CHAPITRE IV

Owr6«?* & ffott&fe eowrftttve.

133* Définitions* Nous avons dit i.SO; que Ton donnait le nom de courbes planes aux lignes dont tous les poiins sont situés dans un plan Ainsi, la courbe qui est représentât en perspective sur ia fig* 1 de la pi, 7 est une courbe plana j main 01 l'on fuit prendre une courbure quelconque à la surface sur laquelle la ligne est tracée t celte courbe cessera d'être plana comme un le voit (/ï<7- 2)* Dana ce cas on dit qu'elle eit à double courbure, parce que, indépendamment de la courbure qui lui est propre, elle participe encore de la courbure de la surface m? laquelle elle est tracée.

134* Ou projette les courbes à doubla courbure en opérant comme pour toute autre ligne. Supposons, par exemple (/fy. 3), qu'une courbe ABGDE , ayant un grand nomhre die sinuosités, soit située comme ou voudra dans l'espace. Si de cbacttu de ses pointa ou abaisse une perpendiculaire sur le plan «Je projection P, la courbe ahcde qui contient les pieds de toutes ces perpendiculaires sera la projection dû la ligne ABC DE, La surlace qui contient toutes les perpendiculaires abaissées pLir les différents points de la courbe donnée se nomme surface projetante ou plutôt cylindre projetant de cette courbe. Ainsi , l'un voit que la projection ahcde de la courbe est la trace de son cylindre projetant.

135. Une seule projection ne suffit pas pour déterminer la forme et ]a position d'une courbe dans l'espace; car il est évident que la même projection abede conviendrait h toutes les courbes qui seraient situées dans la même surface projetante. Il résulte de là que pour déterminer la grandeur et la position d'une ligne courbe, il faut la projeter sur deux plans comme on le voit {(ig, 4) ; car alors chacun de ses poinls étant déterminé de position, la courbe elle-même sera déterminée. Lu projection verticale a'ë de la courbe est la ligne qui passe par les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées des différente points de celte courbe sur le plan vertical AY, et la projection horizontale otf de la même ligne est la courbe qui contient les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées sur ta plan bonzocital ÀX.

I3G. Ftous avons dît tout à l'heure qu'une courbe était complètement déterminée par ses deux projections. En effet, si aV [fig. 5) est la projection verticale d'une courbe quelconque AE, il est évident que cette combe doiL être située sur la surface du cylindre projetant horizontal M; tuais si m est la projection horizontale de la courbe, il faut que celle ligne soit située sur la surface du cylindre projetant vertical V; or, la courbe dont il s'agit devant être située en même temps sur les deux cylindres projetants dont les ligues m , aV sont les traces t elle sera l'intersection de ces deux surfaces et sera par conséquent déterminée, La courbe AE étant l'intersection des deux cy-

82 toîROfctocrioii. pl. 7.

lindres projetants H et V, il est évident qu'elle participe de la courbure de chacun d'eux; c'est encore pour cette raison que l'on donne à cette ligne le nom de courbe à double courbure» Ainsi , une courbe peut être à double courbure , parce qu'elle est tracée sur une surface courbe {fig. 2), ou parce qu'elle provient de l'intersection de deux surfaces courbes (fig. 5). Un corps ou solide C (fig. 6) sera à double courbure lorsque ses arêtes ne seront pas planes-, ainsi, une pierre ou un morceau de bois peut toujours être déduit de l'un des trois solides élémentaires représentés sur la fig. 6. Le premier À est un parailéiipipède rectangle dont on peut déduire toute espèce de pièce droite. Le second solide B sera la forme primitive de toutes les pièces dont les arêtes seront des courbes planes , et toutes les pièces dont les arêtes seront à double courbure devront être déduites d'un solide tel que celui qui est désigné par la lettre C.

137. Surfaces courbes. La forme d'une courbe à double courbure dépendant de la nature des surfaces sur lesquelles cette courbe est tracée , il sera utile de rappeler ici quelquesunes des considérations générales sur lesquelles on établit la théorie des surfaces courbes dans les traités de Géométrie descriptive. *

138. Toute surface peut être considérée comme engendrée par le mouvement d'une ligne assujettie à se mouvoir suivant des conditions données, renoncé de ces conditions formant la définition de la surface. Ainsi le plan est engendré par le mouvement d'une droite qui se meut parallèlement à elle-même , en s'appuyant toujours sur une autre droite immobile dans l'espace. La droite mobile se nomme la génératrice , et la droite sur laquelle elle s'appuie a reçu le nom de directrice. Si nous remplaçons cette dernière ligne par une courbe, nous obtenons une surface cylindrique ; et si , au lieu du parallélisme des génératrices, nous les faisons concourir en un même point, nous avons une surface conique.

