MM'~" ,, . /OM\-,. /0M

c'csl précisément (543) l'expression de la courbure du p«'lil cercle dont OM cs( le rayon sphérique.

Diverses expressions de la courbure géodésiquc d'une Ligne sphérùjuc,

54(). Adoptons pour coordonnées d'un point M de la surface de la sphère, l'arc 5 qui mesure la distance de ce point à un point fixe 0, et l'angle <]>, formé par l'arc I. 73

a78 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

de grand cercle OM avec tin grand cercle donné passant par le point 0. Ces coordonnées, analogues aux coordonnées polaires sur un plan, sont équivalentes aux coordonnées géographiques que l'on nomme longitude et latitude. Nous avons trouvé (121) que, dans ce système, en prenant, comme nous le ferons ici, le rayon de la sphère pour unité, la distance de deux points infiniment voisins qui ont pour coordonnées 5, 1, ô -+- c?ô, 4' + «^'1'' » po"»* (^arré,

d 0'' + sin" B d ']^\

Cela posé, soit ABune courbe représentée par une équation entre 5 et 1, et MM' un arc infiniment petit pris sur cette courbe à partir du point M ; calculons la courbure géodésique de cet arc MM'.

Si par les points M et M' on mène des arcs de grand cercle MI, M'I, tangenls à MM', et se coupant en I, en nommants l'angle formé par ces arcs, la courbure géodésique cherchée est

MM'

Or on a, comme nous venons de le rappeler.

(i) MM' = dQ'-h<.m'Qd<\'-

Mais en nommant V l'angle OMA, on a (93)

( 2 ) tang V = sin 9 -^ ;

la surface du quadrilatère OMIM' est mesurée par l'excès de la somme de ses angles sur quatre angles droits, et l'on a

0MIM' = rf4/ — £ + rfV, et par conséquent

'* (3) ,, £=::<; 4; + rfV — OMIM',

mais l'équation (2) donne

(4) rfV = rfarctang(sinÔ-'^^ - ^ "^^

dQ . ,„ /dé

. + sm'e.(J

D'ailleurs la surface OMIM' est égale, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à la surface comprise entre les arcs OM, OM' et le petit cercle décrit de 0 comme pôle avec un rayon sphérique OM, égal à 5; on a donc

OMlM' = d^{i—cos6),

et par conséquent,

,/.(si„9'l|)

(5) c = rft{<cos6-

la courbure >rrw-,» que nous désignerons par -■> est par conséquent

a. sin 6

(6; r/J/cos6H ^^ j-j-j

■ sin'

\dO )

s/rfÔ' + rfii/'sin'Ô c'est-à-dire, en développant les calculs, et chassant les dénominateurs,

^ d'il /d\h\' d^û)

, »cose ^ + sm'9cose (^JJ +«'"0-^

sin>0(^]'l

547. Si l'on prend pour pôle le point M de la courbe considérée, et que l'arc fixe à partir duquel se compte l'angle | soit tangent à MM', on aura 6 = o, et cette hypothèse, introduite dans la formule ( 7 ), la réduit à

' ' p dO

L'interprétation géométrique de ce résultat est importante.

rf| est, en effet, l'angle formé par l'arc du grand cercle qui sert de corde à l'arc MM', avec la tangente à l'une de ses extrémités, et dO est cette corde elle-même que l'on peut, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, remplacer par l'arc MM'; la comparaison de la formule (8) avec l'équation

p~MM'' qui résulte de la définition, donne, par conséquent,

tz=zd<\i ,

et par conséquent

fi.

Dans une courbe spliériqiie quelconque, l'angle formé par la corde d'un arc infiniment petit MM', avec l'arc de grand cercle tangent à l'une de ses extrémités, est égal, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à la moitié de l'angle de contingence formé par les arcs de grand cercle tangents aux deux extrémités M et M'.

548. Il esl Lien entendu, comme nous l'avons expliqué plusieurs fois, qu'eu calculant une grandeur infiniment petite d'un certain ordre, nous regardons les infiniment petits d'ordre supérieur comme négligeables.

