Soit, par exemple
( I ) z^ax + bf,
on en déduit
dx ' dy
par conséquent
dz dz
dx ' dy^
Pour trouver d'autres solutions de l'équation (2), posons b = (p{a) et éliminons a entre l'équation
( 3 ) z =ax-hX'?i^)
et sa dérivée
(4) o = x-i-xrf'{a).
On conclut de l'équation (4) que a est une fonction de ^, et, par suite, l'élimination de a met l'équation (3) sous la forme
(5) z=xF
F étant une fonction dont la forme dépend de celle de 9; il est facile de vérifier, en effet, que, quelle que soit la fonction F, l'équation (5) satisfait à l'équation différentielle (2). On déduit, en effet, de l'équation (5)
et par conséquent
Kf)'
dz
dy
dz
dz dy
196 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFP^ÉRENTIEL.
Les surfaces représentées par l'équation (i) sont ici des plans passant par l'origine. En établissant une relation entre les deux constantes, on obtient l'équation d'un plan mobile autour de l'origine suivant une loi arbitraire, et ce plan enveloppe un cône dont l'équation satisfait à l'équation différentielle de l'ensemble de ses plans tangents.
195. La solution précédente repose entièrement sur des considérations géométriques; mais on peut démontrer directement, sans faire intervenir la théorie des surfaces, que l'équation obtenue en éliminant a entre
et
(2) dF[x,f,z, a, y(a)]^^
da '
, ^ dz ^ dz 1 . 1 . ,, , .
donne, entre ^ et ^5 x, y, z, la même relation que l équation
pour éliminer en effet a entre les équations (i) et (2), il faut déduire de la seconde la valeur de a en fonction de x, y, z et la remettre dans la première. Cela
fait, si l'on veut calculer -^ et p, dans l'équation résultant de cette élimination, il
faudra différentier l'équation (i) par rapport à ^ et par rapport à 7, en ayant égard à ce que a, qui était constant, est devenu variable ; on aura ainsi
dF dF dz dF da dx dz dx da dx "
dF dF dz dF da dy dz dy da dy ~
dF mais l'expression de a est telle que l'on a, identiquement, -^ =0, et les équations
précédentes se réduisent par conséquent à
dF ■ dF dz
dF dF dz
dx dz dx '
dy dz dy '
elles sont donc précisément les mêmes que lorsque a était constant. Or on pourra combiner ces deux équations de manière à éliminer entre elles et la proposée les deux quantités a et (p [a] devenues variables. Les calculs seront absolument les mêmes que lorsque ces quantités étaient constantes et se nommaient a et b, et l'on aura le même résultat, comme on voulait le démontrer.
196. Les considérations précédentes peuvent être généralisées. Si l'on considère une fonction de n variables indépendantes, liée à ces /i variables par une équation
contenant n constantes arbitraires, on pourra éliminer ces n constantes entre l'équation proposée et les dérivées du premier ordre prises par rapport aux n variables indépendanles; on formera ainsi une équation différentielle du premier ordre qui, quelles que soient les constantes, sera satisfaite par la fonction que définit l'équation proposée, et, en outre, par une infinité d'autres fonctions qui peuvent se déduire de celle-là.
Soit l'équation
i) o = F(a, X,, x^,..., Xn, C, Cj,..., C).
Supposons que, parmi les n constantes C,, C2,..., C„, on en choisisse un nombre arbitraire p et qu'on les considère comme des fonctions arbitraires de toutes les autres, de telle sorte que l'équation (1) ne contienne plus que n — p constantes; si l'on différentie cette équation par rapport à ces n — p constantes, successivement, on pourra éliminer ces constantes entre l'équation proposée et les équations ainsi formées; le résultat de cette élimination sera une équation entre M, x^, Xo,..., Xn ', la fouctiott u définie par cette relation, dont la forme dépend des fonctions arbitraires que l'on a introduites, satisfera à la même équation différentielle que la fonction primitivement donnée qui contenait les n constantes. -^
Regardons en effet, dans l'équation U , C, C2,..., C^ comme des fonctions arbitraires des autres constantes, et différentions-la par rapport aux constantes C^^,, Cp^.j,..., C„; nous aurons ainsi n — p équations. De ces équations déduisons Cp^.,, Cp+2 C,i' pour les substituer dans la proposée qui ne contiendra plus alors que u,
a\, jc.^,..., x,i. Je dis que les dérivées -5— ? j—^-i -7— et la fonction u, auront, pour
des valeurs données de x,, x.j,..., x„, absolument les mêmes expressions en fonction de Xt, X.2,..., x„, C,, C2,..., C„ que lorsque les lettres C,, C^,..., C„ étaient constantes. En effet, après avoir remplacé, dans l'équation (i), Cp+,, Gp^2'•••» C„ par
leurs valeurs, si on la difTérentie pour obtenir -7—, il faudra avoir égard à ce que
les lettres C,, C2,..., C„ ne désignent plus des constantes, mais des fonctions de Cp+i, CpH2,..., C„, qui elles-mêmes contiennent^,, jtj,..., jr„,. L'équation obtenue par la différentiation par rapport à x, sera alors
d¥ dV du dY dCp^, d¥ dC.