139. La plus utile des surfaces courbes est celle à laquelle on donne le nom de cylindre. H ne faut pas attacher à ce mot le même sens que dans la géométrie élémentaire; en effet, dans retle partie des mathématiques, un cylindre est un corps

ou solide engendré par un rectangle, que Ton ferait tourner autour d'un de ses côtés, tandis que, dans la géométrie descriptive, on donne le nom de cylindre à la surface engendrée par une. droite qui se meut parallèlement à elle-même, quelles que soient, du reste, les conditions qui déterminent le mouvement de celte droite, que l'on nomme la génératrice du cylindre. On peut toujours supposer que la génératrice est assujettie à s'appuyer constamment sur une courbe que l'on nomme la directrice. Ainsi la nature du cylindre dépendra principalement delà forme de sa directrice, et Ton conçoit que si cette courbe était remplacée par une ligne droite, le cylindre deviendrait un plan.

140. Les surfaces cylindriques , coniques et sphériques, sont la base essentielle de presque toutes les combinaisons de l'industrie ; mais il est utile cependant de considérer les surfaces courbes sous un point de vue plus général. Quoique la courbure des surfaces puisse être variée d'une infinité de manières , on peut renfermer tous les cas particuliers dans une même définition , en disant que toute surface est engendrée par le mouvement d'une ligne , droite ou courbe , plane ou à double courbure, constante ou variable de forme, et qui se meut suivant des condi tions données* Après les surfaces cylindriques , coniques et sphériques , celles dont on fait le plus souvent usage sont les surfaces de révolution et les surfaces réglées.

141. Surfaces de révolution. On donne en général le nom de surface de révolution A et B (fig. 9) à celles qui proviennent du mouveirfent d'une ligne C ou D , assujettie à tourner autour d'une droite fixe , par rapport à laquelle elle conserve toujours la même position. Dans ce mouvement, chaque point de la génératrice décrit un cercle dont le centre est sur la droite immobile E ou F, que Ton nomme Y axe de la surface.

142. Un des caractères de toute surface de révolution, c'est que la section par un plan perpendiculaire à l'axe est toujours une circonférence du cercle. Le rayon de cette circonférence est égal à la distance de l'axe au point suivant lequel la génératrice est coupée par le plan dont il s'agit. 11 suit de là, que si l'on coupe une surface de révolution par un certain nombre de

84 ' INTRODUCTION. frL. ?.

.plans perpendiculaires à son axe, on obtiendra un système de eercles parallèles entre eurç , et que Ton appelle, par cette raisou , les parallèles de la surface. La portion de surface comprise entre deux parallèles quelconques se nomme une zone.

143. Toute section d'une surface de révolution par un plan .qui contient son axe , se nomme une station méridienne. Les

cas particuliers de surface de révolution sp distinguent ordinairement par la nature do leur section méridienne. Ainsi, V ellipsoïde de révolution A (ftg. 9) est la surface engendrée par le mouvement d'une demi-ellipse que l'on ferait tourner autour de l'un du es axes. La sphère est un ellipsoïde de révolution qui a pour section méridienne un cercle. La surface annulaire ou tore serait engendré» parlp mouvement d'un cercle tournant autour d'une droite si tuée dans son plan. La section méridienne se compose, dans ce cas, de deux cercles égaux au cercle générateur, et placés symétriquement par rapport à Taxe. Le plan perpendiculaire à Taxe et mené par le centre du cercle générateur, contient le plus grand parallèle de la surface, et le plus petit, qui est le cerple de gorge.

144. Si la génératrice d'une surface de révolution est une parabole, la surface sera up paraboloïde et prendra des formes différentes , suivant que la révolution aura lieu autour de l'axe de la parabole ou autour d'une droite perpendiculaire à cet axe. Enfin , on nomme hyperbot&tde de révolution la surface qui est engendrée par une hyperbole tournant autour 4e l'un de ses axes. §i la révolution se fait autour de l'axe non transverse , la surface est continue , c'est-à-dire qu'elle pourrait être parcourue par un point dans toute sçm étendue. Pour exprimer cette propriété, on donne à cette surface B (fig. Q) , le nom â'hyperboloïde de révolution à une nappe* 11 n'en serait pas de même si le mouvement s'était fait autour de l'axe transveree, il y aurait alors dans cette surface deux parties séparée* Tune de l'autre , ce qui lui ferait donner le nom d'typerboloïde de révolution à deux nappes. Les surfaces de révolution sont souvent employées pour dômes et ccmpoles dans, la formation des combles.

