Enveloppe des ellipses représentées par l' équation
a' [k — ay '
dans laquelle k est une constante et a un paramètre variable. — L'équation -j- = o, est ici
on en déduit
kx
k — a= —^ jî
X -+-y et en substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on a l'équation de l'enveloppe
110. Enveloppe d'une ligne de grandeur constante mobile entre deux axes rectangulaires. — En prenant les axes donnés pour ceux des coordonnées, l'équation de la droite mobile est
a et b étant liés par l'équation
I2) ' a'-hb'z=lK
L'équation delà droite mobile renferme ici deux paramèfres. variables a et 6, mais il existe entre eux une relation connue; on peut doncéégarder'5 comme une fonction donnée de a, et appliquer la méthode générale. 'En différentiani les oqiiatioDs(i) et (2) par rapport àa, on a * ''"m^T^'H»*
xda y^dh
^■WW'^%M\
(4) ada->r hdb ^=0. **'lir'
Il faut éliminer fi^6 entre ces équations, puis égaler à zéro le coefficient de da; on obtiendra évidemment le même résultat en les ajoutant, après avoir multiplié la première par un coefficient indéterminé — /, et égalant à zéro les coefficients de da et de db. On trouve ainsi
(5) -^=«. jr=b;
ajoutant ces équations après les avoir multipliées par a et b, on en déduit
c'est-à-dire, en vertu des équations ( 1 j et ( 2),
par suite les équations (5) donnent
(7) • a' = l^x, b' = Pf;
en éliminant aeib entre les équations ( 2 ) et ( 7 ), on a enfin
Ce lieu est de même nature que le précédent. On aurait pu le prévoir en remarquant que lorsqu'une droite de longueur constante est inscrite dans un angle droit, ses différents points décrivent des ellipses dont l'équation générale est celle que l'on a considérée dans le problème précédent, de sorte que l'ensemble des ellipses et l'ensemble des droites recouvrent. la môme portion du plan, et les points où eljesne pénètrent pas sont limités, pour toutes deux, par la même enveloppe.
Jli PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
1 II. Surface des ondes lumineuses. — On donne un ellipsoïde dont l'équation est
Par le centre de cette surface, on mène un plan quelconque P qui la coupe suivant une ellipse E, et l'on mène un second plan P' parallèle au plan P à une distance inversement proportionnelle à l'un des axes de l'ellipse E. La surface enveloppe des plans P' joue un rôle important dans la théorie de la lumière, nous allons chercher son équation.
Les deux axes de Lellipse suivant laquelle l'ellipsoïde est coupé par le plan dont la normale fait avec les axes des angles dont les cosinus sont égaux à /, m, n, sont (*; les racines de l'équation
(û iC^ 6' lu c'^ u'
de sorte qu'en posant - ■= v et - = a, y = è', - = c' , l'équation du plan enveloppé dont la distance à l'origine est -5 est
l.x + my ~\- HZ = V,
et l'on a
t + m^ -t-- li^ = I ,
L'équation du plan mobile contient ici quatre paramètres /, m, n, v> mais il existe, entre eux, deux équations, et nous sommes par conséquent dans le cas traité (108). Il faudrait donc éliminer deux de ces paramètres, puis égaler à zéro les dérivées de l'équation du plan mobile par rapport aux paramètres restants; or cela revient, évidemment, à différentier en considérant les quatre paramètres comme variables, puis à éliminer deux des différentielles pour égaler à zéro les coefficients des deux autres dans l'équation oïi elles figureront seules.
