KM

^x] -t- r' -h 2 ■; / ( d^Y fd^V l ^<P \ ' '^^'^ + ''"^ "^ -^"

OKn ^ ^^'^r rOM

v'.^'' + r' + 2^ ^ / (dm\' (d^y ^ ((hV '^^'^

dzj

\ \dx) ^ \dr

\' x', + y] + z] /(d^Y /d'fV- (dr^\ v^-+r'^

v'iè

et, par conséquent, en remarquant que oc] -^ y] + z] =x^+y'-hz'', on satisfait aux équations (8) en prenant

^^ ^^ /J7ÛY TdTV 7d

Les cosinus des angles que la normale en P forme avec les ;axes sont donc proportionnels à

^.OM-4-.rOK, j.OM+jOK, z,OU-{-zOK.

Or en portant sur OM une longueur OK' = OK, et, sur OP prolongé, une longueur OM' = OM, on voit que ces trois expressions sont proportionnelles aux projections sur les axes de la ligne K'M' qui joint les points ainsi obtenus; cette ligne K'M' est donc parallèle à la normale cherchée, or il est clair, par la géométrie élémentaire, qu'elle est dans le plan MOP et perpendiculaire à MK. C'est le résultat que nous avions trouvé (14).

102. Appliquons enfin la théorie des plans tangents à la détermination de la loi suivant laquelle se déplace le plan tangent à une surface réglée, aux différents points d'une même génératrice rectiligne.

Soient

X = Z'j,[cf.) -h -h [a.],

les équations d'une génératrice qui, par la variation du paramètre a, occupe dans l'espace une suite de positions dont l'ensemble forme la surface considérée. Pour simplifier, sans changer en rien la loi que nous cherchons, supposons que, pour une valeur de «, a— o par exemple, la génératrice coïncide avec l'axe des z: il

faut et il suffit pour cela que l'on ait

Cherchons comment varient les plans qui touchent la surface aux différents points de l'axe des z. Tous ces plans devant évidemment contenir l'axe des z, la coordonnée parallèle à cet axe ne figurera pas dans leur équation, et l'on ne peut pas faire usage de la formule

, . dz , dz

car les coefficients -7- et -7- sont nécessairement infinis. 11 convient donc de chandx df

ger les coordonnées les unes dans les autres, ce qui est permis, car rien ne les distingue essentiellement, et nous adopterons la formule

L'équation ne devant pas renfermer la lettre v, coordonnée parallèle à l'axe de z, on doit avoir -^ = o. Mais le calcul même va d'ailleurs nous l'apprendre.

Pour calculer -^j différentions les équations (i), en y traitant z comme constant; il vient

dx= [zç' (a) +^|>'(a)](/a, ;/r=[z/(a)+F'(a)]û?a,

dr ^zf{a] + r{..)^

dx Z^' (a) -t-ij»' (a)'

OÙ il faut supposer « =: o.

Pour calculer -^j et prouver qu'il est nul, différentions les deux équations ( 1 ), en y considérant x comme constante ; nous aurons

O = [z^' (a) -\--if' (a)] da. M- o (a) dz,

■fi?j=[z/'(«)-f-F'(a)]rfa-t-/(a)rf2,

et de là, en éliminant da.,

dr y(a)[z/'(a)+F^(a)] ^, , dz~ 2q,'(a)4-f (a) "^-^^ ''

ce qui, pour a = o, devient nul, à cause des hypothèses ç (o) = o,/'o) = o, 1. • i4

I/équation du plan tangent cherché est alors

a — y^z=:(t — X] ■ • ■ ■ , rn~\ '

en posant

'j,' (o) = m, ij>' (o) = n,

on voit que l'angle 6, formé par ce plan avec le plan des ZX, est donné par la formule

az 4- b

lang 9

mz -\- n

Si l'on substitue, au plan des ZX, un nouveau plan formant avec lui l'angle '^, l'inclinaison 5' sur ce nouveau plan sera donnée par la formule

, . (az4- 6) — tang(p (m2-h/i) • lang9' = tang 9 — (» =-^ -. , \^ , ^'

^ o V t; (;^2 + Al) + («2-4-0 ) lang o

et si l'angle 9 est choisi de telle sorte que

m 4- « tang «^ = o,

on aura

[«— mlang'f)^ (/> — /i taiig(j-)

lang 6'

(/i+6lang(p) (w-f-/> lang»)

Ainsi la tangente de l'angle formé par le plan tangent, avec un plan fixe conduit par la génératrice, est exprimée par une fonction de la forme

G2-hH,

et si l'on transporte l'origine des coordonnées au point de l'axe des z dont l'ordonnée actuelle est

on devra remplacer z par z -4- z' , et l'expression de tang 0' deviendra simplement

Nous voyons donc que la tangente de l'angle formé par le plan tangent avec un plan fixe, est proportionnelle à la distance du point de contacta un point convenablement choisi sur la génératrice.

