Si, au contraire, on veut faire le débillardement

en commençant par tailler les faces du berceau A, on pourra supposer que les deux plans p et g entre lesquels se trouve comprise la pièce que l'on veut tailler (fig. 5), se sont avancés parallèlement * à eux-mêmes jusqu'à ce qu'ils soient venus prendre la position ff et tf. Les quatre ellipses suivant lesquelles ces deux plans coupent les cylindres qui forment les surfaces extérieure et intérieure du berceau rampant A, seront projetées sur le plan p'; puis on fera tourner ce plan autour de l'horizontale projetante du point 5", ce qui donnera (fig. 13) la projection delà pièce débillardée.

802. Les quatre courbes de cette projection seront les directrices des surfaces du berceau A ; et lorsque ces surfaces seront taillées, on y appliquera les patrons de développement des fig. 18 et 21.

Le premier est le développement du cylindre intérieur du berceau A et le second est le développement du cylindre extérieur.

Pour construire ces patrons , on peut supposer (fig. 5) que le berceau A est coupé par un plan PQS , perpendiculaire à sa direction .

Ce plan reculé jusqu'en P'Q' est rabattu sur l'épure en tournant autour de l'horizontale projetante du point o'.

ha fig. 16, que l'on obtient par cette opération, contient les sections droites des deux cylindres qui forment les surfaces extérieure et intérieure du berceau A.

Les parties des arcs z'U", z"V" de la fig. 16 étant portées à la suite les unes des autres (fig. 18 et 21) sur les droites 1 1 — 12 , 13 — 14, ces lignes seront égales aux deux arcs z'U'\ *"V" de la /Sff . 16.

Pour les différents points des droites 11 — 12, 13 — H (fig. 18 et 21) , on élèvera des ordonnées qui auront pour

longueurs les distances du plan PQ aux points correspondants des arcs a! — 5' et ze (fig. 5).

803 . La pièce M qui est au milieu de la courbe arêtière (fig. 14) peut encore être déduite d'un prisme rectangulaire dont la base 15 — 16 — 5f — 17 (fig. 5) aurait deux de ses côtés parallèles au plan de section droite P'Q' rabattu (fig. 16). La longueur de ce prisme serait égale au double de la droite 5 — V" et les deux arcs d'ellipse 1 — U", 2 — V" seraient alors les directrices des faces cylindriques du berceau A , sur lesquelles faces , lorsqu'elles seraient taillées , on appliquerait encore les patrons de développement des fig. 18 et 21 .

804. Le moyen le plus économique dans le cas actuel pour tailler les pièces de naissance de la courbe arétière est celui que nous avons déjà indiqué au n° 787.

Ainsi (fig. 5), la droite RH passant par les points a' et 2' de l'arc a!— 5', et la droite DK tangente à l'arc z— 6' seront les traces de deux plans parallèles qui comprennent entre eux la pièce demandée.

Ces deux plans , transportés parallèlement à eux-mêmes jusqu'en R'H' et D'K', coupent les surfaces cylindriques du berceau A suivant quatre ellipses que l'on a projetées sur le plan K'D'.

Cette projection rabattue (fig. 17), en tournant autour de l'horizontale projetante du point o', détermine les quatre courbes directrices des surfaces cylindriques du berceau A , sur lesquelles surfaces on appliquera , comme précédemment , les panneaux de développement des figJ 1 8 et 21.

805. U n'est pas nécessaire ici , comme dans l'exemple du.n°.787 , de construire les projections horizontales des

quatre ellipses provenant de la section des surfaces du berceau A par les deux plans H'R' et K'U , parce que dans le rabattement autour de l'horizontale projetante du point o', le cercle décrit par chaque point se confond en projection horizontale avec la génératrice correspondante, ce qui n'avait pas lieu sur la fig. 9. L'inspection de cette dernière figure suffit pour faire reconnaître que les projections horizontales des quatre ellipses étaient nécessaires pour déterminer les projections des cercles parcourus par chacun de leurs points lorsque Ton rabat le plan olc[ sur la/îjf. 8.

806. Si Von ne craint pas d'employer un peu plus de bois , on pourra déduire la pièce de naissance, d'un parallélipipède rectangle , dont deux faces 18—21 et 19 — 20 seraient parallèles au plan PQ delà section droite (fig. 5); et dans ce cas les arcs d — 1 et z" — 2 de là fig. 16 serviraient de directrices pour tailler les faces cylindriques du berceau A ; mais je ferai remarquer que , dans ce cas , le nombre des fibres tranchées serait plus grand que par la méthode précédente.

