet, par la différentiation,
(4) o = xdxx -^ fdfx -\-zdZi + x, dx-{-y\ dy-{- z, dz.
Or on a
Xidx -\- fi df-\- Zi dz=^o,
car la ligne OP forme avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à Xi , y, , z, , et cette ligne étant perpendiculaire au plan tangent de la surface donnée, fait un angle droit avec une tangente à la surface S, qui forme avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à dx^ dy, dz. L'équation (4) devient donc
(5) o =^xdxi -+- ydy\ -!- z dzs ,
et elle exprime que la droite qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à dXi, dy^, dz^, est perpendiculaire à celle qui forme des angles dont les cosinus sont proportionnels à x,y, z, c'est-a-dire qu'une tangente quelconque à la surface lieu des points Q, est perpendiculaire a la droite OM qui joint l'origine 0 au point correspondant M de la surface S. Le plan tangent cherché est donc perpendiculaire à cette ligne OM, ce qui s'accorde avec le résultat trouvé (14-).
100. Les solutions des deux problèmes précédents ont présenté une simplification remarquable qui tient à uç^e circonstance géométrique qui leur est commune; cette simplification se présenterait également pour tous les problèmes renfermés dans l'énoncé suivant :
Problème IIL — Les points dune surface 1 se déduisent, suivant une certaine
loi donnée, mais d'ailleurs quelconque, des plans tangents d'une surface donnée S :
trouver le plan tangent en un point de la surface 2.
Soient x, y, z les coordonnées d'un point de la surface S: le plan tangent en ce
point a pour équation *
, , dz , , dz
Les coordonnées ûc^,y^, z, du point correspondant de la surface 2 sont, par hypothèse, des fonctions données des coefficients de cette équation. Si donc on pose
dz dz
di^^'' d^"^^'
z — px—qx=u,
on aura
et par suite
Mais de l'équation on déduit
j-, = <p, [p, q, u], z, = <fi{p, q, u),
, d(ft j d(ft , d<f, .
dxi = — dp H r^ dq + -~ du,
. dp '^ dq ^ du
dr^ = ^:$^P+^dq+^du,
dzi = -~ dp H r- dq H — r^ du.
dp ^ dq ^ du
u^= z— px — qy
du = dz — pdx — qdy — xdp — )'dq, c'est-à-dire, comme on a, (54), dz =z pdx -\- qdy ,
du = — xdp — ydq.
Par suite,
En éliminant dp et dq entre ces équations, on obtiendra une relation de la forme
Adxi + ^dy -j-Cdz, = o, dont on conclura, comme on l'a fait pour les équations (5) des problèmes 1 et 11,
que la normale à la surface 1 au point a;,, Jn ~t, fj^it avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à A, B, C. ^
Le succès de la méthode tient, on le voit, à ce que du s'exprimant en fonction de dp et de dq, on peut, sans différentiations nouvelles, former une relation du premier degré entre dx, , dfi , dzt. On peut remarquer que les valeurs de doc, , dyt, dzf, ne contenant que dp et dq, le plan tangent à la surface 1 est le même que si le plan dont on déduit les points de cette surface changeait de direction en passant toujours par le même point M; car/? et ^ sont les coefficients angulaires de l'équation du plan, et les variations dx, dy, dz des coordonnées du point de contact ont entièrement disparu du résultat.
Ce résultat s'accorde avec ce qui a été dit (14).
101. Lorsque les points d'une surface se déduisent des points d'une autre surface et des plans tangents en ces points, le plan tangent en un point de la surface ainsi formée ne peut pas toujours se déduire de la connaissance du point et du plan langent correspondant de la surface primitive. Nous donnerons cependant deux exemples de problèmes pour lesquels il en est ainsi.
ProrlèMK IV. — ^ partir des différents points d'une surface donnée S, on porte, sur les normales à cette surface, une longueur constante /; chercher la normale à la surface 1, lieu des points ainsi obtenus.
Soient x, y, z les coordonnées d'un point de la surface S ; a, |S, 7 les angles que la normale en ce point forme avec les axes, et a?, , j, , z^ les coordonnées de l'extrémité de la longueur / portée sur cette normale ; on a évidemment
Xi=: X + /ces a,
/ /, =j+^cosp,
2|= Z + /ces 7,
et, en différen liant,
dXi = dx -\- Id ces a,
dfi =z dy -+- Id ces p, • dzi = dz -\- Id cosy.