I4j5. Surfaces réglée* On donne, en génécnl, le nom de surjetés négÀées à celles qni&ont engendrées 'put une ligne droite

PL. 7' GÉOMÉTRIE QPSCHIVTIVE. Kfi

qui se meut suivit certaines conditions. Daqp le cas te plus général , ou peut supposer quq la génératrice est assujettie à s'appuyer sur trois courbes que. l'on nomme les directrices de la surface. Cette condition suffit pour déterminer chaque posi* tioD de la génératrice; car une droite qui, passant par un point de la première courbe, glisserait en p'qppuyaut sur la seconde, seyait déterminée de position , au moment où elle rencontrerait la troisième.

)46. D^ng quelques surfaces, la génération est déterminée par d'autre^ conditions. Ainsi , par exemple , dans les surface cylindriques , que l'on peut regarder comme cas particuliers des surfaces réglées., puisque la génératice est une ligne droite, on donne ordinairement uue directrice, et les deux autres sont remplacées par la condition que toute les positions de la génératrice soient parallèles entre elles. Dans les cônes, deux des directrices sont remplacées par cette condition, que toutes les génératrices conlienpent le sommet Enfin, dans les surface* normal^, la condition que la génératrice soit constamment per* pendjculaire h une surface donnée permet de n'employer qu'une directrice ; mais tous ces cas particuliers pourront facilement se ramener au cas général ; cas op pourra toujours, dans chaque cas» prendre pour directrices trois courbes quelconques situées (tops, la surface, de manière qu'elles soient coupées par toutes lffc génératrices,

147. L'une des. trois directrices peut encore être remplacée par cette condition , que deux positions consécutives de h $imi<» Tutrice se trouvent tw jours dans un même plan , et c'est en cela que consiste le caractère $e* surfaces développables. Les surfaces réglées qui sont privées de la propriété d'être développables se nomment surfaces gauches*

148. Enfin , on peut remplacer l'une des directrices par cette condition; que la génératrice, dans son mouvement, reste toujours* parallèle à ma plan donné que l'on nomme plan directeur* Ce dernier genre de surfaces réglées étant fréquemment employé dans les applications, on en forme une. classe particulière; ainsi on distingue deu* espèces principales de surfaces

86 ÎNTRODCCIION. PL. 7.

1 ° Les surfaces réglées qui ont trois directrices ;

2° Les surfaces réglées qui ont deux directrices et un plan directeur. En prenant un plan de projection perpendiculaire au plan directeur, la construction de ces sortes de surfaces devient extrêmement simple.

149. Surfaces réglées hélicoïdes. Parmi les cas particuliers de surfaces réglées, nous devons stfrtout remarquer celles auxquelles on a donné le nom de surfaces hélicoïdes , parce que les courbes directrices de ces surfaces sont des hélices. L'Aeliceabcd...., etc. (fig. 17), est une courbe qui coupe, suivant un angle constant , toutes les génératrices d'un cylindre. On peut dire encore que l'hélice est engendrée par un point qui s'éloigne à chaque instant d'un plan perpendiculaire au cylindre , d'une quantité proportionnelle à l'arc parcouru par sa projection sur ce plan. La distance am entre deux intersections successives de la courbe avec la même génératrice , se nomme le pas de l'hélice, et la portion de courbe abcm correspondante à une révolution entière se nomme une spire. Les hélices se distinguent par la nature de la section droite du cylindre sur lequel elles sont tracées. Lorsque cette section est un cercle, on dit que l'hélice est à base circulaire.

150. On peut tracer aussi sur un cône des courbes qui ont de l'analogie avec tes hélices et que l'on nomme pour cette raison hélices ewiiques. La courbe abcd de la fig. 13 est déterminée comme celle de la fig. 17, par cette condition qu'elle rencontre, suivant le même angle, toutes les génératrices du cône.

151. Quelques surfaces hélicoïdes ont pour directrices trois hélices ; mais, souvent aussi, on remplace une ou deux de ces courbes par d'autres conditions. Ainsi, par exemple, la surface hélicoïde représentée (fig. 14), a pour directrice l'hélice abcd, sa seconde directrice est la droite os que l'on peut considérer comme une hélice tracée sur un cylindre dont le rayon de la base serait égal à zéro Quant à la troisième directrice (145), * elle sera remplacée par cette condition , que la génératrice ferait toujours le même angle avec la droite os.

