La droite ks perpendiculaire sur qm sera la normale

101. Foyers, directrice. Si par le point v, milieu de qm, on mène une perpendiculaire à la tangente, le point F, où cette perpendiculaire rencontrera l'axe AX, sera le foyer de la parabole. Enfin, portant AF de A en D, et construisant la perpendiculaire cD, on aura retrouvé la directrice.

102. Si Ton voulait mener une tangente parallèle à une ligne donnée bc, on construirait une corde Ad parallèle à cette ligne, et la droite um! menée par le milieu de Âd parallèlement à l'axe AX, déterminerait en m' le point de tangence ; ce qui suffit, puisque la direction de la tangente est donnée.

103. Construire une tangente à la parabole, par un point hors de la courbe.

Soit o {fig* 9) le point donné. On décrira de ce point, comme centre, et passant par le foyer, un arc de cercle u¥s qui

PL. 9. GÉOMÉTRIE DB8C*!PTrVE. 43

coupera la directrice aux, deux points 11, «; ou mènera par ces deux points et parallèlement à Taxe AX les droites «m', um", dont les intersections avec la courbe seront les points de tangence. Cette construction est analogue à celle que nous ayons donnée (93); la directrice remplace le cercle décrit du second foyer comme centre,

104. Hyperbole». L'hyperbole ne diffère de l'ellipse qu'en ce qu'au lieu de la somme, c'est la différence des rayons vecteurs qui est égale à une quantité constante que l'on nomme 2a.

105. Construction de l'byppjftole, Première méthode (fis. 10). Le? foyers FF' d'une hyperbole étant donnés, ainsi que la quantité 2a qui est la différence des rayons vecteurs; du point F, comme centre, avec un rayon quelconque F'o, on décrira un arc de cercle ; ensuite du point F, comme centre, avec un rayon F0 égal à F'O + 2a, on décrira un second arc, et le point où ces deux arcs se couperont appartiendra h la courbe demandée. Ici, comme dans l'ellipse, toute ligne telle que kn, qui passe par le milieu de deux cordes parallèles, se nomme un diamètre, et le point A, milieu de la portion de ce diamètre comprise entre les points où if coupe la courbe, se nomme le centre. Le diamètre XX', qui passe par les foyers, se nomme Y axe transverse, et YY', qui lui est perpendiculaire, se nomme l'axe non tramverse, La portion BB' de l'axe transverse est égale à 2a.

106. Asymptotes. 11 existe dans le plan de toute hyperbole deux droites qui jouissent de propriétés remarquables. Ces droites» AD, AE, passent par le centre de la courbe et s'en rapprochent sans jamais la toucher, ou, en d'autres termes, elles ne touchent la courbe qu'à l'infini. On leur donne le nom à' asymptotes.

107. Les asymptotes fournissent un moyen très-simple de construire une hyperbole lorsqu'on en connaît un point. En effet, soient donnés le point «et les deux asymptotes DD', EE'. On construira dans une direction quelconque, en passant par le point #, la sécante pu, et prenant ps, on le portera de w en t); ce qui donnera le point v. De même, construisant une autre sécante ri, on portera $t de c en i. En continuant ainsi dans toutes

les directions, on aura autant de points que Ton voudra sur les deux branches de la courbe.

108. Centre, axes, foyers. La courbe étant construite, le centre et les axes pourront être retrouvés comme dans l'ellipse. Pour obtenir les foyers, on décrira un arc du point A, comme centre, de manière à passer par le point A, où l'asymptote est rencontrée par l'ordonnée Bh ; les intersections de ce cercle avec l'arc transverse seront les foyers. On ferait l'opération inverse si l'on voulait construire les asymptotes, connaissant les foyers. (Géom. anal.)

109. Tangentes et normales. Première méthode (fig. 11). Pour obtenir la tangente en un point m de l'hyperbole , on construira pm parallèle à l'asymptote ; puis faisant po = Aj?, le point o appartiendra à la tangente. Cette construction provient de ce que, dans toute hyperbole, si l'on construit une tangente, le point de tangence doit toujours occuper le milieu de la portion de la tangente comprise entre les asymptotes.