Si on ajoute ces équations après avoir multiplié la première par cos a, la seconde par cos |3, la troisième par cos 7, on obtient
cos a dx, -+- COS p dyi -+■ cos 7 dz, = cos a.dx-{- cos p dy + cos 7 dz
+ / ( cos a rf cos a + cos p rf cos p -H cos 7 (/cos 7 ;.
Or on a
cos' a + COS^* P -+- cos' 7 = r ,
d'où l'on conclut en différentiant,
cos x d COS a -+- COS p d COS p -h COS 7 d cos 7 = 0.
i02 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
D'ailleurs la direction de la normale étant perpendiculaire a une tangente quelconque de la surface S, on a ^
ces adx -\- cos ^dy -\- ces y dz = o,
et l'équation ( i ) devient alors
cos a dXi H- COS P dr> + cos 7 fl^2, = o,
d'où l'on conclut que la normale à la surface 1 au point x^,y^, z, fait, avec les axes, des angles égaux à a, /3, 7, et qu'elle coïncide par conséquent avec la normale au point correspondant de la surface S. C'est ce qui a déjà été démontré (14).
Problème \. — On donne un point 0 et une surface S, on joint le point 0 à un point quelconque M de la surface S ; par le rayon OM on mène un plan contenant la normale JNIN de la surface au point M ; dans le plan OMN on élève, par le point 0, une perpendiculaire OV au rayon OM, égale en longueur à ce rayon: trouver le plan tangent à la surface lieu des points P.
Coupons la surface S par une sphère de rayon OM ayant son centre en 0 : il est facile de voir que le rayon OP défini dans l'énoncé précédent, et sur lequel on doit porter une longueur OP = OM, est perpendiculaire au plan qui touche, suivant la génératrice OM, le cône dont le sommet est en 0 et qui a pour base la courbe d'intersection.
Soient x,y, z les coordonnées du point M, ^, , j, , z^ celles du point P; les rayons vecteurs OM et OP étant perpendiculaires, on a
(i) .r.a;, +7Ji + 22, = o.
De plus, la ligne OP étant perpendiculaire à la génératrice de cône infiniment voisine de OM, on a aussi
{2) . x^dx-\-y^dy-^ z,dz=o.
dx, dy, dz, désignant les différentielles de x, y, z, lorsqu'on reste sur la courbe d'intersection de la sphère avec la surface S. Si l'équation de la surface S est
dx, dy, dz sont définis par les équations
(4) xdx -+- ydr + zdz=o.
enfin on a
En différentiant les équations (i) et (5) et leur adjoignant l'équation (3 , on a
■ — [xdx, -\- fdy^ -+- zdz,) = Xtdx -hridx+ z^dz,
(6) • o = '^''^ + ^''r+^dz,
x^dxi ■+- Xidf, -+- z,dz=^ xdx + ydy -\- zdz.
Mais les équations ! 2) (3) et (4) étant compatibles, montrent que le déterminant àes coefficients de dx, dy, dz, dans les seconds membres des équations (6), est égal à zéro, et, par conséquent, il existe trois facteurs, \, n, m, tels, que les seconds membres multipliés par ces facteurs donnent une somme identiquement nulle; il en est donc de même pour les premiers, et l'on a
(7) [m X, — x) dxt H- (mj, — y) dy^ -h [m Zt — z) dzi=o.
m étant défini par les équations
X, + mx
my
dont l'une est la conséquence des deux autres.
On verra, comme dans les problèmes précédents, que, d'après l'équation (7;, la normale à la surface lieu des points x^, y^ , z^ fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à Tnx^ — x, mj, — j, mz, — z. Le problème proposé est donc résolu. Mais ce résultat peut être interprété, comme il suit, d'une manière éléiçante.
Considérons le triangle OMK formé parla droite OM, la normale MN et la ligne OP.
d^ dx
dif dy
dta
En écrivant que la somme des projections des côtés de ce triangle sur les axes des
coordonnées est nulle, on a
