Une»^uation de la forme
(i) ^ Vdx + Qdy-h\\dz = o
ne correspond pas toujours à une relation entre x, y et z. Il est facile de voir que les fonctions P, Q, R doivent remplir, pour qu'il en soit ainsi, une condition nécessaire. De l'équation (i), on déduit, en effet,
(2) dzz=z— -dx— -^ dy,
et par suite.
(3) donc
df dx
et par suite, en remarquant que P, Q et R contiennent z. qui est supposé fonction de ^c et de j,
dy dz dy dx dz dx ' en remplaçant -j- et j- par leurs valeurs (3), effectuant et réduisant, on en déduit ,., ^fdQ dl{\ /rfR ^/P\ , /^/P dQ\
et cette équation doit avoir lieu pour toutes les valeurs de a?, y et s qui satisfont à la proposée. Deux cas peuvent se présenter : ou l'équation (5) est identique, et alors la condition est évidemment remplie ; ou elle établit entre x, y et z une relation qui doit être la relation cherchée elle-même, et si l'équation (i) n'est pas une conséquence de l'équation (5), il faut conclure qu'elle est impossible.
Soit, par exemple, l'équation
(6) [6xy-z — 5/2^) dx-\- [^ x'-yz — [\^xz^] dy + [^x'-y-— 'oxyz'^] dz=^o;
en formant l'équation (5), on voit qu'elle est identique. La théorie précédente permet alors de se demander à quelle relation entre x, y eiz convient l'équation (6). Soit encore
( A ) [z — y) dx-^ X dy -^ [y — z]dz=^o,
l'équation (5) devient alors
Or on en déduit
( C ) dz = dx -h dy ,
et comme les valeurs (B) et (C) de z et de dz rendent l'équation (A) identique, on doit en conclure que l'équation (A) est possible et qu'elle a pour solution unique
Soit enfin
z dx — ydy-k-ydz^^o;
l'équation (5) devient, dans ce cas,
et comme z = o n'est pas une solution de la proposée, celle-ci est impossible et ne correspond à aucune relation entre x, y ^\. z.
218. Les résultats précédents peuvent être généralisés. Une équation entre quatre variables x, y, z, u et une constante arbitraire, donne, par l'élimination de la constante, une équation différentielle totale de la forme
(i) P^/^H-Q</j + IW2 + SrfM = o.
Mais il existe entre les fonctions P, Q, R, S, des relations nécessaires. Si, en effet, dans l'équation (i) on considère u comme une fonction des variables indépendantes X, y, z, et que l'on remplace du par sa valeur,
, du j du j du , du = -y- dx -\- ^- dr -\ — j- dz.
dx dy "^ dz
dx, dy, dz, étant arbitraires, leurs coefficients devront être nuls, et l'équation (i) entraînera par conséquent les trois suivantes :
dz
En résolvant ces équations par rapport aux dérivées partielles de u qui y figurent, et écrivant que l'on a
d f du\ d (du dy \dxj dx \dy
d f du\ d / du \
dz \dj') ~" dy \dz)'
d / du\ d /du
dx \dzj dz \dx
1 , . du du du . • » 1 .
on trouve, en ayant égard aux valeurs de ^' ^.' ^' ^'^ ^" supprimant les termes
qui se détruisent :
^ /r/P dQ\ fd» dP\ (dQ dS\
dQ dR\ (dS dQ\ (dR dl\^
-d^-^)-^^[-d^-d^j -^^ [d^- dz)-'''
dx dz ) \dz
du \ du dx
et ces trois équations doivent être satisfaites identiquement pour que l'équation (i) puisse se déduire d'une relation entre x,y, z, u et une constante arbitraire.
210. Lorsque p variables x^, x^, ..,Xp sont liées par n relations, contenant 2 71—1 constantes arbitraires, on peut éliminer ces constantes entre les équations proposées et leurs différentielles totales; le résultat de cette élimination est évidemment de la forme
f I ) X , dxx + Xî dx2 + . . . + X^ dxp = o.
Réciproquement, si une telle équation est donnée, et que l'on y considère p — n des variables comme fonctions inconnues des n autres, on pourra écrire immédiatement n équations qui sont la conséquence nécessaire et en quelque sorte la traduction de l'équation (i). Si par exemple x^,Xri,...,Xp^n sont fonctions dea7^,,+,, Xp-„+2 . • • • ' ^P' on aura
dxi , dxx j , dxi j
et les autres différentielles s'exprimant de même, on pourra, après les avoir remplacées par leur valeur, égaler à zéro les coefficients des n différentielles arbitraires dxp n^, , dxp n^^,...,dxp\ on obtiendra ainsi n équations entre p-n inconnues. Si n est égal ou inférieur -à p-n, il n'existe aucune condition nécessaire entre les coefficients X,, \.,...,\p\ mais, dans le cas contraire, ces fonctions sont assujetties à des conditions sur lesquelles nous aurons a revenir.
EXERCICES
1. Éliminer les constantes « et 6 elformer l'équalion différentielle du second ordre à laquelle satisfait la fonction j définie par l'équalion
xy = ae"^ -\- 6e"'.
2. Éliminera, h, c, d et former l'équation différentielle du troisième ordre à laquelle
LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DERI\ EES. satisfait la fonction /définie par l'équation
ae^ + he-r = ce^ ■+- de-\ On trouve
L^ "^ \dx) dx\ Wdx) \ dx \dx'j