<IXi du dxi ■ dCp^.i dxt ' ' dC^ dxt
mais, par hypothèse, les expressions de C^+,, C^2.---. C„ donnent identiquement
d¥ dF dF
= O, -jt; =: O,
</c-^, ' dCp^, ' ■' </<:,
et l'équation se réduit à
dF dF du dxi du dxi '
absolunlent la même que lorsque C,, C2,..., C„ représentaient des constantes. D'après cela, les relations entre u, x,, x^,..., x„, 4^, 4^'--, -^. C,, Co,..., C„,
(X OC \ (X oc 'i et oc ^i
sont les mêmes que lorsque C,,C2,..., C„ étaient constants, et par suite, quoique C,, Co,...» Cp soient devenus des fonctions de C^+,, C^+2.---» C„, et que ces dernières quantités soient elles-mêmes des fonctions de a?, , a^^» • • • » ^«» on pourra les éliminer absolument de même dans les deux cas, car le résultat d'une élimination ne dépend pas de la signification de la lettre éliminée. On aura donc toujours la même relation entre la fonction u, les variables dont elle dépend, et ses dérivées par rapport a ces variables.
On donnera au résultat le plus grand degré de généralité possible, en supposant le nombre arbitraire/? égal à /i — i .
Soit, par exemple, une fonction de trois variables ^^^
(0 w = Cl :r,+ €2.^2+ €3.2-3 ;
on trouve, en éliminant les constantes entre cette équation et ses dérivées par rapport à ^,, x^ et x.^,
I / du du du
l "2 j X, -j h Xi -j h ^3 - — = u.
ax, dxj dxi
Soient ^
€2 = 15) (Cl), C3rm}/(C,);
si on élimine C, entre les équations
^^ = C|.r, -f-.r2(p(Ci)-4- .^3^(0, (3)
o = x, + .272»' (Cl) + .r3->j>'(C,),
on obtiendra une équation entre x^, x^, x^ et w contenant deux fonctions arbitraires (p et (];, et telle que la fonction u que l'on en déduit satisfasse à l'équation (2). Quelles que soient les fonctions 9 et ij;, on tirera de ( 3)
C, = F (-% -' et, par suite, u est une fonction homogène du premier degré de la forme
on vérifie aisément que cette fonction satisfait à l'équation (2).
Elimination des fonctions arbitraires .
197. Les résultats précédents conduisent à penser que la différentiation permet non-seulement d'éliminer des constantes, mais encore de faire disparaître des fonctions arbitraires d'une équation qui en renferme. Nous allons prouver qu'en effet il en est ainsi, et présenter quelques remarques relatives à cette élimination.
Kt d'abord il ne peut être question ici des fonctions d'une seule variable. La présence d'une fonction arbitraire dans l'équation qui définit une telle fonction la rendrait elle-même entièrement arbitraire, et il n'y aurait pas Heu par conséquent d'en faire l'objet d'une étude spéciale.
Considérons le cas où une fonction z dépend de deux variables indépendantes x et y. Les fonctions arbitraires renfermées dans l'équation qui lie x, y et z peuvent être de deux sortes. L'équation considérée peut renfermer, sous le signe d'une fonction arbitraire, une fonction donnée en x, y et z. C'est ce qui arrive, par exemple, dans l'équation
où çj désigne une fonction arbitraire de la somme x"^ -\- y"^ -\- z"^. Dans d'autres cas, l'équation contient une ou plusieurs fonctions arbitraires de quantités dont l'expression en X, y, z varie avec la forme même des fonctions, parce qu'elles sont définies par d'autres équations où figurent les mêmes fonctions avec leurs dérivées. Ce second cas se présente dans le système
S = (x-|-a) [rH- <ï)(a)j,
l'élimination de a donnera, entre x, y et z, une relation qui dépend évidemment de la forme choisie pour la fonction arbitraire «p (a), mais « ne peut être exprimé en fonction de x, y etz que si l'on se donne cette fonction 9. Si, par exemple, on suppose © (a) = c(, on trouve
et en prenant © (a; = -^ on en déduit
\ri-
la fonction (p porte donc, dans les deux cas, sur des expressions très-différentes. Il est clair que si l'équation qui lie z à x el à y contient n fonctions arbitraires
9<(«^0' '-^ï'^^'i)^-'--, ?*«(«/;)» il faudra, pour qu'on puisse les éliminer, avoir, en même temps, n autres équations renfermant les mêmes fonctions qui pourront y être mêlées à leurs dérivées et aux variables «,, «a»---» ^-« elles-mêmes. Par exemple, les trois équations
établissent, entre x, y et 2, une relation qui dépend de la forme choisie pour chacune des deux fonctions désignées par 9 et t|>.
198. Considérons d'abord le cas le plus simple, celui où la fonction arbitraire porte sur une fonction donnée de x, y ti z et où l'équation donnée est de la forme
(i) ^ = ?(wj,
V %i u étant des fonctions données de x, y et z, et 9 une fonction arbitraire.