152. Souvent aussi, comme dans l'exemple qui est représenté (fig. 16), la génératrice devra, dans son mouvement,

PL. 7. CÉOMÉIRIE DESCRIPTIVE. 57

rester constamment parallèle au plan horizontal et s'appuyer sur deux, hélices de même pas et à bases concentriques. Ces sortes de surfaces se retrouvent dans la construction des pièces à doubles courbures qui forment les rampes et limons d'escaliers (fig. 15). Ces pièces, nommées courbes rampantes, peuvent être considérées comme engendrées par un rectangle A que l'on ferait mouvoir de manière que les sommets décriraient quatre hélices de même pas , situés sur les deux cylindres concentriques engendrées par les droites qui forment les deux côtés verticaux du rectangle générateur. Il résulte de là que la courbe rampante ou limon est comprise entre les deux surfaces cylindriques dont nous venons de parler, et les deux surfaces réglées hélicoïdes engendrées par les côtés horizontaux du rectangle À.

153. Étude des surfaces courbes. Le mode de génération* d'une surface étant adopté, la Géométrie descriptive fournit les moyens de résoudre les questions suivantes :

1° Représenter, sur V épure la surface dont la définition est donnée ;

2° Exprimer qu'un point ou une ligne fait partie de la surface donnée;

3° Développer (autant que possible) la surface donnée en tout ou en partie ;

4° Mener à la surface donnée des plans tangents , des normales et des surfaces normales ;

5* Trouver V intersection de la surface donnée par un plan;

6° Trouver la courbe d'intersection de la surface donnée avec toute autre surface;

7° Trouver l'intersection de la surface donttée, par une ligne quelconque , droite ou courbe.

154. Pour représenter sur l'épure une surface dont la défini* tion est donnée , il suffit de savoir construire la génératrice de celte surface dans une position quelconque.

155. Pour étudier une surface, on la suppose ordinairement iufinie. On peut toujours, dans l'application, négliger toutes les parties de cette surface, qui ne sont pas utiles pour résoudre la question proposée, '

88 WTR0DUC1ION. P|i. 7-

Quelquefois, la surface est infinie dans ses deux dimensions, comme le plan en général et les cylindres et cônes qui ont poqr directrices des courbes infinies ; d'autres lois elle n'est infinie que dans yn sens, coiqme le cyljndre et le cône, lorsque leur directrice est une courbe fermée} enfin elle peut être finie en tous sens , comme la surface de (a 6phère.

156. Pu construisant un certain nombre de génératrices, et Sur chacune d'elles les points suivant lesquels elle perce les plans de projectioq, on pbtient les traces de la surface. Lorsque la surface est limjtéq, pn dojt construire (a ligne qui (imite sa projection ; on obtient cette courbe en cherchant la suije des poiqts stjivant lesquels la surface donnée est touchée p&f une autre surface perpeqoMcjjJaire. au plan de, projection. iVinsi, dans les cylindres et cônes, les limites sont sitpées dans des plans tangents aux cqqrhssfijffcçirjppç,, et perpendiculaires aux plans de projectipp. La Hrçjtç dç (a projection de la sphère est Ja trace d'un cylindre; perpepçjjpplaire ap plpn de projection et enveloppant (a gpbère.

157. Sur les épures d'étude on place quelquefois les données d&NS unç PVitiqn façUuéa par r^RRP^ frRx Rlaûs dç projection, mais on n'agit ainsi que pour exercer davantage aux constructions graphique^ Daçs le,$ ^ppljçat^Qns, pn doi( ^piyQUF^, ayant tout, choisir le système de plans coordonnés ou de plans aqxi- Ijsires «ur tagtyqe|p Iga prqjeqlifln^ sQpt les plus simples, et pourvu que Ton ne change rien a££ 4°4lï}ées. pi à leur po§^JQn relatée , \f, génér^ç dp }ft question p'e.p e^t pas moins empiète. \\ ne fout p^s Qu^iej ^prto.u^ qi\e Iç choix, des plan$ de projections *st une des parties les plus essentielle de. fa s,ql^ior\ {les problèmes.

158. Pour exprimer qu'un point fajt partie d'une surface., on place cç pqintsur l'une des génératrices % oty sur |,oute autre ligne située dans cçite surface, , et c(pnt on, sait construire les projections : en agissait de ia (nême manière à l'égard, de tous les points d'une, courbe , on exprime que cette courbe est située dans la s\jrfac£«

1$. Tqnjjeytfif. Quftmjop çqqsicjère une ligne cpqrbe çoqame composée d'une infinité de côtés, cela ne veut p$s cjire que l'on

KL. ï . GÉ0MÉ9RIX DESCRIPTIVE. MB

soit autorisé à regarder chacun d'eux connue un point unique; on doit pltf tôt admettre que ce sont de petits côtés de polygones dont les extrémités se sont tellement rapprochées, que leurs longueurs se trouvent réduites à zéro ; de sqrte que la direction de chacun de ces côtés reste déterminée , et c'est le prolongement de cette direction qui produit la tangente.

