LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. 4SI

gène suivant la loi indiquée. Il sera plus intéressant de traiter la question directement en rapportant la démonstration élégante donnée par M. Thomson lui-même.

Considérons une couche sphérique infiniment mince dont la densité en chaque point soit inversement proportionnelle au cube de la distance au point P, de telle

sorte qu'un élément d<j placé en H ait pour masse -^per' '^ étant une constante, et

que son attraction sur lin point de masse ;jl placé en M soit représentée par

"kfy.da

ph'. hm"

Prenons dans l'intérieur de la couche un point K situé sur la droite MP prolongée et tel, que le produit PK.PM soit égal au produit constant F des segments de deux cordes quelconques de la sphère qui se croisent en P. Pour décomposer la couche en éléments dont les actions sur le point M devront être réunies ensuite, nous procéderons de la manière suivante :

Par le point K menons une droite quelconque qui coupe la surface sphérique en K et en F; joignons EP et FP, ces lignes prolongées couperont la sphère en G et en H, et il est clair que si à EF on substitue un cône d'ouverture infiniment petite rfw, ayant son sommet en K, les points F et E seront remplacés ainsi que G et H par des éléments superficiels. La méthode de M. Thomson consiste à prendre pour action élémentaire celle qui est exercée par les deux éléments G et H; cette action, résultante de deux forces dirigées suivant GM et HM, est toujours dirigée suivant MP, et la sommation relative à toutes les positions du cône EF s'effectue ensuite sans aucun calcul.

Pour évaluer l'action de l'élément H sur le point M, il faut chercher la masse de

cet élément et pour cela multiplier sa surface par la densité =j- L'élément de

PH

surface sphérique intercepté en F sur le cône d'ouverture rfw est évidemment égal

au produit c?'i>.KF divisé par le cosinus de l'angle formé par KF avec le rayon de la sphère, c'est-à-dire à

</mKF'.2R

EF

Mais les éléments F et G étant détachés sur la sphère par un même cône qui a son sommet en P et qui évidemment la coupe à l'entrée et à la sortie sous des angles égaux, la surface de l'élément H est

dmKF\2B. PH^

et l'action de cet élément sur la masse [i placée en M est

fl?w Kf'^R Ph' J fjL^ ^* PF PH HM

Les triangles seniblahles PKF, PHM donnent

kf' 1 pf' . hm' pm'

On a, de plus,

j^PF PU ~ /.- '

et l'expression de l'attraction suivant HM est

(32) ■■' r PF.

L'action dirigée suivant GM sera de même

et les deux forces que nous devons composer sont entre elles, par conséquent, comme les lignes PF et PE. La similitude des triangles EPK, PMG, HPM, PKF montre d'ailleurs que l'angle EPF est le supplément de HMG. Nous avons donc un triangle PEF dont les côtés PE et PF, proportionnels à nos deux forces, forment un angle supplémentaire de celui de leurs directions. Le troisième côté EF est donc proportionnel à la résultante qui forme avec MH et MG des angles égaux aux deux angles PEF et PFE et est, par conséquent, dirigée suivant MP. La grandeur de cette résultante s'obtiendra en remplaçant dans (22) PF par EF. On obtient ainsi

(lA) lf!xd(ô.2R I .