En prenant la dérivée de l'équation (i) par rapport à x, puis par rapport à r, on a
, , , / du du dz \
dx ' dz dx ~ ^ """^ ' \dx ~^ dz dx j
dv dv dz (du du dz
Ty^in'dx~''^^''^\dh-^'7ÛTy
et en divisant ces deux équations membre à membre
dv dv dz du du dz
dx dz dx dx dz dx
dv dv dz du du dz
dy dz dy dy dz dy c'est-à-dire
d^ldudv^ du dv \ dz / dv du dvdu\dudv du dv dx \dy dz dz dy) dy\dxdz dzdx)~dxd}^ dy^ ~dx'
On voit que, quelles que soient les fonctions u et v, cette équation contient les déri-
.• u dz d z . ,
vees partielles j- et y. au premier degré.
199. Considérons, en second lieu, le cas plus général où la fonction z est définie par un système de ^ -4- i équations entre x, y, z, et k fonctions arbitraires qui doivent être éliminées ainsi que les variables dont elles dépendent.
Soient 9, (a,), ^^(a^),..., cpk{ock) ces k fonctions arbitraires qui peuvent figurer
ainsi que leurs dérivées, dans les k ■+ i équations données; on eommencera par calculer les dérivées partielles j^' ^' ^' j^^ "^ ' ' * " ' ^" ^«nction de x, y, z,
et des fonctions y, (a,), 92 («a)»---» <Pa(«a) et de leurs dérivées. Pour cela, on différentiera d'abord toutes les équations par rapport à x, puis par rapport à y, et l'on
formera ainsi 2(^4-1) équations nouvelles, contenant, avec -^ei-^-, les dérivées
par rapport à .r et par rapport à j de a,, a^,. .., «a- On pourra donc éliminer ces
dérivées, et calculer -y- et -r-- Les dérivées du second ordre des k -4- i équations
proposées sont au nombre de 3(^ + ij ; elles contiennent, outre -j—-, -p|
dx- dy' dxdy les dérivées du premier et du second ordre de a,, «a,..., «a- Si l'on y remplace les
, , . , 1 • 1 dz dz </ai fia, , , 1 / 1 • ,
dérivées du premier ordre, -ir-, -^-^ -j^-, -jt'"-' par leurs valeurs déduites des équations précédentes, et que l'on élimine ensuite les 3^- dérivées du second ordre
T~^' d ^ •' 77^''"' ^' restera trois équations, desquelles on pourra déduire
-7-7' -j—j- et -T^' En continuant à opérer de même, on pourra déterminer les dérivées de z de tel ordre que l'on voudra. Leurs expressions contiendront, avec x, y, z, les fonctions ^,(«,), (p2(«2).---. ?>*(«*)> et les dérivées de ces diverses fonctions que la différentiation aura introduites. H est clair, en effet, que si une équation contient la fonction <p(«), la dérivée de cette équation, par rapport à l'une ou l'autre des variables indépendantes x et y, contiendra <p'(a) ; une seconde différentiation introduira 9"(aj, et ainsi de suite. Les dérivées de z, calculées comme il a été dit, jusqu'à celles d'ordre n inclusivement, contiendront donc, dans leur expression, les ^fonctions «p, (a,j, 92 (aa)»---» ^k[^k) et leurs dérivées d'ordre inférieur à ,n H- I , ce qui fait en tout {n-^ \)k fonctions que l'on doit éliminer pour obtenir la relation cherchée entre ;: et ses dérivées. Mais en réunissant z à ses dérivées,
jusqu'à celles d'ordre n, le nombre total de ces fonctions est ^^^ — ^, et, quelque soit k, on peut choisir n assez grand pour que l'on ait
■ — >(//-hi)/..
Le nombre des équations surpassant alors celui des quantités à éliminer, l'élimination sera toujours possible.
200. Lorsqu'une fonction 9 (a) figure dans une équation, la dérivée de cette
équation par rapport à x ou par rapport à j contient toujours <p'(a). H résulte de
là que, en général, chaque dérivée de z contiendra une dérivée de la fonction o
qui ne figure pas dans l'expression des dérivées d'ordre inférieur. Mais dans cer-
tains cas exceptionnels cette fonction nouvelle introduite par la différentiation disparait dans les éliminations et ne figure plus dans le résultat final. Soient, par exemple, les équations
.^ , ,=.ZJlvifi
On déduit de ces équations, en les différentiant par rapport à x, puis par rapport à j,
dx 9' i ot.]'' (Ix
[r-^(a)j[i-<p'(a)^]^'(a).-Lr-^(«)]^/(a)^
drx
, , .. d OL „ , , r , ,^ d a.
dx ?'('=')
dy cp' ( a )=
On déduit des deux dernières
dx 2y(ar-[;r-<p(«)]f(^)'
da. ?'(<'')
et, en substituant dans les deux autres,
dz
dz X— t(°^)
La dérivée rp"{a) figure donc dans les équations qui servent à déterminer les
dz d'y
dérivées du premier ordre -r- et -r-? et disparaît cependant de leur exprès
sion finale.