160. Les mêmes raisonnements s'appliquent aux surfaces coqrbes. Bq considérant ces espèces de surfaces comme composées d'une infinité de petites facettes, il ne faut pas regarder chacune d'elles comme un point unique, mais comme la réunion de pi qsieqrs points rapprochés, de manière quHIs n'occupent pas plus de place qu'un seul , en conservant toutefois dette condition que tous ces points n'ont pas cessé d'étse dana un même plan. De sorte que si Ton conçoit une droite passant par deux quelconques de ces points infiniment Rapprochés, la direction de celte ligne n?en sera pas moins déterminée , et assujettie à se confondu* avec le prplangenaent de la facette infiniment petite qui contient ces deux points. Or cette facette ainsi prolongée n'est autre chose que le plan tangent ; d'O» il suit que si en un point d'une surface courbe en conçut un plan tanysnk, ce plan contiendra les tangentes à toutes les courbes qui , a}ans ka surface , passeraient par k point de kmgenee.

161. Lea. consid&ations qui précèdent étant admises» la construction des, plans tangents en un point d'une aurifiée courbe se réduit aux deux opérations suivantes :

1? Construite par le point donné deux tangente^ à la surface ;

2° Faire passer un plan par ces deux droites.

11 n'y a plus pour chaque cas particulier qu'à choisir,, parmi toutes les courbes qui passeraient par Iq point donné, celles auxquelles il est le plus facile de mener des tangentes.

16$. Pour obtenir une normale, il suffyt de construire par le point de tangence une perpendiculaire au plan tangent. Tout plan qui contient la normale se nomme pian normal; )a section de la surface par ce plan se nomme section normale. Si l'on (ait tourner le plan normal auteur de la normale, on obtient une suite de sections dent la courbuve.eqt différente pour chacune des position* cty plan ceuptqt. On démontre dans tes taùtéftde

64 toîKObuctiort. PL. §.

iical. La ligne l'"....l'" représente ce que la courbe donnée devient dans ce développement. Enfin, prenant les arcs 1'" — 2", 2"' — 3"', 3"' — 4"', etc., et portant leur longueur en ligne droite et à la suite les uns des autres (fig. 4), on obtiendra la courbe dans sa véritable longueur. C'est ce qu'on appelle rectifier une ligne courbe.

174. Si l'on voulait obtenir les projections des points qui , à partir du point 1, partageraient la courbe donnée en cinq parties égales, on partagerait la ligne droite r\..l,v; ce qui donnerait quatre points AIV, Blv, C,T, DIT, que l'on reporterait d'abord en A"',B"', etc., sur le développement 1'"— 1'" (fig. 3),

d'où Ton déduirait facilement les points A",B" qui, reportés

eux-mêmes en A,B,C, etc., sur la projection horizontale de la courbe, donneraient les projections verticales A',B',C, etc. On emploierait le même moyen pour partager une courbe quelconque en tout autre nombre de parties égales ou ayant entre elles des rapports donnés.

175. Tangentes aux courbe» à double courbure. Soient (aya!) (fig. 6) les deux projections d'une courbe, le point de tangence (m, m') étant donné. Concevons par le point m' une tangente à la projection verticale de la courbe , on pourra considérer cette tangente comme la trace d'un plan p' perpendiculaire au plan vertical de projection et tangent au cylindre projetant horizontal. Or ce plan doit contenir la tangente a la courbe ; de plus, celte tangente doit être située dans le plan p, tapgent à la surface pi oj étante perpendiculaire au plan horizontal. Donc la tangente cherchée devant faire partie des deux plans p et p', sera leur intersection , d'où l'on voit que , pour construire une tangente en un point donné d'une courbe quelconque, il suffit de construire par les projections du point donné deux tangentes aux projections de la courbe. Ces lignes seront les projections de la tangente à la courbe.