En différentiant l'équation du plan mobile et les deux équations qui lient les
(*) Nous déduirons cette équation de la théorie des maxima et minima. On peut la former directement en remarquant que dans un ellipsoïde le produit des deux axes d'une section diamétrale parla perpendiculaire abaissée sur le plan tangent parallèle, est égal au produit des trois axes, et que la somme des carrés des inverses de trois diamètres perpendiculaires est constante et égale à la somme des carrés des inverses des axes.
paramètres, on a (i) xdl-^ydm-\- zdnr= dv,
i 2 ] Idl -h m dm -\- ndn = o,
Idl mdm ndn , F /' m' /i' 1
En ajoutant ces trois équations après avoir multiplié la première par X, la seconde par /Jt, et la troisième par — i, et égalant à zéro les coefficients de dl, dm, dn et dv, on trouve
en multipliant les équations (4), (5), (6) par/, m, w, et ajoutant, on en déduit
(8) Xt^ + fx= o;
mais en multipliant les mêmes équations par x,y, z, et posant x"^ + y"^ + z"^ =11^ ,
on trouve
, , . • Ix mr nz
et, à cause de l'équation (8),
Ix my^ nz
En ajoutant les équations (4), (5), (6), élevées chacune au carrée après que le second terme du premier membre a été transposé dans le second,
et par suite, en ayant égard à ( 7 ) et ( 8 ) ,
(il) ;5(r'— cM=-,
d'où l'on conclut,
Substituant les valeurs de À et de ix dans l'équation (4 j, on a
d'où l'on conclut
on aura de même
En multipliant ces équations par x, y, z, et ajoutant, eu égard aux équations f lo)
et (i2j,
C'est l'équation de la surface de l'onde. On ne doit pas oublier que t^ y représente a?* -h j^ -f- ^^ .
112. Surfaces développables . — Lorsqu'un plan se meut suivant une loi déterminée, et telle, que son équation ne contienne qu'un seul paramètre arbitraire, l'enveloppe des positions de ce plan se nomme mw^ surface développable .
La surface enveloppe étant le lieu des intersections successives de chaque position du plan enveloppé, avec la position infiniment voisine, une surface développable est le lieu d'une série de lignes droites, et, de plus, le plan tangent est le même tout le long de l'une de ces génératrices rectilignes.
Si l'équation du plan mobile est
l'équation de la surface développable s'obtiendra en éliminant a entre cette équation et l'équation
113. Surfaces canaux. — On nomme surface canal l'enveloppe des positions d'une sphère de rayon constant, dont le centre parcourt une courbe donnée. Une telle surface est le lieu des intersections de deux sphères infiniment voisines.
Or deux sphères infiniment voisines de même rayon se coupent évidemment sui-
vant un grand cercle dont le plan est perpendiculaire sur la ligne qui joint les centres. Une surface canal peut donc être considérée comme le lieu des positions d'un cercle de ravon constant dont le plan reste perpendiculaire à la courbe décrite par son centre. De plus, en chaque point de ce cercle, la surface est tangente à une même sphère, et par conséquent toutes les normales passent par un même point qui est le centre du cercle.
L'équation de la sphère mobile de rayon constant contenant un paramètre arbitraire est de la forme
et l'équation de l'enveloppe s'obtiendra en éliminant a entre cette équation et la dérivée par rapport à a
[a;-cp(a)]^'(a)-f-[r-^|'(a)lf (a)4-[2-F(a)]F(a)=o.
1. Le lieu des points tels, que la somme des carrés des longueurs des normales menées à une ou plusieurs courbes données soit constante, a pour normale, en chaque point, une ligne dirigée vers le centre des moyennes dislances des pieds de toutes les normales abaissées de ce point sur les courbes données.
2. Le lieu des points tels, que la somme des longueurs de deux normales menées à une même courbe ou à deux courbes données soit constante, a pour tangente la bissectrice de l'angle des deux normales.
3. Le lieu des points tels, qu'il existe une relation donnée entre les longueurs des normales abaissées sur une ou plusieurs courbes données, a la même tangente que le lieu des points pour lesquels il existe la même relation entre les distances à des points fixes qui sont les pieds des normales correspondantes au point considéré.
k. Dans un triangle formé par trois arcs d'hyperbole équilatère ayant même centre, ou par trois arcs de parabole de même foyer, la somme des angles vawt deux droits.
5. Si l'équation ^ [x, j) =C représente, lorsque la constante C varie, une série de courbes parallèles, on a
F (^) étant une fonction de f [x, j).
6. Si l'équation 7 [x, y; z)=C représente, lorsque la constante C varie, une série de surfaces parallèles, on a
F («p) étant une fonction de cp (.r, y, z).