201 . Il est important de distinguer, comme nous venons de le faire, le cas particulier où le calcul des dérivées de z n'introduit pas de dérivées nouvelles des fonc-
lions arbitraires contenues dans les équations données. Pour faire comprendre quelles conséquences cette circonstance peut entraîner dans la théorie qui nous occupe, nous démontrerons le théorème suivant :
La fonction z étant définie par deux équations de la forme
z =Y,[x, a, cp(a), (}>'(a)],
OÙ F, et F2 sont des fonctions données et ^(a) une fonction arbitraire, si l'élimi-
dz nation de la fonction 9 (a) est possible entre les dérivées du premier ordre -r et
-T^» l'équation entre x,y, z, -r^t -j- à laquelle elle conduit, est du premier degré
par rapport à -j- et -7-) toutes les fois que les dérivées -7- et -7- contiennent dans ' ^'^ dx dy^ * dx dy
leur expression la fonction 9" (a).
Posons, pour simplifier, -^^ = />, -=- z=z q, en ayant soin de bien distinguer la
dérivée p de la dérivée partielle -r-% dans laquelle a est traité comme une constante, tandis que dans le calcul de p c'est j qui est regardé comme invariable.
Les équations (1), différentiées par rapport à a:, y étant regardé comme constant, donnent
JF. rfF, da
dx da. dx
dY^ d¥i dot.
" dx da. dx
-~ et —j-^ représentant les dérivées de Y^ et Fa par rapport à la lettre a considérée
comme variable partout où elle figure dans leur expression, c'est-à-dire aussi bien sous les signes 9 (a) et 9' (a) que dans les termes où elle est engagée seule.
En égalant les valeurs de la dérivée partielle ^ déduites des équations (2), on a
^/Fî c^Fj dx ^ dx da. d¥i
en différentiant les équations ( i ) par rapport à / en laissant x constant, nous aurons
â?F, dot.
dy. dy dFi da
et par suite
da.
En général, ces expressions de p et de q contiendront 9" (a), car cette dérivée figure nécessairement dans -r^ et dans -~ : elle ne peut disparaître qu'en se trouvant accidentellement dans un facteur commun à ces deux dérivées. Or si
dF,
da
cela n'a pas lieu, on ne peut éliminer (p"(«) qu'en éliminant la fraction -r^ ,
da.
qui est seule à contenir cette dérivée, et le résultat de cette élimination est nécessairement
r/F: r/F, " dx dx ^'
S'il existe une relation entre x,y, z, /?, q, c'est qu'il sera possible d'éliminer ensuite, a, 9 («) et 9' (a) entre cette équation et les deux proposées qui ne contiennent ni p ni ^, en sorte que le résultat sera nécessairement linéaire par rapport à /? et à ^.
Les équations
conduisent à la relation
qui n'est pas linéaire en p et q. Il arrive en effet, comme l'exige le théorème précédent, que les dérivées j- ^^ t~, que l'on en déduit ne contiennent pas «p" (a).
Equations aux dérivées partielles des diverses classes de surfaces.
202. Nous allons considérer successivement les grandes classes de surfaces étudiées par les géomètres. L'application des méthodes auxquelles ce chapitre est consacré permet d'éliminer les fonctions arbitraires qui figurent dans leur équation générale et d'obtenir ainsi l'équation différentielle qui caractérise chaque classe.
Surf aces cylindriques . — Une surface cylindrique est engendrée par une droite qui
se meut en restant parallèle à une droite fixe. Soient
X = az -\- a,
les équations de la droite mobile, a ei h sont deux constantes et a, /3 deux variables liées par une équation, car, sans cela, la droite pourrait passer par tous les points de l'espace, et la loi de son mouvement ne serait pas définie. Supposons donc que l'on ait
la fonction © est d'ailleurs complètement arbitraire, et sa forme particulière distingue les unes des autres les diverses surfaces cylindriques. Si l'on élimine a et iS entre les équations (i) et {i), on obtient
(3) y^bz = <if[x — az);
c'est l'équation générale des surfaces cylindriques.
En différentiant cette équation par rapport à x, puis par rapport à y, on a
,dz , , . / dz
,dz , . .dz
et en éliminant la fonction arbitraire (s^' [x — az), on a, après une réduction évidente,
c'est l'équation différentielle de toutes les surfaces cylindriques dont les génératrices sont parallèles à la droite donnée. Elle exprime, comme on s'en assure bien facdement, que le plan tangent en chaque point est parallèle à cette droite.
Si l'on voulait éliminer a et 6 et obtenir une propriété commune à toutes les surfaces cylindriques et indépendante de la direction des génératrices, il faudrait différcntier l'équation (4) par rapport à x, puis par rapport à j, et l'on obtiendrait
dx^ dxdy dxdy dy"^
et par conséquent
ix dyj \ dx^ I \ dy
cette équation convient à toutes les surfaces cylindriques, mais elle convient aussi, comme nous le verrons, à une infinité d'autres.