Si çi{x) désigne, par exemple, une fonction de x qui, lorsque .x esl infiniment

petit du premier ordre, soit infiniment petite d'ordre n, et que le rapport ?-^ ail

pour limite une constante A, nous dirons que ic étant infiniment petit, la valeur de o{jc) est Ax."; mais pour éviter toute confusion nous rappellerons que les infiniment petits d'ordre supérieur ont été négligés, en nommant, avec M. 0. Bonnet, cette expression Jix", la valeur principale de f [x). En adoptant cette dénomination, le tliéorème démontré (45) peut s'énoncer de la manière suivante :

Si une fonction (p{x), infiniment petite avec x, a pour valeur principale Ax", A étant une constante, la dérivée ^' {x) a pour valeur principale nAo;"^'.

549. La réciproque de ce tbéorème est exacte: si la dérivée f' {x) est infiniment petite avec x, et a pour valeur principale nAx"'' , A étant une constante, la fonc- \\on^{x), si elle est aussi infiniment petite avec x, a pour valeur principale Ax".

Posons, en effet,

£ étant, lorsque x est infiniment petit, infiniment petit par rapport au premier terme du second membre. 9 {x) est (115) l'aire comprise entre l'axe des x, l'ordonnée qui correspond à l'abscisse a7, et la courbe dont l'ordonnée est 9' (a;). Or, en négligeant le terme 1, on ne supprime, par bypotbèse, qu'une portion infiniment petite de cette ordonnée, etl'aire qui représente» (.r) n'est, par conséquent, altérée que d'une portion infiniment petite de sa valeur : elle devient alors égale à la fonction qui, étant nulle avec x, a pour dérivée nAx"~', c'est-à-dire kAx", et par conséquent la valeur principale de f [x] est Ax".

550. Revenons à la théorie des courbes spbériques : soit MA une courbe quelconque tracée sur une splière, et MT l'arc de grand cercle qui la touche en iM ;

nommons S l'arc MM, compté sur la courbe MA à partir du point M, et y la distance

du point M, à l'arc MT comptée sur l'arc de grand cercle M, P perpendiculaire à MT.

Il est facile de voir que l'angle MM, P, formé par M,P avec l'arc MM, , a |»our

cosinus -r • Soit en effet M', un i)oint situé sur la courbe MA, à une distance infi-

ninient petite de M, que nous nommerons ch, et soit M^P' =y -h dy l'arc de grand cercle analogue à M, P, et correspondant au point M', ; menons par le point M, un arc de petit cercle M, K parallèle à PP': on aura M', K = dv, et le triangle xM,M',K, qui peut être considéré comme rectiligne, donnera

cosM,M',K = ^'

Cela posé, supposons le point M, infiniment voisin de M, et menons l'arc de grand cercle M,I tangent à MM,, et coupant en I l'arc MT; le triangle sphérique IM, P, donne, en nommant s l'angle en I, qui est l'angle de contingence de l'arc MM,,

ces PM. I = sin £ ces 1 P ;

cos IP différant infiniment peu de l'unité, on peut écrire, en négligeant les intinimcnt petits d'ordre supérieur au premier,

cos PM,I = sin E,

c'est-à-dire, à cause de l'équation ( i ), et en remplaçant le sinus par l'arc,

in-..

mais en nommant - la courbure géodésique de la ligne MA au point 31, on a, en désignant par s l'arc MM, ,

et ^)ar conséquent

Ùl — i.

ds p

La valeur principale de la dérivée '-1 étant -> celle dey est (549) — et l'on a par conséquent, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au second.

Hn joignant le point M au point M, par un arc de grand cercle que nous nomme-

58i PREMIÈRE PARTIE - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

rons la corde de MM,, on forme un triangle sphérique MM,P, dans lequel on a

sinM.P

sinM.MP

sin ]M,M,

c'est-à-dire, en remplaçant les sinus infiniment petits par les arcs,