La formule précédente peut se déduire (le l'équation
ds^ = dx^ -+- dy' + dz\ On a, en effet,
2=:pcosô, jf = psin 0 cosii, j= psin 9sin\}>,
on en déduit
dz= — p sin 9dB -+- ces Odp,
dx =p cosQdQ cosij^ — o sin 9 Hin-^ d'il -h sinQ eos^^t/p,
df = pcosQdBs\x\ ^ H- p sin 9 cos|J^Î/-4- sin 9 sin -^ dp,
et en ajoutant les carrés on trouve, après des réductions faciles,
dx"" -+- dr' -h dz' — dp' + p'da- -+- p^ sin^ 9 (/^j>^
Différentielle d'un arc de courbe dans un système de coordonnées
curvilignes .
123. Le système le plus général que l'on puisse concevoir pour représenter les points de l'espace, est celui dans lequel un point est déterminé par l'intersection de trois surfaces données, de nature quelconque, et dont chacune se trouve définie par la valeur attribuée à un paramètre qui figure dans son équation. Supposons que les équations de ces trois surfaces soient résolues par rapport aux paramètres variables, et représentons-les par
Donner une valeur à a, c'est assigner une surface sur laquelle se trouve le point considéré; si l'on donne à la fois a et |3, le point est situé sur deux surfaces données et par suite sur leur courbe d'intersection; enfin la position du point est déterminée par l'intersection de cette courbe avec la surface qui correspond à la valeur choisie pour -y.
Il est facile de calculer la distance des deux points infiniment voisins dont les coordonnées sont a, |3, y, a + da, ]S 4- d^, y -4- d-^. En nommant en effet ds cette distance, on a
ds" = dx'' -f- dy' + dz\ Mais X, y, z peuvent être considérées comme trois fonctions de a, |3, y, et
126 PRExMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
l'on a
, dx j dx ,„ dx j
, dz j dz j^ dz ,
et l'on voit, par suite, que l'expression de 6?^^ est de la forme
ds' = kdu.' -hBd^' -h Cdy' -h^dud^ + Edo^d-^ + F d^dy.
124. Si les surfaces représentées par les équations données se coupent orthogonalement pour toutes les valeurs de a, ]S, 7, les coefficients D, E, F disparaîtront de la formule précédente, et l'expression de cls^ se réduira à la forme
ds' = kdx'-hBdp'-{-Cdf,
I En effet, dans l'hypothèse admise, les six surfaces qui correspondent aux valeurs a, /3, 7, a-hdct, ^-hd^, 7 + ^7 des coordonnées, forment un parallélipipède rectangle dont la diagonale ds a pour carré la somme des carrés des trois arêtes;
, mais les arêtes sont respectivement représentées par ce que devient ds quand on suppose c?/3 = o, c?7 = o, puis da = o, dy = o, et enfin du = o, dp = o; leurs longueurs sont donc, d'après l'expression générale de ds^,
dxsfK, rfpv/B, d-^sjL,
et l'on a, par suite,
ds'=kda.'-{-'Rd^'-^Cdf, en sorte que D, E, F sont nuls.
J25. La considération du parallélipipède rectangle infiniment petit peut nous donner également l'expression simple des coefficients A, B, C ; A c?a^ par exemple, est le carré de la distance des points infiniment voisins correspondant aux coordonnées a, /3, 7, a -h da, jS, 7. Si l'on nomme s cette distance, ses projections sur les axes des coordonnées sont l'espectivement égales aux produits de s par les cosinus des angles formés par sa direction avec ces axes; cette direction étant celle de la normale à la surface dont l'équation est
les trois projections sont représentées par
(la. dy.
, dx , ' dy
dx = - 7 ar :=
dz
du.
lidoLy (dey idy.\
vu) +w) +y
et par suite l'équation
, d a. da. , dy. ,
aa = -T- dx + -r dr-\ — j- dz dx dy - dz
donne
Donc
--V(r:r-(ir
dy.
dz
idyy (d^y i^y
{-Tx) ^ \Tr) "^ \dz)
z^ représentant, comme on l'a dit, le produit kdcr}, on en conclut
doLY /du
\dz
on aura de même
Id^y fduV' \dx] \dy)
B = -^TTTT^; r-TTTT-; T-TTrr-. . C =
Jx) "^ \dy) '^ \dz) \1b) '^ \dx) ^ [Tz]
et l'expression de ds"^ devient
da} flfp'
df
dx) \dfj \dz
126. Pour étudier les points d'une surface, on peut admettre que cette surface fasse partie du triple système de surfaces coordonnées, et qu'elle corresponde à une valeur donnée de l'un des trois paramètres, de y par exemple. Dans l'expression
précédente, il faudra alors supposer d^i — o, et le carré de la distance de deux
points infiniment voisins prendra la forme
a et jS étant les paramètres de deux systèmes de courbes qui se croisent à angle droit sur la surface donnée.