1 10. Deuxième méthode. On peut encore construire la tangente en un point donné m', en construisant les deux rayons vecteurs F'm', Fm', et partageant l'angle que ces rayons font entre eux, en deux parties égales.

111. Pour construire une tangente parallèle à une ligne donnée ts, on mènera d'abord une corde Bc parallèle à cette ligne, puis la droite At> passant par le milieu de la corde Bc déterminera en m le point de tangence, et comme l'on connaît la direction de la tangente, il sera facile de la construire.

112. Construire une tangente à l'hyperbole par un point pris en dehors de cette courbe. Soit o le point donné (fig. 12). De ce point, comme centre, on décrira un premier cercle passant par l'un des foyers F. De l'autre foyer F', comme centre, avec un rayon égal à B'B = 2a, on décrira un second cercle, et l'on joindra par deux droites les points d'intersection de ces deux cercles avec le foyer F' qui a servi de centre au second cercle ; les points m'm'\ où ces droites rencontreront la courbe, seront les points de tangence.

113. La normale se construira comme ci-dessus, en menant par le point de tangence, une perpendiculaire à la tangente.

114. Sections coniques. Les courbes du second degré sont encore nommées sections coniques, par ce qu'on obtient toujours Tune d'elles lorsque Ton coupe un cône circulaire par un plan. Supposons, par exemple, le cône circulaire ou de révolution, qui est projeté sur la fig. 2, pi. 6. Si Ton coupe ce cône par un plan p perpendiculaire au plan vertical de projection , et que l'on fasse tourner ce plan autour de l'horizontale projetante du point a, la section changera de forme, suivant les différentes positions du plan coupant; mais on obtiendra toujours Tune des trois courbes que nous venons d'étudier précédemment ; ainsi, la section par le planp sera une ellipse, la section par le planpt sera une parabole, et la section par le plan p, sera une hyperbole. En général, si l'angle YAK est plus grand que HSK, la courbe de section sera une ellipse; lorsque l'angle V'AK sera égal à HSK la courbe sera une parabole, et lorsque l'angle V'AK sera plus petit que HSK on obtiendra une hyperbole.

115. Section elliptique du cône {fig. 1). Le plan coupant p étant perpendiculaire au plan vertical de projection , il résulte évidemment de là, que la projection verticale de la courbe cherchée sera une ligne droite a'o'..Pour construire la projection horizontale de la même courbe , il suffira de déterminer les points suivant lesquels le plan p coupe un certain nombre de génératrices du cône.

Pour le plus grand nombre de ces points, il suffira d'abaisser par leurs projections verticales des perpendiculaires à la ligne AZ; ainsi, lorsqu'on aura tracé les deux projections delà génératrice (* — 1), il est évident que la projection horizontale u du point uu' se déduira immédiatement de sa projection verticale u'. Mais lorsqu'il s'agira d'un point très-essentiel dont il sera nécessaire de vérifier la position , lorsque surtout cette position résultera de la rencontre de deux lignes qui se couperont suivant un angle. trop aigu, il sera nécessaire d'opérer de la manière suivante. '

Ainsi, par exemple, si l'on veut déterminer ou vérifier la projection horizontale du point rom', on fera tourner la génératrice s— 2 qui contient ce point autour de la verticale projetante du sommet, jusqu'à ce qu'elle soit parvenue dans la position

46 l&ÎRODUCnON. PL. •-

*—2', parallèle au plan vertical de projection -, par suite de ce mouvement, le point ni sera venu se rabattre en m", d'où Ton déduira sa nouvelle projection horizontale m"' que Ton ramènera ensuite en m sur la projection horizontale de la génératrice s — 2. Une seule opération déterminera deux points m,ro, situés sur les génératrices qui ont la droite s~2 pour projection verticale commune*