103. Dans certains cas, la constante désignée par G est nulle et le même plan est tangent en tous les points de la génératrice.

Cherchons la condition nécessaire pour qu'il en soit ainsi, non-seulement pour une génératrice isolée, mais pour toutes les génératrices d'une surface.

Reprenons les équations

y = zf{a] +¥[.).

qui représentent une génératrice quelconque. Pour que le plan tangent soit le même tout le long de cette génératrice, il faut que les deux coefficients différentiels ,/ j

1 et ^ soient fonctions de la seule variable « et conservent la même valeur tant ax ay

que «ne change pas.

dz Calculons, par exemple, -r-' ^t, pour cela, différentions les deux équations ( i )

en y considérant y comme constant. Nous aurons

dx=^dzv^ {a)-h[zf (a) +ij>'(a)]ûfa, o = dzf[a.) 4- \zf' (a) + F' (a)] dy.,

d'où l'on déduit, en éliminant da,

dz I

dx zy^(a)-f-f (g) ., ,

Pour que cette fonction dépende de a seulement, et soit indépendante de z, on doit

avoir

dz en écrivant que i- est indépendant de z, on retrouverait la même condition, qui

exprime par conséquent la propriété en question.

Cette condition s'interprète géométriquement d'une manière remarquable: elle exprime que la génératrice dont les équations sont

X =: zv^[ai) -\r^ [y.],

coupe la génératrice infiniment voisine représentée par

x=2(p{a) +2cp'(a)(/a + i};(a) 4-i]>' (a)rfa,

j =z=2/(a) H- z/' (a) rfa -H F (a) + F' (a) Ja.

Nous n'insistons pas ici sur les conséquences de ce résultat et sur la manière dont il doit être entendu, notre but n'étant en ce moment que de donner une application de la théorie des plans tangents à une classe importante de surfaces.

Courbes et surfaces enveloppes .

. 104. Lorsque l'équation d'une courbe plane contient un paramètre arbitraire, la courbe peut prendre, par suite de la variation de ce paramètre, une infinité de formes et de positions différentes. On nomme courbe enveloppe de cette courbe mobile, une ligne fixe à laquelle elle reste tangente dans toutes ses positions. La courbe mobile à laquelle l'enveloppe est constamment tangente, reçoit alors le nom de courbe enveloppée.

H est facile de voir géométriquement que la courbe enveloppe est le lieu des points d'intersection de chaque courbe mobile avec la courbe infiniment voisine.

Si l'on considère, en effet, la série des courbes enveloppées obtenues en attribuant successivement au paramètre variable de très-petits accroissements, les points d'intersection de chaque courbe avec la courbe voisine formeront les sommets d'un polygone curviligne dont chaque côté sera un petit arc appartenant à l'une des courbes. La limite de ce polygone touche évidemment toutes les courbes proposées et passe par le point d'intersection de chacune d'elles avec la courbe infiniment voisine.

D'après cela, pour trouver l'équation de la courbe enveloppe, soit

(i) ? (-iï-,/, «) = o

l'équation de la courbe mobile enveloppée, dans une de ses positions, l'équation de la même courbe, dans la position infiniment voisine, est

(2) <if[x, y,a + da)=:o,

et pour avoir les coordonnées d'un point de l'enveloppe, il faut résoudre les équations (i) et (2). On peut évidemment substituer à l'une d'elles, l'équation obtenue, en les retranchant l'une de l'autre et divisant la différence par da, c'est-à-dire

et l'équation du lieu des points de contact ainsi obtenus, c' est-a-dire la courbe enveloppe cherchée, s'obtiendra en éliminant a entre les équations (i) et (3).

Par conséquent: l'équation de l'enveloppe des courbes représentées par l'équation (p {x,y,a) = o s'obtient en éliminant la constante a entre l'équation et sa dérivée par rapport à la constante.

105. On peut démontrer analytiquement que l'équation obtenue en éliminant a entre

représente une courbe tangente à chacune des enveloppées proposées.

Supposons, en effet, que dans l'équation (i) on remplace a par sa valeur déduite de (2); l'élimination sera faite, et l'on obtiendra une équation de la forme

A désignant une fonction de ^et dey. Or je dis qu'en chaque point de la courbe représentée par cette équation (3), la tangente est la même que celle de la courbe

enveloppée qui y passe. Le coefficient angulaire j- est donné, en effet, pour la

courbe (3), par l'équation

d (^ d^dr (i'f (dk d k dr dx dy dx dk \ dx dy dx

or pour la courbe représentée par l'équation (i) dans laquelle on attribue à a la valeur numérique que prend A au point considéré, le coefficient angulaire est fourni par l'équation

rf cp d(^ dy

dx ' dy dx

qui s'accorde avec la précédente, à cause de l'équation ^ = o, qui est satisfaite en tous les points de la courbe enveloppe.