176. Plan normal. Tout plan p" passant par le point de tangence et perpendiculaire à la tangente, sera perpendiculaire à la courbe, et prendra pour celte raison le nom de plan normal d la courbe. La tangente étant perpendiculaire au plan normal sera perpendiculaire à toutes les droites qui passeraient

par son pied dans ce plan. Il semblerait donc permis de considérer chacune de ces lignes comme une normale à la courbe. Cela ne serait pas exact, parce que la normale en un point éFune courbe à double courbure doit être située dans le plan osculateur de cette courbe. D'où il résulte que la normale mn (fig. 5) sera l'intersection du plan normal par le plan osculateur. On sait que le plan osculateur est celui qui contiendrait le point m et deux autres points v,u infiniment près du premier.

177. Projections des hélices. Parmi les courbes qui nous seront les plus utiles , nous devons surtout distinguer les hélices dont nous avons déjà parlé aux n°* 149 et 150. Nous consacrerons quelques lignes à la construction de ces courbes.

178. Supposons (fig. 11) que la circonférence 1—2—3... soit la base ou projection horizontale d'uBe hélice dont le pas serait 0—8 ; on partagera cette droite et la circonférence en un même nombre de parties égales, en 8 par exemple; on tracera ensuite une horizontale par chacun des points de division de la verticale 0 — 8. Si l'on suppose actuellement que le point générateur, partant de 0, tourne dans le sens de Tare 1 — 2 — 3, etc., il est évident que lorsqu'il sera parvenu sur la verticale du point 1, il sera élevé, au-dessus du plan horizontal, d'une quantité égale à la huitième partie du pas, et sa projection verticale devra, par conséquent, se trouver sur la première horizontale au-dessus de la ligne ÀZ. Lorsque le point générateur sera parvenu sur la verticale du point 2, sa projection verticale sera élevée de 2 huitièmes du pas, et sera sur la deuxième horizontale, etc. De sorte que tous les points de la projection verticale de la courbe seront déterminés par les intersections des verticales élevées par ks 8 points de division de la circonférence 0—1 — 2 — 3 avec les horizontales passant par les 8 points de division de la verticale 0—8.

179. On peut développer la surface cylindrique, qui contient l'hélice, en opérant comme nous l'avons dit au n° 173. Ainsi la circonférence 0 — 1—2... étant partagée en parties égales on aura (fig. 10) 0—1=1—2=2—3, etc. De plus, les côtés 1 — l', 2'— 2", 3"— 3'" devant être égaux par suite de Ja définition de l'hélice , il s'ensuit que les triangles 0 — 1 — 1 ,

ft» WIftQftUCYiON. PI. 6

1—2' — 2" , etc. , seront égaux , et que leurs angles aérant égaux ; de Borte que, l'hélice coupant suivant un angle eonat&nt toutes les génératrices parallèles du cylindre, oc peut en conclure que dans le développement (fig. 10), cette courbe se transformera tmjmre en ligne droite.

180. On pent quelquefois se servir avec avantage de ce développement pour construire la projection de la courbe. Dans ce cas , on fera la droite 8—8" égale à la hauteur du pas de l'hélice., puis après avoir traoé l'oblique O—S" on partagera cette ligne et la circonférence de la base du cylindre en autant de parties égales que l'on voudra obtenir de points sur la courbe, puis tous œs points seront déterminés par les intersections des verticales élevées par les points de division de la circonférence 0—1 — &*... avec les horizontales passant par les points de l'oblique 0—8" {fig- lu). Lorsqu'on prend ainsi une oblique pour échelle de hauteur, il n'est pas nécessaire que la droite 0—8 (fig. 13) soit égal au développement de la circonférence 0—1—2... {fig. il). Il suffit que la verticale 8— 8' ou 8r— 8" soit égale à la hauteur du pas de l'hélice que Ton veut projeter. De sorte que les % parties égales de l'oblique 0 — 8' {fig. 13) détermineront les hauteurs des 8 points correspondants de la première spire.

181. Lorsqu'une hélice se compose d'un trè&-grand nombre de spires, on peut construire avec beaucoup de soin (fig. 15) la projection de l'une de ces courbes sur une carte que l'eiî découpera, et qui, étant rapportée à toutes les hauteurs, servira pour guider le crayon. Enfin, lorsque Ton veut tracer un arc d'hélice sur un cylindre , il suffit de déterminer (fig. 14) deux points m et « de la courbe demandée ;- après quoi il sera facile delà tracer avec une règle ftexiWeà laquelle on fera prendre Va courbure de la surface. Quoique deux points suffisent, dans ce cas .y pour déterminer la courbe , on fera bien cependant de tracer but le cylindre un ou deux pointB intermédiaires pour servir comme vérification.

