On démontre facilement que la série

déjà considérée (228), est divergente. Il est impossible, en effet, quela somme de ses termes s'approche indéfiniment d'une limite déterminée, car en s' arrêtant à un

terme quelconque -■> la somme des n suivants

est composée de n termes, tous plus grands que — et par conséquent cette somme

est plus grande que -5 quelle que soit donc la somme déjà obtenue, on peut l'ac-

croître de plus d'une demi-unité, donc elle augmente indéfiniment sans avoir aucune limite.

D'après cela, toute série à termes positifs

dans laquelle le produit nu,, ne décroît pas indéfiniment lorsque n augmente, est nécessairement divergente. Supposons, en effet, qu'à partir d'une certaine valeur de «, on ait constamment

nu„ ^ /r, k étant un nombre tixe différent de zéro ; on aura par suite

[n -h p) u„.t.i,'> I> , et les termes de la série proposée sont plus grands que ceux de la suite divergente

ils ont donc-une somme infinie.

233. La réciproque du théorème précédent n'est pas exacte. Une série telle que le produit /im,, tende vers zéro lorsque n augmente, n'est pas pour cela nécessairement convergente. On peut même démontrer, et c'est un théorème bien remarquable dû à Abel, qu'il n'existe aucune fonction (p [n] telle que toute série à termes positifs •

Wo + w, -f- a,-t- . . . + u„ -h u„+, -h . . .