MM' =M'P +MP

Décrivons de l'origine 0 comme centre, avec OM pour rayon, un arc de cercle MP', compris entre les rayons vecteurs OM et OM', on pourra, en négligeant toujours les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier, remplacer M'P par M'P', et MP par l'arc MP'. L'erreur commise dans la première substitution est en effet égale à PP', c'est-à-dire à la différence entre la longueur OM et la projection de cette longueur sur une direction qui forme avec la sienne un angle infiniment petit ; quant à la substitution de l'arc MF à la droite MP, elle revient à remplacer un sinus infiniment petit par l'arc correspondant. On a évidemment

MP'= pAo).

Par conséquent, en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au second,

MM' = Ap= + p^Aw .

MM'

La limite du rapport — ^? c'est-à-dire la dérivée de l'arc s, est par conséquent

ds ^ /fdpV dZ='\/\dZJ -^p''

et l'on en conclut

ds-= s/dp^ + p2c?w%

ds^= dp' -h p'dr^-.

On a trouvé en employant les coordonnées rectilignes

ds' = dx' + df',

et en employant les coordonnées polaires

ds- = dp^ + p^doi.

Ces expressions sont équivalentes, et l'on peut facilement passer de l'une à l'autre. On a, en effet,

a:=:pcosw, j=:psinoj, on en déduit

dx = ces oidp — p sin w û?w ,

dyr= sin wrfp + p ces udu .

et en ajoutant ces équations après avoir élev^ au carré les deux membres de chacune d'elles,

dx' + dy' = dp- + p'dui'.

121. On détermine quelquefois les points de l'espace à l'aide d'un système de coordonnées analogues aux coordonnées polaires: OX, OY, OZ étant trois axes rectangulaires, un point M est défini par sa distance p à l'origine, par l'angle 6 formé par ce rayon vecteur avec l'axe des Z et par l'angle ^ compris entre le plan des ZX et celui qui passe par l'axe des Z et par le rayon p.

Pour exprimer la différentielle de l'arc d'une courbe rapportée à un tel système de coordonnées, considérons/ en premier lieu, une courbe située sur la surface d'une sphère de rayon p. Les points de cette courbe seront déterminés par les coordonnées 9 et ^. Les points qui, sur la sphère, correspondent à une même valeur de ^ sont situés sur un grand cercle dont le plan , passant par l'axe des Z, forme avec celui des ZX un angle égal à <\>, et les points qui correspondent à une même valeur de Q sont situés sur le petit cercle suivant lequel la sphère est coupée par le cône de révolution d'angle 6 dont l'axe coïncide avec l'axe des Z : le rayon de ce petit cercle est évidemment p sin Q. Le point défini sur la sphère par les coordonnées 5 et <]; résulte de l'intersection des deux cercles que l'on vient d'indiquer, dont l'un peut être considéré comme un méridien de la surface sphérique , et l'autre comme un parallèle.

Les quatre cercles qui correspondent à deux points infiniment voisins, ayant pour coordonnées, l'un 6 et i\>, l'autre Q -h dû et i>-h d^, forment un rectangle infiniment petit : la distance des deux points est la diagonale de ce rectangle et peut être considérée comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont deux arcs de cercle infiniment petits, et que l'on peut assimiler à un triangle rectiligne; l'un des côtés de ce triangle appartient à un cercle de rayon p et correspond à l'angle dd, il est égal à pd9; l'autre appartient à un cercle de rayon p sin 6 et correspond à l'angle d^, il est égal k psmQdi\>: la distance ds des deux points considérés est par conséquent exprimée par la formule

ds'' = p^d&''+p'sïn^ed^\

Considérons maintenant une courbe quelconque dans l'espace. Chaque point de cette courbe est défini par trois coordonnées p, 0 et i\i. La valeur de p fait connaître une sphère qui contient le point. Celle de Q fait connaître un cône sur lequel il se trouve également, et ^ détermine enfin un plan qui, par son intersection avec la sphère et avec le cône, achève de le fixer. Ces trois surfaces, la sphère, le cône et le plan, se coupent deux à deux sous des angles droits ; si donc l'on considère deux points infiniment voisins, les six surfaces qui les déterminent formeront un parallélipipède rectangle infiniment petit, dont la diagonale est la distance des deux points. Le carré de cette distance, ds\ est donc la somme des carrés des trois arêtes, c'est-à-dire, comme on le voit "bien facilement,

ds'— dp' -i-fJdr--^p's\nHd-l>\