116. Au lieu de construire isolément les différents points de la courbe demandée, on peut en déterminer les axes, ce qui permettra de la construire en opérant comme nous l'avons dit au n° 85. On remarquera d'abord que, si par le sommet du cône on conçoit un plan parallèle au plan vertical de projection, ce plan sera placé symétriquement par rapport au cône et au plan coupant, d'où il résulte qu'il sera également un plan de symétrie par rapport à la courbe intersection des deux surfaces, et que, par conséquent, il contiendra Taxe ao, a!o' de cette courbe. Le second axe, perpendiculaire au premier, aura pour projection verticale le point m\ milieu de la droite do\ et pour projection horizontale la droite mm dont les extrémités s'obtiendront en opérant comme bous l'avons dit précédemment (115).

117. Pour obtenir la courbe dans sa véritable grandeur, on rabattra le plan coupant en le faisant tourner autour de sa trace horizontale. On peut se contenter de rabattre le centre et les axes qui sont connus dans leur véritable grandeur, le premier o"a" par sa projection verticale ofar et le second m lT mIf par sa projection horizontale mm ,• puis on construira la courbe rabattue par la méthode du nô 8(fc 11 est très-essentiel de remarquer que le centre de la courbe de section est au milieu de la droite mm, mFm1" et que ce point projeté en m' n'appartien^pas à l'axe du cône.

118. Tangentes. Il est souvent utile de construire des tangentes à la courbe qui provient de la section d'une surface par un plan. Or la tangente à la courbe sera évidemment située dans le plan de cette courbe; de plus elle ne pejjt pas être tangente à la courbe sans être également tangente à la surface qui contient cette courbe , d'où il résulte qu'elle doit être située dans le

plan tangent à la surface. Ainsi, la tangente en un point de la courbe de section devant être située en même temps dans le plan tangent et dans le plan coupant, elle sera l'intersection de ces deux plans.

Donc, pour construire par un point u,ur une tangente à la courbe de section, on tracera la génératrice * — 1 ; et la droite l~t>, tangente à la base du cône, sera la trace du plan tangent. La droite u— v, intersection du plan tangent sv — 1 et du plan coupant pv\ sera la tangente demandée. La projection verticale de celte tangente se confondra avec la trace verticale v'p du plan coupant qui est perpendiculaire au plan vertical de projection.

119. Pour construire dans le rabattement la tangente vu", on remarquera que le point v ne doit pas changer de place lorsque l'on fait tourner le plan coupant autour de sa trace horizontale t/t>. On peut aussi construire la tangente par Tune des méthodes indiquées aux n" 90 et 91.

120. Section parabolique du cône. Si le plan coupant pv' (fig. 3) était parallèle à l'une des génératrices s — 3 du cône, il est évident que cette génératrice ne serait pas coupée , et la courbe de section ne pourrait plus être fermée ; dans ce cas, elle prend le nom de parabole. Les différents points de la parabole pourront être obtenus comme ceux de l'ellipse. En effet, le plan coupant étant perpendiculaire au plan vertical AZ, la projection verticale de la courbe demandée se réduit à une ligne droite t/a', de sorte qu'il ne reste plus, pour obtenir la projection horizontale, qu'à construire des perpendiculaires par les points suivant lesquels la droite v'a! coupe les projections verticales des génératrices du cône. Ainsi , par exemple , la projection horizontale u sera déterminée par la rencontre de la perpendiculaire abaissée du point tt', avec la projection horizontale s— 1 de la génératrice correspondante.

Pour déterminer le point m on fera tourner la génératrice *— 2 jusqu'à ce qu'elle soit arrivée dans la position *— 2', parallèle au plan vertical de projection. Par suite de ce mouvement , le point m' sera venu %e placer en m", d'où Ton déduira sa nouvelle projection horizontale m'" que l'on ramènera ensuite en m.

12t. Tangente. Pour construire la tangente au point u de la projection horizontale de la courbe, on construira d'abord la droite 1 — v, tangente à la base du cône et passant par le pied de la génératrice 8—1. La droite 1 — v, trace horizontale du plan tangent, rencontrera la trace horizontale v'v du plan coupant en un point v et la droite tn«, intersection de ces deux plans sera la tangente demandée. La projection verticale d,e la tangente se confond ici avec la trace verticale v'p du plan coupant.