807. La fig. 15 est la projection de la portion de berceau A comprise entre les deux plans verticaux GI et TF ,

808. Les quatre ellipses suivant lesquelles ces deux plans coupent les cylindres inclinés du berceau A ont été projetées sur le plan vertical EY que l'on a ensuite rabattu sur l'épure en le faisant tourner autour de sa trace horizontale.

Tous les points de la fig. 15 sont déduits de leurs projections horizontales sur la fig. 14 , et de leur hauteur sur la fig. 5. Ainsi, par exemple, le point m de la fig. 14 est

projeté en *if sur la fig. 5 , et la hauteur nW est portée , fig. 15 , de n" en m" sur la droite mm" perpendiculaire à YE.

Le point s de la fig. 14 étant projeté en s* sur la fig. 5 , on portera «V de t/' en *" sur la droite m" perpendiculaire à YE) , et ainsi de suite pour tous les autres points.

809. Cette solution, évidemment moins simple que les précédentes , est indiquée ici comme étude graphique , et pour exercer les élèves à la comparaison des méthodes.

810. Il peut d'ailleurs arriver, par suite de certaines conditions de courbure ou d'inclinaison , que la solution qui ne convient pas dans un cas soit au contraire préférable dans d'autres, en permettant d'économiser le bois ou d'éviter la section des fibres.

Descente biaise.

811. Lorsqu'un berceau incliné rencontre un berceau horizontal et que les angles formés par les directions de ces deux berceaux ne sont pas droits , il en résulte une pénétration à laquelle on donne le nom de descente biaise.

Les fig. 6 et 5, PI. 41— A, sont les projections verticale et horizontale des deux berceaux.

Les deux arcs concentriques ae, os (fig. 6) sont les sections droites des surfaces cylindriques du berceau horizontal que je nommerai B , et les deux arcs vu, zs de la fig. 7 sont les courbes directrices des surfaces cylindriques du berceau rampant ou en descente que je désignerai par la lettre A sur toutes les figures de cette planche.

La fig. 7 , située primitivement dans le plan vertical sP,

est venue prendre la position actuelle , en tournant autour de la verticale projetante du point U (fig. 5).

Tous les points des arcs vu,z$ (fig. 7) étant projetés sur la droite UP' et ramenés de là dans le plan UP, ont déterminé les projections horizontales et verticales de toutes les génératrices correspondantes.

Les projections verticales de ces génératrices sur la fig. 6 ont rencontré les deux arcs ac9 oe suivant des points qui, projetés sur la. fig. 5 par des perpendiculaires à la Jigne K, ont déterminé sur les projections horizontales des génératrices correspondantes , tous les points des quatre arêtes de la courbe arétière.

812. Cette première partie de l'épure étant terminée, on construira la fig. 4 qui est une projection du berceau rampant A sur un plan vertical O'X parallèle à sa direction.

Tous les points de cette nouvelle projection verticale se déduiront de leurs projections horizontales (fig. 5) et de leur hauteur sur la projection verticale primitive

Les deux ellipses entre lesquelles il y a une teinte de points sur la fig. 4, sont les projections des deux circonférences de cercles vu,zs de la fig. 7.

Ces ellipses se construiront facilement par leurs axes.

813. On peut se proposer comme étude de Géométrie descriptive de construire la droite qui forme la limite supérieure de la projection du berceau A sur la fig. 4.

Cela revient évidemment à construire la trace d'un plan tangent perpendiculaire à cette projection.

Or, si par un point quelconque mm1 (fig. 5 et 6), on conçoit la droite mn,wlvl perpendiculaire au plan de la

fig. 4, cette ligne sera horizontale , et sa projection sûr la fig. 6 devra coïncider avec l'horizontale m! ri". ; la droite mn,m'ri et Taxe mU,m'U' du cylindre A détermineront la direction du plan tangent.

La droite mn,m'ri perce le plan vertical $P en un point nri qui , rabattu en n"> détermine ri" sur la fig. 7.

De plus , Taxe du cylindre rencontre le plan de la même figure au point U\ de sorte que la droite TJ'ri" est l'intersection du plan de lai fig. 7 par un plan qui contient Taxe dû cylindre A , et qui serait parallèle au plan tangent demandé. Par conséquent, si l'on construit le rayon U'H' perpendiculaire sur {J'n'", la droite H'Q perpendiculaire à l'extrémité du rayon U'H', sera l'intersection du plan de la fig. 7 parle plan tangent demandé.

