Transformer l'expression

d-v d'v dx' dy'

dans laquelle v désigne une fonction quelconque de x et de /, en une autre dans laquelle x et y soient remplacés par des variables r et 0, liées aux premières par les équations

.r=rcos9, j^=rsin9, équivalentes à

On a

r'=.x'-hy', e = arctang-

<i'^=-s^^^-'+'7îidj-'^^'^^'^-dr'^y'

d'v , d'i' , , d'v ,, dv , dv .^

d'v — —- dr'+j -drd6^-^---d(j'+-j-d-r+ -lyd'i;

dr' (IrUe dB' dr dh

d'ailleurs

dr:

xdx 4- ydy . xdy — ydx

{dx'+dy') r-

{xdx ■+■ ydy)'

{x'-\-y) {dx' -+- dy') — {xdx -+- ydy)' [xdy—ydxf-

— 7.{xdx

+ ydy )i^dy —ydx ) __ {y' — x')dx dy — xy{ dy- — dv )

et par suite

,j d^v{ xdx -+- ydy Y d'y {x- — f^)dxdr+ xr(dy' — dx^)

" ~ dr' r-' ■*" "* drd^ "T^""^ ''

d^ [xdy— ydx)' dv [xdy — ydxf dv / y' — x' ) dx dy — xyi dy' — dx^ ) '^ d9' r'' "*" dr T' *" rfê ^ ' 7^ '

et en égalant les coefficients de dx'^ et de dy'^ dans ces expressions de d'-v, il vient

d' V d' V x^ 'y.xy d'v d'' v y- dv y' ixydv

dx' ~ IF ? ~ drdQ "*" !¥ 7'~^dr7''^' T^ dô '

d''v d'' V y' ixy d''v d'' v x'' dv x^ ixy dv

If ~ dF P "*" 1^ drdO "^ 'd¥ F'^ dr7^ ~ Zô '

et par suite

d'v d' V __d'v d'y I 1 dv dx' y dv' d%' r' r dr