203. Surfaces coniques. —Une surface conique est une surface engendrée par une
droite mobile qui passe par un point fixe, a, j3, y étant les coordonnées de ce point,
les équations de la droite mobile sont de la forme
x — a.=:im [z — 7),
les coefficients m et «sont liés par une équation, car, sans cela, la droite pourrait passer par tous les points de l'espace et la loi de son mouvement ne serait pas définie. Supposons donc que l'on ait
la fonction cp est d'ailleurs arbitraire et sa forme distingue les unes des autres les surfaces coniques. En éliminant met n entre les équations (i) et (2), on a l'équation générale des surfaces coniques
-s — 7 V-s — 7. en différentiant cette équation par rapport à x, puis par rapport à j, on a
lï \^ — 7/ ^-^ (■2 —
I \dz . . dz 1 '
(OC ^~* ^ \ — — — j 5 on trouve, après des réductions évidentes,
c'est l'équation aux dérivées partielles des surfaces coniques dont le sommet a pour coordonnées a, jS, 7; elle exprime, comme on s'en assure bien facilement, que les plans tangents passent tous par le sommet du cône.
Si l'on veut éliminer a, jS, 7 et obtenir une propriété commune à toutes les surfaces coniques et indépendante de la position du sommet, il faut différentier l'équation (4) par rapport à x^ puis par rapport à y; on a ainsi
dz dx
dz dx
dz
dz ~ df
dydx ^ ' dx^
dxdy'^^^' ^^ dr''
En supprimant les termes communs et éliminant le rapport' ? on déduit de
ces équations
dx dy^ j dx^ dy'^ '
c'est l'équation déjà trouvée pour les surfaces cylindriques.
204. Surfaces de révolution. — Les surfaces de révolution sont engendrées par une ligne qui tourne, sans changer de forme, autour d'une droite fixe, de telle sorte que chacun de ses points décrive un cercle ayant son plan perpendiculaire à cette droite et son centre situé sur elle.
Soient
X ^= az -\- p, y=:hz + q,
les équations de la droite fixe qui sert d'axe à la surface. L'un quelconque des cercles peut être considéré comme l'intersection d'une sphère ayant son centre en un point arbitraire de la droite (par exemple, en celui dont les coordonnées sont iT = m, y = 7^, s = o), avec un plan perpendiculaire à la droite. Les équations de ce cercle sont donc de la forme
a X -\- by -^ z = k ',
il existe d'ailleurs une équation entre k et R, sans quoi le cercle pourrait passer par un point quelconque de l'espace, et il n'y aurait pas de surface engendrée. Supposons donc
l'élimination de ^ et de R entre les équations (i) et (2) donne
(3) ax-\-by-^z = !si[[x — my-\-[y—nY-\-z^]; '-■
c'est l'équation générale des surfaces de révolution.
En différentiant cette équation par rapport à a;, puis par rapport à j, on obtient
h^-^=zi'^'[[x—mY+ (r— «)'+ z'] \[r—f^) + 2 ^,]
et en éliminant 9', il vient, après des réductions évidentes,
a[y^ — n] — h [x — m] -\- [y — n -- bz] -f- + [az — x -{- m) ~ = o ,
c'est l'équalion différentielle des surfaces de révolution; elle exprime que la
normale rencontre l'axe. Si l'on suppose l'axe de la surface confondu avec l'axe
des s, on a
et l'équation différentielle devient
dz dz
■^ dx dj- '
l'équation sous forme finie est, dans ce cas,
205. Surfaces conoides. — Une surface conoide est la surface engendrée par une droite qui rencontre une droite donnée, et reste parallèle à un plan fixe.
Prenons pour plan des XY, celui auquel la génératrice doit rester parallèle, et saient x — mz, y = nz les équations de la droite qu'elle rencontre. La génératrice aura des équations de la forme
z=7, f = ax-{-p;
pour qu'elle rencontre la directrice, on doit avoir
en sorte que les équations de la génératrice sont de la forme
/,) • - = 7, r — ny = cc[x — my);
pour que le mouvement soit défini, il faut qu'il existe une équation entre a et y,
soit ^
en éliminant a et 7 entre les équations (i), {1), on aura l'équation générale des
conoides
/ r — nz
(3) - = fy^^zr;;rz
en différentiant par rapport à x, puis par rapport à j, on obtient
dz , . ,.. „ . /, .„'/2\
dz
dx '
ax
— 'il
dx"'
[x — mz)'
' \x — mz
— nz]
dy
et en éliminant (p', on trouve, après des réductions évidentes,
. dz , .dz
c'est l'équation différentielle des conoïdes. Si l'on suppose que la directrice soit l'axe des z, on a m= o, /i = o; l'équation sous forme finie devient
et l'équation différentielle
dz dz
oc -j — h r -y- = o .
dx " dy
206. Les équations différentielles des surfaces considérées jusqu'ici sont du premier ordre; celles qu'il nous reste à étudier ont des équations différentielles du second ou du troisième ordre; pour les écrire plus simplement, nous adopterons la notation suivante, qui est très-habituellement employée dans les questions relatives à la théorie des surfaces.