Le point H' de la fig. 7 étant projeté en H sur la fig. 8 et ramené de là en H", on en déduira le point H'" de la fig. 4, et par suite la droite H'"H" qui doit être tangente à l'ellipse z's'z' et aux deux arêtes extérieures de la courbe arêtière.

On déterminera de la même manière la droite DE qui, sur la fig. 4, forme, la limite de la projection du cylindre intérieur du berceau A.

814. La projection verticale auxiliaire (fig. 4) a deux buts principaux. .

D'abord , elle facilitera la recherche des blocs qui conviennent le mieux pour l'exécution des diverses parties de la courbe arêtière que nous supposons ici composée de quatre morceaux.

Ensuite, cette projection auxiliaire servira, comme nous l'avons dit au n° 208 de l'introduction, pour construire (fig. 9 et'10)/les développements des surfaces cylindriques du berceau rampant A. . ,

38* PÉNÉTRATIONS. PL. 4f-A.

En efièt , le ]>lan OFt perpendiculaire à la direction dit berceau A, coupera les èurfaces cylindriques extérieure et intérieure de cette voûte, suivant leurs sections droites qui sont rabattues sur la /Eg. 1.

815. Pour obtenir cette figure, on a supposé que le plan OF se mouvant parallèlement à lui-même , était vfeûu se placer en OT*, et qu'il avait été ensuite rabattu Sur l'épure , en tournant autour de l'horizontale projfetaflte du point O'.

Les demi-ellipses de la fig. 1 étant rectifiées donnent les droite* 0 — 5—1 — 0 (/tjf. 9 et 10), et lès ordonnée* élevées par les différents points de ces deu* droites sont égales aux parties de génératrices comprises snrlà/igr.4 entre le plan OF et les points correspondants des arêtes de la courbe arètière : la fig. 9 est le développement du cylindre extérieur du berceau A et la fig. 10 est le développement du cylindre intérieur.

81Ô* La fig . 2, qui représente le développement des surfaces cylindriques du berceau horizontal B, se construira comme dans tous les exemples précédents.

Ainsi , les droites oV,oV étant égales en longueur aux deux arcs ac,oe de la fig. 6, on tracera les ordonnées des points principaux dont les longueurs seront égales à leurs projections sur la fig. 5.

817. J'ai supposé dans cet exemple que les deux parties N,N de la courbe arètière seraient taillées par la méthode du n* 787 ;

C'est-à-dire , qu'après avoir construit les deux plans parallèles p\q (fig. 6), on a fait avancer ces plans jusqu'en p',q'. .

818. Les quatre ellipses /suivant lesquelles les surfaces du berceau A sont coupées par les deux plans p' ,</ étant déterminées sur la projection horizontale (fig. 5), on les a projetées sur le plan tf que l'on a fait tourner ensuite autour de l'horizontale projetante du point U.

Cette opération a donné la fig. 8 r sur laquelle on a pu déterminer les limites des blocs capables de contenir les deux pièces demandées.

Le point xal des fig. 5 et 6 étant projeté sur le plan qf\ on en déduit le point aF ( fig. 8 ).

La droite UaF sera donc là projection de Taxe du berceau A sur le plan g'.

Cette opération est fort utile pour vérifier sur la fig. 8 la direction des droites génératrices du berceau A ; toutes ces lignes devant être parallèles à la droite U#".

819. Quoique les points 4,4,4,4, de la fig. 8 paraissent être en ligne droite, il ne faudrait pas croire <Jue cela doit toujours être ainsi.

Cela provient uniquement de ce que par suite de l'inclinaison du berceau A, le plan qf de la fig. 6 se trouve être à fort peu de chose près perpendiculaire au plan qui contient la face dé joint 4,4,4,4 (fig. 5).

Il n'aurait été possible ici , de séparer les côtés opposés du quadrilatère 4,4,4,4 qu'en sacrifiant l'exactitude, "puisque l'un 'de ces côtés doit aboutir au point U, tandis que l'autre est dirigé vers le point ro!\

Or, le plan du quadrilatère 4,4,4,4 contenant l'axe Um du cylindre , il est évident que les quatre points ne pourraient être rigoureusement en ligne droite que dans le cas où la droite U#* coïnciderait avec U— 4.