DIFFÉRENTIELLES DE QUELQUES FONCTIONS DÉFINIES GÉOMÉTRIQUEMENT
Différentielle d'une aire plane.
• 114. 11 est impossible de passer en revue toutes les fonctions implicites. Nous avons vu (60) comment on différentie celles qui résultent de la résolution d'équations connues; nous nous bornerons à considérer, dans ce chapitre, l'aire d'une courbe connue et la longueur d'un arc de courbe.
Considérons d'abord l'aire comprise entre une courbe plane, l'axe des X, et deux ordonnées dont l'une est fixe et l'autre variable.
Cette aire NAMP est une fonction implicite de x, dont nous allons chercher la différentielle, en supposant, bien entendu, que la courbe NM soit donnée par son équation.
Si l'on attribue à a; un accroissement infiniment petit dx, représenté par PP', l'aire considérée s'accroît du trapèze curviligne MPM'P', auquel on peut substituer le rectangle MKPP', car cela revient à négliger le triangle infiniment petit du second ordre MKM'. Or on a, en nommant/ l'ordonnée MP,
mLV^-=ydx.
La différentielle demandée est donc ydx et la dérivée de l'aire, par rapport à x, est y. •
115. Le résultat précédent fournit la démonstration immédiate d'un théorème important :
Il existe toujours une fonction dont la dérivée soit égale à une fonction donnée ç {x).
Pour trouver une telle fonction, il suffit, en effet, de considérer la courbe dont l'équation en coordonnées rectangulaires est
l'aire comprise entre une ordonnée fixe et l'ordonnée dont l'abscisse est œ, est une fonction déterminée, qui, d'après le théorème précédent, a pour dérivée 9 {x).
116. Considérons, en second lieu, une courbe plane rapportée à des coordonnées polaires, et cherchons la différentielle de l'aire comprise entre cette courbe, un rayon vecteur fixe OA, et le rayon OM qui correspond à l'angle oj.
Si l'on attribue à l'angle 00 un accroissement infiniment petit MOM' représenté par c?w, l'accroissement de l'aire est le secteur MOM'; du point 0 comme centre, avec OM pour rayon, décrivons l'arc de cercle 3IP, on peut substituer à OMM' le secteur OMP, en négligeant le triangle infiniment petit du second ordre MM'P. Mais
le secteur OMP est égal à p' — -. telle est donc la différentielle de l'aire considérée, et la dérivée de cette aire par rapport à w est -•
117. On a besoin quelquefois d'exprimer la différentielle précédente en employant les coordonnées rectilignes; il est facile de déduire son expression du résultat que nous venons d'obtenir.
On a, en effet, en vertu des formules connues de transformation, en prenant pour origine des coordonnées nouvelles le pôle 0, et pour axe des X l'axe polaire,
lang w =ir - , w = arc lang - :
on en déduit
, xdr — ydx
aw = — ^^ 5
et, à cause de x^ -+- y^ = p^ ,
fd(a=:xdy — ydx ,
en sorte que la différentielle de l'aire AOM est
, . .rr/r — rdx d A = —
Cette formule pourra donner pour dX une valeur négative; il suffit pour cela que l'on ait
xdy — ydx <^ o ,
c'est-à-dire, en supposant x et doo positifs,
dx X '
ce qui suppose que la parallèle menée par le point 0 à la tangente en M, dirigée dans le sens où x augmente, soit au-dessous du rayon vecteur OM, et que, par suite, l'angle w diminue lorsque le rayon OM tourne autour du point 0 pour se transporter sur OM'.
L'expression xdy — ydx est donc négative, comme cela doit être, dans le même cas que l'expression équivalente p^rtfw.
Différentielle d'un arc de courbe.
118. La comparaison directe d'un arc de courbe avec la ligne droite prise pour unité étant impossible, une définition est indispensable. Nous avons adopté la suivante : La longueur d'un arc de courbe est la limite dont s'approche le périmètre d'un polygone inscrit, lorsque ses côtés diminuent indéfiniment. 11 a été prouvé (18) que cette définition est légitime, et l'on en a déduit qu'un arc infiniment petit diffère de sa corde, d'un infiniment petit du troisième ordre.
Soit AM un arc de courbe plane, rapporté à des coordonnées rectangulaires OX et OY. Si, l'extrémité A restant fixe, l'abscisse de l'extrémité M reçoit un accroissement infiniment petit représenté par àx, l'arc prend l'accroissement infiniment petit MM'. Or MM' peut ( 19) être remplacé par sa corde, qui n'en diffère que d'un infiniment petit du troisième ordre, et cette corde est essaie à
Le rapport de cette corde a A^ est donc
et la limite de ce rapport, c'est-à-dire la dérivée de l'arc, est
dx
La différentielle de l'arc s est le produit de cette dérivée par dx, et l'on a , par conséquent,
ds=^ \ldx''-{-dy^ H- dz\ I. i6
Lorsque la courbe proposée est plane, en la rapportant à deux axes de coordonnées situés dans son plan, on trouvera évidemment
ds = sjilx- H- (//'.
119. Appliquons la formule précédente à l'arc de cycloïde. Nous avons trouvé (83), en prenant pour origine des coordonnées le sommet, et pour axe des X la tangente à la courbe,
dr./ r ■
dx V 2« — j' on en condut :
.adf'^