1 82. U peut arriver que Ton ait à tracer sur un même cylindre (fig. 7) plusieurs hélices de même pas, mais situées à des hauteurs différentes. Dans ce cas, il ne sera pas nécessaire d'é-

tablir sur la projeetion du cylindre de nouvelles horizontales, ce qui ferait confusion. Il sera préférable de porter avec le compas sur la Yertieaîe projetante de chaque point, la diflërence de hauteur entre la première hélice et celle que Ton veut obtenir. Si l'on veut construire plusieurs hélices de même pas et à la même hauteur sur des cylindres concentriques (fig. 8), tous les points seront déterminés en élevant des perpendiculaires par Tes pointe correspondants des cercles qui représentent les projections horizontales des hélices demandées.

f 8& Tangentes à l'héMee. On sait que , dans le voisinage du point de tangente, une courbe se confond toujours avec sa tangente. De ph» , Phélice devant se développer en Kgne droite, elle devra, dans Te développement du cylindre, continuer à se confondre avec sa tangente. D'où il résulte que la tangente coïncidant avec îa courbe développée dort être Pbypoténuse d'an triangle rectangle , dont la hauteur est à la base comme le pas de l'hélice est au développement de la circonférence du cercle qui en ferme la projection , ou , ce qui est la même chose , comme un certain nombre de parties égales du pas est à un pareil nombre départies égales de la circonférence de la base.

Supposons donc que Pou vemHe construire une tangente au pointu,»' de l'hélice î — 2 — 3 — 4(/îy. 9), on construira cPabord la tangente *— m. Cette droite sera la trace horizontale en plan tangent au cylindre qui contient Phélice , de sorte que si Pou fait w— m égale à ^ de la circonférence , et que m! — o' soit égal & ^ du pas de l'hélice, ^hypoténuse m'—u1 sera la projection verticale de la tangente au point uuf. H résulte de co qui précède qu'il n'est pas nécessaire que la courbe soit tracée pour que Pon puisse construire sa tangente.

Le plan p mené par le point uuf et perpendiculaire à la tangente wUytnMy sera normal à l'hélice donnée.

184. projection du cylindre oblique. Dans les articles précédents nous avons considéré les cylindres comme surfaces projetantes, mais il arrive souvent qu'un cylindre est oblique par rapport aux plans de projection. Or une surface cylindrique est déterminée lorsque Pon connaît les projections de sa directrice et celles (Tune génératrice eu d'Une droite quelconque qui

lui serait parallèle. Car il sera toujours facile de construire une génératrice par tel autre point que Ton voudra de la directrice. Si après avoir construit un nombre suffisant de génératrices , on détermine les points suivant lesquels ces droites percent l'un des plans de projection, la ligne passant par ces points sera la trace du cylindre. Ainsi, la courbe 1 — 2 — 3 — 4 est la trace horizontale du cylindre qui est projeté (fig. 18 et 19). La trace verticale s'obtendrait en prolongeant les génératrices jusqu'à ce qu'elles rencontrent le plan vertical de projection.

185. Directrice. On peut supposer pour plus de généralité que la directrice d'un cylindre est une courbe quelconque ; mais, dans les applications, on prend presque toujours pour directrice une courbe parallèle à l'un des plans de projection. Ces sortes de courbes sont égales et parallèles aux traces , et se construisent de la même manière. Ainsi , par exemple , pour obtenir la courbe N (fig. 19), il suffira de projeter tous les points suivant lesquels le plan horizontal nri coupe les génératrices du cylindre.

186. Dans les questions composées il est souvent nécessaire de construire un grand nombre de génératrices, et dans ce cas, pour plus d'ordre dans le travail, on les distingue par des numéros. 11 ne faut pas, cependant, construire de suite et sans nécessité un trop grand nombre de génératrices. 11 n'est pas nécessaire, par exemple, que ces lignes soient aussi rapprochées les unes des autres dans les parties où la surface a peu de courbure 5 mais on fera bien de tracer, au moins au crayon, celles qui correspondent aux points les plus essentiels de la surface. On devra s'attacher surtout à déterminer avec exactitude les génératrices qui forment les limites des projections de la surface. Ainsi (fig. 16), les génératrices des points 3 et 7, suivant lesquels le cylindre serait touché par deux plans verticaux, forment les limites de la projection horizontale, et les génératrices des points 1 et 5 suivant lesquelles la surface serait touchée par deux plans perpendiculaires au plan vertical de projection, formeront les limites de la projection verticale du cylindre.