127. Les formules précédentes fournissent, comme application particulière, la formule trouvée (121) pour exprimer la distance de deux points infiniment voisins dans le système de coordonnées polaires défini par les équations
z = pcosâ, ;r = p sin 9 cos ^p , j = p sin 6 sin i}/, équivalant à
\ix--\-f' r
p = y'.r' -h r^ -+- 2% 9=:arrtang =— , i]< = arctang
p, 0 et 4» étant ici les trois paramètres désignés dans la formule générale par les lettres a, |S, Y, on trouve le résultat déjà obtenu ( 122)
ds" = df + p'^e' -H p' sin^ 6 d^\
Si l'on veut la distance de deux points infiniment voisins sur une même sphère de rayon p, il faut faire dp = o dans la formule précédente, et l'on a
ds^ = p' (r/Ô' H- sin' 9 </^}*') , ce qui s'accorde avec le résultat déjà trouvé.
128. Après le système de coordonnées polaires, le système de coordonnées curvilignes le plus fréquemment employé est celui dans lequel chaque point est déterminé par l'intersection de trois surfaces homofocales du second degré.
Supposons qu'un point soit défini par les valeurs que prennent en ce point les trois racines de l'équation en (x,
b e{ c désignant des constantes données.
Pour chaque point de l'espace les trois racines de cette équation sont réelles. Si l'on suppose par exemple h^ <C c^, il suffit pour s'en assurer de faire successivement p.- = H- 5 , ij} — b"^ — i, ij,^ = b^ -hz, ij}=^c^ ~ z, [j? = c^ + £ , £ étant
infiniment petit ot positif. Le premier membre prendra les signes suivants :
li.- = h' — s —
j fx' = 6- -h £ -+-
et comme le premier membre ne devient pas infini pour les valeurs de p. comprises entre celles qui sont réunies par une môme accolade, il faut qu'il s'annule dans chacun de ces intervalles, et l'équation a par suite trois racines, l'une comprise entre o et è^ l'autre entre b^ etc% la troisième entre c^ et + qo . Si l'on adopte la première racine, la surface représentée par l'équation ( i ) est un hyperboloïde à deux nappes, elle est un hyperboloïde à une nappe si l'on adopte la seconde racine, et un ellipsoïde quand on adopte la troisième. En nommant p., v, p les trois racines et supposant p.^ > v^ > p'% les trois surfaces ont pour équations
'^^ "*" p= — 6-^ "*" lû — c' ~ ' '
on constate facilement qu'elles se coupent à angle droit.
129. En regardant comme coordonnées d'un point les valeurs de [i, v, p qui lui correspondent, la distance de deux points infiniment voisins prend une expression remarquable. Commençons par résoudre les trois équations (2). Pour y parvenir, décomposons en fractions simples l'expression
D'après la méthode connue fournie par l'algèbre élémentaire, cette fraction est égale à
en faisant
Si donc on a
on en déduira pour X les trois valeurs, \ = p\l = ^}, X = -/ et les formules ii font connaître x, y et z, en fonction des trois paramètres qui leur correspondent. On déduit des formules (2), en les différentiant après avoir pris les logarithmes des deux membres,
. xd^ xd^L X d-j
dr= ^'^^^ I ^-^^
dz=. ^P^P +±^t
et par suite, après des réductions faciles,
Si l'on suppose dp = o, c'est-à-dire si les deux points infiniment voisins sont sur l'ellipsoïde dont Téquation est p = const. , cette formule devient
'Il
130. Sur chaque surface et à chaque système de variables, correspond une forme particulière de l'expression qui représente ds\ L'étude de ces formes a, comme on le verra plus tard, une grande importance pour la théorie des surfa.ces, mais nous nous bornerons à donner ici celle qui convient aux surfaces de révolution.
Sur/aces de révolution. — En prenant pour coordonnées des points d'une surface de révolution, la longueur a comptée sur le méridien, entre le point considéré et un parallèle fixe, et l'angle w formé par le méridien avec un méridien fixe, on voit
immédiatement que l'expression de ds"^ est de la forme
ds' = dïï' H-(s ((t) d(^\
Soient, en effet, M et M' deux points infiniment voisins; AM, A'M' les méridiens qui leur correspondent; AM = c-, A'M' = c-\-d7. L'angle de ces méridiens étant dw, on a