L'équation d'une surface étant <
nous poserons
dz dz d- z d' z d'-z
di~^'' 'dy~^' d^'~'' d^~'' "^^ ""
dz =^ p dx -\- q dy,
**'^: d^ z^= rdx''--\- 2 s dx dy -f- t dr\
dx ' dj dx ' dy
207. Surface engendrée par une droite qui rencontre une droite fixe.
Prenons la droite fixe pour axe des z; les équations de la génératrice sont de la
forme
y = yx, z =^ ax -\- b .
Pour que cette droite engendre une surface déterminée, il faut que a et ^ soient des fonctions données de 7; en posant
a = çp(7), ^ = -H7).
les équations de la génératrice sont
(i) j = YX, z = :rtp (7) + ij'iv)'
et l'élimination de 7 donne
c'est l'équation générale des surfaces considérées; elle contient deux fonctions arbitraires. Pour éliminer les fonctions «p et <\), on pourrait, conformément à la méthode exposée, former les dérivées de l'équation fa) par rapport à ^ et par rapport àj; mais il est plus simple et plus élégant de différentier les équations [i] en y considérant X ety comme variables et 7 comme constant. Cela revient à considérer sur la surface deux points infiniment voisins situés sur une même génératrice; on obtient ainsi
(3) (ly-zz^ydx, dz =- <f{j) dx.
Remplaçons, dans cette dernière équation, dz ^diV pdx + qdy , puis divisons par dœ, en remarquant que, d'après les équations (3), on a ^-^ — -j = - , on aura
(4) o + ^i-^iS)-
Pour que les deux fonctions/? +^^ et- dépendent l'une de l'autre, il faut et il suffit (73) que leur déterminant soit nul, c'est-à-dire, puisqu'il s'agit ici de deux fonctions de deux variables, que leurs dérivées soient proportionnelles; l'équation ^7|) équivaut donc à
dx dx
c'est-à-dire
'["^"'^ Mi)
df dy
OU, en réduisant,
ty^ ^- 25jrr + /x-
c'est l'équation différentielle des surfaces considérées: r,'s, t, y désignent les dérivées du second ordre définies plus haut.
208. Surfaces gauches à plan directeur. — On nomme surface gauche à plan directeur, la surface engendrée par une droite qui reste parallèle à un plan fixe.
Prenons pour plan des xy le plan fixe que l'on nomme plan directeur; les équations de la génératrice sont de la forme
a et /3 étant des fonctions de 7 dont la forme détermine la surface particulière. On peut donc poser
et l'on voit que l'équation générale des surfaces gauches a plans directeurs est
différentions cette équation en y laissant z constant, nous aurons
( 2 ) dy := dx V(' [z] ,
d'ailleurs z étant constant, on a
o = pdx 4- qdy,
et par suite
dr p
dx q
ce qui met l'équation '(2'; sous la forme
D'après cette équation, le rapport - est fonction des; il est nécessaire et suffisant pour cela, comme nous venons de le rappeler, que leurs dérivées soient proportionnelles : on a donc
yÊ .
'dbc
dz
dr
dr
qr - sp
c'est-à-dire
sq tp ~ q' OU, en chassant les dénominateurs,
rq^ — ipqs -\- tp^ ^=0 ; c'est l'équation différentielle des surfaces gauches à plan directeur.
209. Surfaces développables . — Nous définirons les surfaces développables comme l'enveloppe des positions d'un plan mobile. Nous avons déjà trouvé (1 12) que l'équation d'une telle surface s'obtient en éliminant a entre deux équations de la forme suivante :
(2) ■ ' Or=jc<p'(a)+rf (a) + F' (a).
Pour éliminer les fonctions arbitraires, différentions la première par rapport à x, elle fournira, en ayant égard à la seconde,
en différentiant la même équation par rapport à y, on trouve, en ayant égard à la relation (2),
^ et y- étant fonctions d'une même variable a, on peut éliminer oc entre les deux équations (3) et (4), et l'on obtiendra une relation de la forme
dz „ / dz
dx \ df
c'est-à-dire, d'après notre notation habituelle,
Pour éliminer la fonction F, différentions l'équation ( 5 ) par rapport à x, puis par rapport à y, nous aurons
s = ¥'{q)t, et par suite
rt = s" ;
c'est l'équation aux dérivées partielles des surfaces développables.
210. Toute surface développable est le lieu des tangentes è une courbe que l'on nomme son arête de rebroussement. En prenant cette propriété comme définition, on peut être conduit à la même équation différentielle.
La tangente à une courbe quelconque a en effet pour équations
dz , ,
"-'='di^'-''^^ (I)
2 et j étant des fonctions de x définies par les équations de la courbe. La lettre x désignant ici un paramètre, remplaçons-la par a, et pour suivre l'analogie avec les problèmes précédents, remplaçons t, u, v, qui sont les coordonnées d'un point de la surface, par x,y, z, et z et y par 9 (a) et ^ (a); nous aurons
entre lesquelles il faut éliminer a et les fonctions arbitraires 9 et '|.
