A- Ix'' dx"^'-'' "*"■■■ ^ dx
ce qui est là formule (2 ) dans laquelle n est changé en tî + 1 , et dont la généralité est ainsi démontrée.
140. Dérivées d' une fonction de fonction . — Soit m une fonction de x, et <p (w) une fonction de fonction que nous désignerons par j. On trouve en différentiant successivement et en représentant par 9' [u], ç?" (w), 9'" (m),. . . , les dérivées successives de la fonction 9 (wj,
/ N dr du , . .
,,,, d'r d^u , , , 'idii\ „ , .
r/\ ^''.'>'' ^'" >i \ , ^ du d'il ,,, , /ry«\5 ,„ , ,
et l'on voit aisément que l'expression de -j-^, est de la forme
A,, Aj, . . . , A„ dépendant de u et de ses dérivées, mais ne variant pas avec la forme de la fonction (f.
Pour obtenir ces coefficients, posons
et, par conséquent,
dx" T \ ' 1.2^^' i .1. . Jt ' i .•?.... n ^ '
Les coefficients B,, B2,...,B„ étant indépendants de la forme de «p, on peut les déterminer en faisant sur cette fonction des hypothèses particulières. Nous supposerons successivement, (p{u) = u, a> (u) = u^, . . . ,(p {u) = u", et en appliquant l'éqnation (5) à ces différents cas, on obtiendra, entre les inconnues B,, Bo, . . . , B„, les n équations suivantes :
dx" "
dx"
— j^j-L = nB, u"-' + -i^ '. B, u"-' H ^ '-\ ' B, u'-' + . . + B„.
dx" 1.2 1.2.3
Pour résoudre ces équations et calculer l'un quelconque des coefficients, B^ par exemple, ajoutons-les jusqu'à celle de rang k inclusivement, après avoir multiplié la première par^ . -, la seconde par L^^IzLi 1, la troisième par m ^ — 0( f—"^) j
la quatrième par
et ainsi de suite; toutes les inconnues B,, B^, . . . , B^ disparaîtront, à l'exception de B^. En effet, k' étant un nombre quelconque inférieur à k, le coefficient de B^, est. après cette addition, .
^ /r(/r-i).. I (//-hi](//-^2).../,'] I 2. . ./r 1 .2. . .1 /r — /»') j
c'est-à-dire
ou enfin,
Il y a exception quand on suppose ^=:^', et la somme est dans ce cas ( — i)*'*'* -^•
L'équation obtenue en ajoutant les équations (6) respectivement multipliées par les facteurs indiqués, est donc
1 ,^r7r^/"» lt{k — i) I d'-u' /. (/>■— i)(/.— ?.^ I dUi' ^ i d'UiH
J?^''~ ^^^'l^TidôT" 1.2 ' le dx" ^ 1.2.3 u^ dx'^ " ' ~~ «* (/.r" J '
D'après cela, la formule (5) fera connaitre la dérivée n'^'"* d'une fonction 9 (m), en fonction des dérivées n"'"^' de toutes les puissances de w, dont l'exposant ne surpasse pas n.
141 . L'expression trouvée pour représenter —^ peut se transformer de la manière
suivante :
On a
('i,y=,.)*(.-:')'=(-)'[.-^-.^if^s---±::;}
Différentions n fois les deux membres par rapport à x, en traitant a comme une constante, nous aurons
JM^-/'
L z dx" rT2 a^ <i.Z" a* dx" J
et si l'on fait ol — u dans le second membre, il coïncide avec l'expression de B/, • —k- On a donc enfin
Jn I " rf" I
dx"
pourvu que, dans le second membre, la lettre a, traitée dans les différentiations comme une constante, soit remplacée ensuite par la lettre u.
L'expression de ^— JA. ^^^ d'après cela
d",in^ - ^/"(--.
la soniination s'étendant à toutes les valeurs entières de k, depuis i jusqu'au, et la lettre a qui figure dans le second membre devant être remplacée par u après la (litterentiation effectuée.
