Cela posé, considérons la fonction

et adoptant la notation du paragraphe précédent, on a

z étant une fonction de x et de ^x qui s'anjiule avec Aic. Si, dans les deux membres de l'équation {2), on change a? en a: + A a?, leurs accroissements divisés l'un et l'autre par A-x- seront égaux, et l'on aura

Or, lorsque ^x tend vers zéro, -îJ^ a évidemment pour limite o" [x], et^ a

pour limite zéro; car, s étant, quel que soit x, infiniment petit avec È^x, il en est de

même (135) de sa dérivée et par conséquent du rapport ^ qui diffère infiniment

peu de cette dérivée. Il résulte de là que ^x étant infiniment petit, et en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, on a

c'est-a-dire que, ^x étant infiniment petit. A^.y est égal à d'^y lorsqu'on néglige les infiniment petits du troisième ordre.

137. Il résulte de la démonstration précédente que Aa; tendant vers zéro, ^^ a pour limite la seconde dérivée de y, f (x); posons donc

) ïv.=/(-;

£, étant une fonction de ^ et de A a? qui s'annule avec ^x. Si, dans les deux membres de l'équation (i), on change x en x -h ^x, leurs accroissements divisés l'un et l'autre par Ax seront égaux et l'on aura

A^r A©" [x] Aï, \x^ ^X ^X

\^" I x) ■ Aï.

Or, lorsque Ax tend vers zéro, ^^ ' ' a évidemment pour limite 9" {x) et — a

pour limite zéro, pour la même raison que dans le cas précédent; il en résulte que, Ax étant infiniment petit, on a, en négligeant les infiniment petits du quatrième ordre.

On verra absolument de la même manière que A'j peut être remplacé par

fix) Ao^S et que, généralement, A"j est égal à f [x) A.t" lorsqu'on néglige les

infiniment petits d'ordre n+ i, en sorte que A"/ et d"Y sont deux infiniment petits d'ordre n, dont le rapport a pour limite l'unité.

138. Il y a une différence essentielle entre les différentielles d'ordre supérieui' et celles du premier ordre. Lorsque plusieurs variables sont tellement liées les unes aux autres, que toutes dépendent de l'une d'entre elles, les rapports de leurs différentielles du premier ordre sont complètement déterminés (57). Il n'en est pas de môme pour les différentielles d'ordre supérieur, tant que l'on n'a pas fait choix d'une variable indépendante; cela tient à ce que, pour former les différences A'j, A^j',. . . , que l'on peut remplacer, lorsqu'elles sont infiniment petites, parc?^jK, d^y,. . ., il faut attribuera la variable principale a? des accroissements successifs égaux entre eux, et cela distingue cette variable de toutes les autres dont les accroissements correspondants sont, en général, inégaux. Lorsque l'on considère, au contraire, les seules différences et différentielles du premier ordre, on ne donne à la variable x qu'un seul accroissement A^r que rien ne distingue des accroissements correspondants des autres variables.

Remarquons enfin que les différentielles d'ordre supérieur au premier sont nulles pourla variable principale ou indépendante, et que l'on a évidemment, lorsque .r est cette variable ,

Détermination des dérivées successives d'une /onction.

139. Pour former les dérivées successives d'une fonction, il suffit d'appliquei' un nombre de fois convenable les méthodes connues qui fournissent les dérivées du premier ordre. Malheureusement les calculs se compliquent souvent de plus en plus, et il est presque indispensable de recourir à des artifices particuliers pour obtenir effectivement les dérivées d'un ordre élevé.

Nous allons donner quelques exemples de ces artifices.

Dérivées d'un produit. — Si l'on représente par P et Q deux fonctions d'une même variable x, les règles connues donnent

(Ix dx ilx '

^ ' dx^ ~ dx^ '^ dx dx'^ ^dx^'

dx^ ~ flx' "^ dx dx' "^ dx^ dx ~^/^ d^' ï. i8

et l'on est conduit, par induction, à écrire la formule suivante :

d" ( PO ) ^d'Q , dP d"-^Q n[n—^)dV d"-'Q , , dx" dx" dx dx"-' 1.2 dx' dx^-""