DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES D'ORDRE SUPÉRIEUR AU PREMIER

Définition des dérivées d'ordre supérieur.

132. Les méthodes exposées dans les chapitres précédents permettent de former la dérivée d'une fonction donnée quelconque d'une variable x. Cette dérivée est une fonction de la même variable, et les mêmes règles permettent d'en prendre la dérivée que l'on nomme seconde dérivée de la fonction primitivement considérée. La dérivée de la seconde dérivée est la troisième dérivée, et ainsi de suite indéfiniment. De même que la première dérivée s'indique par un accent placé au-dessus du signe de la fonction, la seconde dérivée est indiquée par deux accents, la seconde par trois, etc., en sorte que les dérivées successives d'une fonction çj [x] sont désignées par

¥'(.r), ^"[x), f[x), ^^^'[x),...,^'^[x). Définition des différentielles d'ordre supérieur.

133. En désignant par © (x) une fonction y de la variable x, on a (4-6), par définition,

(0 dr=<^'[x)dx.

Si l'on regarde dx comme une constante, cette différentielle dy est une fonction de la seule variable x, et l'on peut elle-même la différentier. La différentielle de dy se nomme différentielle seconde de j, on la désigne par d-y et l'on a évidemment

(î) dy == rf" [x] dxK

En regardant toujours dx comme une constante, dy est une fonction de la seule variable x. La' différentielle de dy se nomme différentielle troisième de r, on la désigne par d^y et l'on a évidemment

(3) d\r = ^"' [x] dx\

et en continuant à faire des conventions que l'analogie indique suffisamment, on

verra que l'expression de la différentielle n'^'"^ de y, d"y, est

[n) (1"}-=^ <!f"[x)(lx".

Les équations (i), (2), (3j, . . .,{n) donnent, si l'on veut, l'expression des dérivées successives en fonction des différentielles correspondantes, on en déduit:

134. Si l'on attribue à la variable x des accroissements finis, égaux entre eux, et représentés par AiP, la fonction «p (07) prend les valeurs successives 9 (a?), (pia^-hàa:],

(f){x-h 2Aœ), . . . , cpiûc-h- n^œ), que nous représenterons par y, y,, y.^, . . . , y,,. Posons, en adoptant une notation souvent employée,

ji — y = ^y, y-i — j"i = ày, , y,— r„, = a >■„, ,

^\Ti — ^^y = ^^y, ^^y2 — a^j, = a'>-, , ... ày-n^-i — a^ r„:, = ^'yn-s ,

A^y, A** j, . . ., sont les différences secondes, troisièmes, etc., de y.

Si A^ devient infiniment petit, Ay peut être remplacé par dy. Nous allons prouver que l'on peut de même remplacer A^j par d^y, A^y par d^y, et ainsi de suite, en ne négligeant, dans chacune de ces substitutions, qu'une pSrtion infiniment petite de la quantité que l'on évalue. Mais pour faire cette démonstration nous devons préalablement démontrer le théorème suivant :

135. Si une fonction (|i ix, a) contient,, outre la variable x, une lettre a qui en est indépendante, et que cette fonction soit nulle, quelle que soit x, lorsqu'on y suppose

a égal à zéro, il en est de même de la dérivée "^ ^ ' — ^•

Cette proposition devient évidente si l'on remarque que, la lettre a étant traitée comme une constante dans la différentiation et la valeur de cette constante restant indéterminée, il est indifférent de la fixer avant ou après l'opération. Or en faisant « = o avant l'opération, la fonction devient nulle, et sa dérivée est par conséquent égale à zéro; il en est donc de même si l'on suppose a égal à zéro après la différentiation effectuée.

Il est évident, d'après cela, que si la fonction ^ [x, a) est infiniment petite, quel que soit x, pour une valeur infiniment petite de a, il en est de même de sa dé-

. . d-i) (x, a) rivee ' \ — '■

(Ix