LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. ' 23S

OU que

et à fortiori, puisque a est entier, plus grand que a" u^n.

En ajoutant les inégalités (G) on obtient, en remarquant que les indices se suivent sans interruption dans le second membre,

et comme la série dont les a" premiers termes figurent dans le second membre est par hypothèse convergente, le premier ne peut pas croître indéfiniment et la série (B) est convergente. ♦

Admettons, en second lieu, que la série (A) soit divergente, nous écrirons les inégalités suivantes

( a — I ) au^ > w^+ u^^^ -h . . . + ?/^., ,

qui toutes sont évidentes si l'on a égard à ce que les termes m,, Mj, Wj,,.., vont par hypothèse en diminuant.

En ajoutant les inégalités précédentes qui ont toutes lieu dans le même sens, on en déduit

le second membre croissant par hypothèse indéfiniment avec n, il en est à fortiori de même du premier, et la série (B) est, comme nous l'avions annoncé, divergente.

235. Cauchy, qui le premier a fait connaître le théorème précédent, s'en est servi élégamment pour prouver que la série

iH \ h. -.-h' h-.-,

est convergente ou divergente suivant que l'exposant positif fx est plus grand ou plus petit que l'unité. 11 suffit, en effet, d'appliquer à cette série le théorème général qui précède, en y supposant a = i. On voit alors qu'elle est convergente ou divergente en même temps que la série plus simple

c'est-à-dirn

or celte série est une progression géométrique de raison (-V' , convergente si [j.

surpasse l'unité, et divergente dans le cas contraire : la proposition est donc démontrée.