122. Pour obtenir la courbe dans sa grandeur véritable, on rabattra le plan coupant autour de sa trace horizontale. On évitera la confusion en faisant avancer le plan coupant jusqu'à l'endroit où Ton veut effectuer le rabattement. Dans ce mouvement , le point u' vient se placer en u", et la droite v"um est la tangente au point u"' de la courbe rabattue. Enfin , on peut obtenir une tangente sur le rabattement par la méthode exposée au n° 98.

123. Dès que Ton aura obtenu la tangente , on pourra déterminer 4e foyer et la directrice, en opérant comme nous l'avons dit au n° 101. Ce qui permettra de construire la courbe par la méthode indiquée au n° 96.

124. Section hyperbolique du cône. De ce que les génératrices d'un cône doivent toutes passer par le sommet, il ne faut pas les considérer comme terminées à ce point; ainsi , pendant que la génératrice s' — 1 (fig. 6 et 7) engendrera la surface du cône, le prolongements'— ;lr de cette droite engendrera la surface d'un second cône opposé au premier par le sommet. Cependant, ces deux surfaces étant engendrées par la même droite , on les considère comme composant la surface d'un seul cône dont elles forment ce que Ton appelle les deux nappes. Or, lorsque le plan coupant pv' sera incliné de telle manière qu'il coupe les deux nappes du cône, la courbe de section se composera de deux branches séparées zaz,yuy dont l'ensemble forme une hyperbole.

125. Les points de l'hyperbole pourront être obtenus comme ceux de l'ellipse et de la parabole, en abaissant des perpendiculaires par les points suivant lesquels la trace verticale pv' du plan coupant rencontre les projections verticales des gêné-

ratrices du cône. Ainsi, par exemple, les perpendiculaires abaissées des points o',u' détermineront les projections horizontales correspondantes sur la droite b — 1 parallèle au plan vertical de projection. En traçant de nouvelles génératrices que Ton n'a pas conservées ici, on obtiendra sur chacune d'elles un point de la courbe demandée.

126. Pour dtterminer ou vérifier la position du point m on rabattra la génératrice s — 2 en la faisant tourner autour de l'axe du cône , jusqu'à ce qu'elle soit parvenue dans la position j— 2', parallèle au plan vertical de projection. Par suite de ce mouvement , le point ro' rabattu en m", se projettera en m'", d'où on le ramènera en m sur la projection horizontale de la génératrice s — 2.

127. Pour obtenir la courbe dans sa véritable grandeur on a fait avancer le plan coupant jusqu'à ce qu'il soit arrivé dans la position pW", puis on a fait tourner ce plan autour de sa trace horizontale jusqu'à ce qu'il soit rabattu sur le plçn horizontal de projection.

128. asymptotes. Nous avons vu (106) que l'on peut considérer les asymptotes comme deux droites qui passent par le centre o,o',o" de la tourbe, et qui ne la touchent qu'à Vin fini. Pour les obtenir, on déterminera le point o', situé au milieu de la droite u'a!. On joindra ce point avec le sommet du cône par la droite oYb', suivant laquelle on fera passer deux plans tangents qui auront pour traces horizontales les droites bk. Les intersections de ces droites avec la trace horizontale v'v du plan coupant donneront deux points x,x qui étant joints avec le point o, détermineront les droites xg, projections horizontales des deux asymptotes de la courbe demandée. Lorsque l'on fait avancer le plan coupant jusqu'à ce qu'il soit parvenu dans la position pVV", les deux points x viennent se placer en x'1 et le point oo' en o", où il devient le centre de l'hyperbole rabattue (fig. 8).

129. Lorsque l'on connaît les asymptotes et un seul point quelconque de la courbe, il est facile de la construire par la méthode indiquée au n° 107.

130 Tangente. On construira la tangente à l'hyperbole en