J^ -^ J (COS'W

sin't.) cos'w dbi

tan g' 6) — ~ cos'w

(i-t- lang'o))^

et, en posant i -i- taug-'c) = z,

La boucle du folium s'obtiendra en faisant varier w de zéro k-î et par conséquent z

de l'unité à l'infini. La surface de cette boucle est par conséquent - a^. 389. Aire de la cyclotcle. — Les équations d'une cycloïde étant

X = a{ii — sin u , y = a{i — CCS u ,

on a

y'dx^=: a'(i — ces m/ du =:^à- sin' - u du.

La surface totale correspondant à un tour entier du cercle générateur s'obtiendra en faisant varier u de zéro à 2n; elle est donc

4 a' I sin' - udu=^ 8a' j sin' - m du = 3-a'.

390. .4tre rfe /a cardioïde. — On a désigné sous le nom de cardioïde la courbe lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point de la circonférence d'un cercle sur ses tangentes. Celte courbe a pour équation, en coordonnées polaires,

p = R + R coso).

R étant le rayon du cercle et le pôle placé au point d'où l'on abaisse les perpendiculaires. La surface totale est

- / p.' dw = - I ( R' -I- aR COSO) ■+- R' cos^o)) rft» :

^ Jo ^ Jo

SttK'

elle est par conséquent la moitié de l'aire de la cycloïde engendrée par un point

du cercle roulant sur une de ses tangentes.

Théorème de Steiiier.

391. Le résultat précédent est un cas très-particulier d'un tbéorème élégant dû à Stcincr.