En différentiant les deux équations ( 2 ) par rapport a x, on trouve
(loi ,, , J <i<^\ . ,„ I M ^ \ ^*
et en éliminant ^ entre ces deux équations,
dz
en sorte que ^ ne dépend que de a. On verra de même que ^ ne dépend que de a. On en conclura, comme (209), qu'il existe une relation de la forme
dx-^ \dYJ'
de laquelle on déduira, comme on l'a déjà fait,
{dxdfl "Xdx'j \df
211. L'équation précédente peut encore s'obtenir par une autre considération. Le plan tangent à une surface développable est le même tout le long d'une génératrice. Cherchons, en général, les conditions pour qu'un même plan tangent à une surface ait une infinité de points de contact.
L'équation du plan tangent au point dont les coordonnées sont x,y, s, est
V — z=p[t — x)-^-q{u — y); si X, y, z changent infiniment peu, pour que le plan reste le même, il faut que 'il et '-^ ne changent pas, et que, par conséquent, leurs différentielles soient
<lx dy or
nulles; on aura donc en même temps
et en égalant les deux valeurs de -j^^ il vient
^^1 dx'' dy \dxdy
Ainsi donc, si un plan tangent touche une surface suivant une ligne continue, l'équation précédente sera satisfaite en tous les points de cette ligne. Mais si la surface est le lieu d'une série de lignes le long desquelles le plan tangent soit le même, si elle est en un mot l'enveloppe des positions d'un plan mobile, l'équation (i;
devra avoir lieu en un point quelconque de la surface dont elle est par conséquent l'équation différentielle.
L'interprétation géométrique de l'équation ( i ) est d'ailleurs bien simple ; cette équation peut s'écrire, en effet,
c'est-à-dire
dp
'Il
dx
dp-
'Tq
dr
dr
elle exprime par conséquent que les fonctions/? et g ont leurs dérivées proportionnelles, et par suite qu'elles dépendent l'une de l'autre : on a donc une relation de la forme
On voit par cette relation entre les deux coefficients de l'équation du plan tangent que, si l'on veut mener à une telle surface un plan tangent parallèle à un plan donné, le problème est généralement impossible.
212. Surfaces réglées. — L'équation la plus générale des surfaces engendrées par une droite mobile résulte évidemment de l'élimination du paramètre a entre deux équations de la forme
Différentions ces deux équations en laissant y. constant; nous aurons
dz -= <f{ix) dx ,
dy = -if [%) dx .
Mais on a
( 3 ) dz = p dx -+- qdy;
la première de ces équations devient donc, en divisant par dx et remplaçant -r-
par sa valeur d> (a;,
différentions de nouveau en laissant encore « constant, nous aurons
(5) dp + dq-}^{a.) = o,
c'est-à-dire
(6) rdx -\-sdr -h ■h[oi)[sdx -{- tdf)=^o,
OU, en divisant parafa; et remplaçant -j— par sa valeur,
(7) v^s-h[o^)+ ■h{y.)[s + t-^{oL')\ — o;
différentions encore une fois en laissant toujours a constant, et remarquons que
l'on a
- (Pz j d'z ,
ar=L - — dx -H d}\
dx^ dx-dy "
dx'dy^ dx d}'^ ■ '
'^'^-drcTx''''^ dy ^^'■' il viendra
dy^ en remplaçant ~- par sa valeur ^ (a) et en éliminant ensuite d; (a; entre les équations (7) et (8), on obtient l'équation différentielle des surfaces réglées qui est du troisième ordre.
213. Surfaces canaux. — On nomme surface canal la surface enveloppe des positions d'une sphère de rayon constant dont le centre parcourt une courbe quelconque. On a vu (113) que l'équation d'une telle surface s'obtient en éliminant le paramètre a entre les deux équations
Pour éliminer les fonctions arbitraires 9 et tj;. différentions l'équation (i ; par rapport à X en laissant/ constant, puis par rapport à y en laissant x constant. Dans ces deux différentiations, les termes provenant de la variation de a disparaîtront à cause de l'équation (a).
Nous obtiendrons ainsi
dx
on en conclut, en remarquant que ç? (a) est nécessairement une fonction de <h a .
F étant une nouvelle fonction arbitraire dont la forme dépend de colle de œ [v.] et de
celle de ^|^(a). Mais les équations (3) et (4), en ayant égard à (i), donnent
en sorte que (5) devient
dz \~ dz
a -j— I CL -T-
dx -^ I ay
v' + [£} + i^,)' Lv ; ^ (s) ^ (^)
Pour éliminer cette fonction F, il faut différentier l'équation précédente par rapport à X, puis par rapport à/, et l'on trouve, en éliminant F' entre les deux équations obtenues, et adoptant les notations précédentes.
(7) à'{rt — s') + a\/i -+■ p'-hq''[{i -h q') r—o: pqs -h{i-\-p') t]-h {} -t- p' ■^- q'Y= o.
L'équation ( 6 ) exprime une propriété géométrique de la surface qui est une conséquence immédiate de la définition; en effet, oc ' ^
sji-^p'-^q^
Y H — ^^ ? sont les coordonnées du point obtenu en portant sur la normale, \ii^p'-^q'
à partir de cbaque point de la surface, une longueur égale à a. La relation établie entre ces deux coordonnées exprime que le lieu des, points ainsi obtenus est une courbe et non une surface, comme cela aurait lieu si l'on faisait une telle construction sur une surface d'autre nature.