106. Lorsque l'équation d'une surface contient un paramètre arbitraire, cette surface peut prendre, par suite de la variation de ce paramètre, une infinité de formes et dépositions différentes. Le lieu des intersections de chaque surface avec la surface infiniment voisine, touche, suivant une courbe, chacune des surfaces considérées et se nomme la surface enveloppe de celles-ci, qui reçoivent alors le nom de surfaces enveloppées.

Si l'on attribue, en effet, au paramètre arbitraire une série d'accroissements successifs extrêmement petits, on obtiendra une série de surfaces dont chacune coupera la précédente, et, sur chaque surface, on aura deux courbes voisines provenant de ses intersections avec la surface qui la précède et avec celle qui la suit; entre ces deux

courbes est comprise une zone, et l'ensemble de ces zones forme à la limite une surface lieu des intersections successives des surfaces proposées et qui les touche toutes suivant une courbe, puisqu'elle est la limite d'une réunion de zones respectivement empruntées à chacune d'elles.

107. La courbe d'intersection de deux surfaces infiniment voisines correspondant aux valeurs a et a -h da du paramètre a, est représentée par les deux équations

» (,r, y% z, a-\- da) = o, que l'on peut remplacer, absolument comme (104), par

o[x, y,z,'a]=o, (o\ d.<f[x,jr,z,a}

.On peut démontrer analytiquement que la surface dont l'équation résulte de l'élimination de a entre les équations (i) (2), est tangente à toutes les surfaces proposées. Supposons, en effet, que dans l'équation ( i ) on remplace a par sa valeur déduite de (2). L'élimination sera faite et l'on obtiendra une équation de la forme

A désignant une fonction de x, y, z. Or je dis qu'en chaque point, cette surface a même plan tangent que la surface enveloppée qui y passe. Les deux

coefficients -j-^^-p <ie l'équation du plan tangent sont donnés en effet pour la

surface (3) par les équations

dr^

df dz d<f / dk dk dz\

dz dx dk \dx dz dx J '

d(^ d(f dz df j'dk dk dz dr dz dr dk \ dy dz dy

et ceux du plan tangent à celles des surfaces enveloppées pour laquelle la constante est égale à la valeur numérique que prend A au point considéré, le sont par les équations

df df dz dx dz dx

df df dz dy dz dy ~

or ces équations rentrent dans les précédentes à cause de la condition -j^ — o,

qui est satisfaite en tous les points de la surface enveloppe, et par conséquent les deux plans tangents se confondent.

108. On peut encore chercher l'enveloppe des surfaces représentées par l'équation

aelb désignant deux constantes arbitraires. Il faut, pour obtenir l'équation d'une telle enveloppe, éliminer a et b entre les trois équations

da ' db

La surface représentée par l'équation résultante touche toutes les surfaces proposées, chacune en un seul point, ce qui distingue ce cas du précédent, dans lequel chaque enveloppée avait, avec l'enveloppe, une courbe de contact. Il est clair, en effet, que pour des valeurs données des constantes a et b, les équations ( i j et ( 2 ) n'ont qu'un nombre limité de solutions, et les points représentés par ces solutions sont ceux où la surface qui correspond aux valeurs choisies de a et de b est touchée par l'enveloppe. Il est facile de faire voir qu'en chacun de ces points les deux surfaces ont même plan tangent.

L'équation de la première est, en effet,

et celle de la seconde en diffère, parce que «et b sont remplacés par deux fonctions, A et B de x, y, z, qui sont les valeurs de a et ^ déduites des équations (2). Pour calculer les coefficients de l'équation du plan tangent à la surface ( i ), il faut faire usage des équations

auxquelles, pour calculer ceux du plan tangent à la surface représentée par l'équation

d¥ d¥ dz

dx dz dx

dF dF dz dy dz dy '

il faut substituer les suivantes :

dF d¥(h dY/dA dkdz\ dF ( dB ç(^^\q

Jx dz dx dk \dx dz dx j dB \dx dz dx )

d¥ dF^dz d^(dA dk^dz\ dF^ /dB dB dz\

dy dz dy dk\dy dz dy) dB \dy dz dyy

mais les fonctions A et B sont telles, que, pour chaque point de la surface enveloppe,

dF dF , , ^11 j dz dz

-rj = Q , -j^ = o, et, par conséquent, les valeurs de -r- , -i-,

tions ( I ) ne diffèrent pas de celles que fournissent les équations (4).

on a -^ = o, -T^ = G, et, par conséquent, les valeurs de ^, -i- déduites des équa-

^pplication à quelques exemples.