Construire une tangente à l'ellipse par un point donné

en dehors de cette courbe. Soit o le point donné (fig. 6). De ce point, comme centre, et prenant pour rayon sa distance à Tua des foyers , on décrira un premier arc bVc ,• de l'autre foyer F, comme centre avec un rayon égal au grand axe de l'ellipse, on décrira un second arc de qui coupera le premier en deux points s,u. On joindra ces points avec le centre du second arc par deux droites dont les intersections avec la courbe seront les points de tangence. En effet , le rayon du second arc étant égal au grand axe de l'ellipse, on aura

m' + m'F = armais par la propriété de la courbe (83) , on a

FW+m'F=2a,* donc *ro'=ro'F'.

Ainsi, le triangle sm'F' est isocèle; mais le point o, centre du premier arc, est à égale distance des points s, F'. Donc la droite omf est perpendiculaire à sF, et partage l'angle sm'F' en deux parties égales* Donc enfin l'angle om'F = pm'F, et la droite op faisant des angles égaux avec les rayons vecteurs, est une tangente (91). 11 en est de même de la droite oq.

95. Parabole. La parabole est une courbe telle que pour chacun de ses points la distance à une droite nommée Directrice est égale à la distance à un point que Von appelle Foyer.

96. Construction de la parabole. Soit {fig. 7 ) la directrice co9 et le foyer F. Pour construire la parabole, on abaissera la perpendiculaire FD, et le point À, milieu de cette perpendiculaire , sera un point de la courbe. Pour en obtenir d'autres, on construira en un point p quelconque une perpendiculaire pm, et du point F, comme centre avec un rayon égal àpD, on décrira un arc de cercle qui coupera la perpendiculaire mp en deux points m, m', appartenant à la parabole. On recommencera jusqu'à ce que Ton ait un assez grand nombre de points pour construire la courbe. Une parabole peut être considérée comme une ellipse dont le grand axe est infini, et dans laquelle cependant la quantité ÀF serait déterminée. 11 est évident, d'après cela, que le centre est aussi à l'infini, ainsi que le second foyer. (Gêom. anal.)

97. Une parabole étant donnée v on peut se proposer de retrouver son axe principal. Pour cela, on construira deux cordes parallèles, et la droite qs passant par les milieux de ces cordes sera un diamètre ; construisant mm' perpendiculaire sur qs , on en prendra le milieu p, ce qui donnera un point de Taxe demandé, que l'on mènera parallèlement à qs. Cela vient de ce que dans la parabole tous les diamètres sont parallèles , puisque le centre est situé à l'infini (96) .

98. Tangentes et normales. Première méthode. Si le point de tangence est donné sur la courbe , on construira (fig. 8) l'ordonnée mp passant par ce point; puis portant Ap de À en q, ce dernier point appartiendra à la tangente. Cette construction résulte de ce que, dans toute parabole, la distance qp, que l'on nomme la sous-tangente, est toujours double de l'abscisse du point de tangence.

99. Deuxième méthode. On joindra le foyer F avec le point de tangence, par la droite Fm, et après avoir mené mF', parallèle au grand axe AX, on partagera l'angle FmF' en deux parties égales par la droite fts; il ne restera plus qu'à mener au point m une perpendiculaire sur ks. Dans cette construction, mF' remplace le rayon vecteur allant aboutir au second foyer, situé à l'infini, comme nous l'avons dit plus haut.