Introduction remarquable d une équation différentielle dans un problème
d arithmétique .
214. Considérons deux nombres quelconques m et n, formons-en deux autres m, et n, qui soient respectivement la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique entre les deux premiers; en d'autres termes, posons
«T = \lmn ; opérons sur m, et n, comme on l'a fait sur m, et n, et posons
en continuant indéfiniment ces opérations, on formera une série de nombres ni;^,
7^3, m^, n^,..., qui, comme on s'en assure très-aisément, vont sans cesse en se rapprochant; on demande quelle est la limite vers laquelle on est conduit par de telles opérations indéfiniment répétées.
Ce problème curieux a été pour la première fois résolu par Gauss. Tout récemment, M. Borcliardt l'a rattaché élégamment à une équation différentielle à l'aide des considérations que nous allons faire connaître.
Soit w la limite cherchée ; w dépend évidemment de m et de n. Posons donc
^=f{m,n), il est clair, par la définition de w, que l'on a aussi
de plus, si m Qin étaient multipliés par un même nombre k, les nombres successivement déduits m^y n,, m.^, n^,..., et par suite w lui-même, seraient multipliés par^; w est donc une fonction homogène du premier degré de m et de n, et l'on a par conséquent
w = mf ( — ) = m, fi — !- )
Posons — = X, — = ûo,,..., et désisjnons la fonction / ( — ) par - : / ( — i étant
de même désigné par 4' on a évidemment
ce, étant lié à oo par l'équation
: sfx
on déduit de l'équation (2)
et de (1
dXi
){i-^xy
dx
ii-\-xy^x~
dy
dy\
)dx,
dxt
dx
[\+xY^'
dx
Remplaçons ~ par sa valeur, et chassons le dénominateurs — s', nous aurons
, ., dy ix[x — i) , , , , dr,
on en déduit, en prenant les dérivées des deux membres par rapport a œ,
dy , x{x — I )
^^^-^'^^ '^'T:^^ ^^■^x{x-^)dr,dx^ dy,
clx ' dx 1+^ dx, dx dx,
D'après la valeur de ^' on voit aisément que les deux termes qui contiennent ^' en facteur se détruisent, et que, en retranchant xy aux deux membres, cette équation peut s'écrire
Si, dans cette équation, x se change en a?,, x, se changera en x.,, puis x^ étant remplacé par ^.,, x.;, le sera par x^, et ainsi de suite; si donc on pose
dx on aura
— xy=^vi [y).
"^^ [\ + x)\l'x{i + x,)^x,{\^x,)^x, [\-^x„)sJx„
or si n grandit sans limite, i — x,, tend évidemment vers zéro ; on a donc
m[y]=^o, et y satisfait, par conséquent, à l'équation différentielle
Sans pouvoir suivre ici les conséquences de ce résultat, nous avons pensé qu'une analvse aussi remarquable ne serait pas déplacée dans un chapitre consacré à la formation des équations différentielles.
Équations différentielles totales.
215. Les équations différentielles auxquelles satisfont les fonctions de plusieurs variables indépendantes ont lieu entre les fonctions elles-mêmes et leurs dérivées partielles. On est quelquefois conduit à considérer une autre sorte d'équations qui ont lieu entre les différentielles des variables indépendantes et celle delà fonction qui en dépend. On a vu (57) que, z étant une fonction de x et de y, il existe une équa-
tion du premier degré entre les différentielles dx, dy, dz dont deux restent arbitraires et déterminent la troisième; une équation de celte forme
(,) Vdx + (}(ly->r\\dz=^o,
où P, Q, R sont des fonctions données de x, y, z, se nomme une équation différentielle totale.
Il V a une différence manifeste entre l'équation différentielle (i) et une équation aux différentielles partielles. Dans l'équation (i), en effet, dx et dy sont arbitraires, il est permis de les supposer successivement égaux à zéro, et l'on aura ainsi
rf2__P ^__Q.
7/^~" r' dy" \V
l'équation ( i ) fait donc connaître, à elle seule, les deux dérivées partielles ^ et -r^ entre lesquelles une équation aux différentielles partielles établirait seulement une relation.
216. L'introduction des dérivées partielles du premier ordre d'une fonction de deux variables permet, comme on l'a vu (197), d'éliminer une fonction arbitraire; la recherche d'une équation entre les différentielles permet seulement l'élimination d'une constante.
Soit F (07, j, z, C) = o une relation entre x, r, z et une constante arbitraire C. On en déduit, entre les différentielles dx, dy, dz, la relation
d¥ , ^F , dY ,
-r- dx H — T- dy + —j- «2 = 0, dx dy "■ dz
qui est la seule à laquelle ces différentielles soient assujetties; le résultat de l'élimination de C entre cette équation et la proposée est une équation parfaitement déterminée de la forme
Vdx-\-(^dy-h Wdz = o.