187. Si l'on prend la trace horizontale 1 — 2 — 3—4 pour directrice du cylindre projeté (fig. 19 et 18), il sera surtout es-

sentiel de déterminer avec beaucoup de soin tes points 1, 2, 3,4, parce que les génératrices qui contiennent ces points forment les limites des parties vues et cachées sur les deux projections. Ainsi, par exemple, sur la projection horizontale, la partie de surface cylindrique qui a pour directrice Tare 1 — 2—3 sera vue, tandis que celle qui a pour directrice Tare 3 — 4 — 1 doit être cachée. Sur la projection verticale, la partie vue est celle qui a pour directrice la courbe 2 — 1—4, et par conséquent la partie qui a pour directrice l'arc 4 — 3—2 est cachée.

188. Plusieurs simplifications remarquables peuvent résulter de la position du cylindre par rapport aux plans de projection. Ainsi (fig. 16) lorsque l'un de ces plans sera parallèle au cylindre , il en résultera cet avantage , que les génératrices seront projetées sur ce plan suivant leurs véritables grandeurs. Si l'un des plans de projection était perpendiculaire au cylindre (fig. 9), chaque génératrice se projetterait sur ce plan par un seul point,* et la projection du cylindre se réduirait à sa trace, qui serait en même temps la directrice.

189. section droite, développement dn cylindre. Parmi les sections d'un cylindre par un plan , il faut distinguer surtout celle que l'on obtient en coupant le cylindre perpendiculairement aux génératrices. Cette' courbe, que nous nommerons la section droite du cylindre, est utile dans un grand nombre d'applications. Supposons, par exemple, que Ton veuille développer une surface cylindrique (fig. 16). H faudra opérer comme nous l'avons fait au n° 77 pour obtenir le développement d'un prisme. Ainsi, on projettera le cylindre proposé sur un plan parallèle à ses génératrices, afin d'avoir toutes ces lignes projetées dans leur véritable longueur ; menant ensuite par un point quelconque a un plan perpendiculaire à ces génératrices, la ligne ac sera la projection verticale de la section droite.

Lorsque cette courbe sera rabattue en M , on portera tous les petits arcs dont elle se compose, à la suite les uns des autres, sur la ligne droite c'a'dy on élèvera , par chacun des points de division de cette ligne, une perpendiculaire égale à la génératrice correspondante de la surface cylindrique que l'on se pro-

70 UiTftOMICTIOlf. PL, g.

posera de développer; puis, faisant passer deux courbes 1'— a— ï> i"— «"— 1" par les extrémités de ces perpendiculaires, on aura construit le développement de la surface du cylindre. La droite c'dc est la êectim drtiU ratifiée (173). Pour obtenir sur le développement la position d'un point déterminé W, on construira la génératrice correspondante sur les deux projections , d'où il sera facile de déterminer sa position sur le développement du cylindre.

190. Si le cylindre que l'on veut développer n'était pas parallèle à l'un des plans de projections, on commencerait par le projeter (fa 20) sur un plan auxiliaire à'Zr parallèle à sa direction, et cette nouvelle projection remplaçant la projection verticale primitive, on agirait exactement pour le reste comme nous l'avons dit dans l'exemple précédent. Si un point était donné par sa projection verticale *' et qu'on voulût déterminer

l a position de ce point sur le développement du cylindre, on commencerait par construire la projection horizontale u de ce point , d'où on déduirait la projection *" sur le plan auxiliaire ; puis après s'être assuré que les deux projections u' et «" sont à la même hauteur, on ramènerait ce point sur la génératrice correspondante du développement (fig. 21) par une parallèle i la droite c'a'c'. On opérerait de la même manière pour obtenir dans le développement tous les points d'une courbe située sur la surface du cylindre et qui serait donnée par l'une quelconque de ses deux projections.

191. Les constructions que nous venons d'indiquer consistent à regarder le cylindre comme un prisme dont la surface se 00mposeraU d'un très-grand nombre de faces , hypothèse qui n'est pas tout à fait exacte , mais qui suffit pour la plus grande partie des applications. D'ailleurs, lorsque la courbure d'un arc sera irès~8en8ible,on pourra prendre sur cet arc des points plus rapprochés, et, par cette précaution , on parviendra toujours à développer la section droite, de manière à rendre les erreurs tout à fait insignifiantes.

192. Si la section droite était un cercle (fig. 10 et 11), on pourrait opérer comme nous l'avons dit au n° 78, et si l'on avait à développer un grand nombre de] cylindres circulaires, on

PL. S GÉOMÉTRIE MSCRIPTIVK. 71

pourrait conserver dans son portefeuille ou sur une planche à dessio (fig. 32) un triangle co6, dans lequel les deux côtés ac> ab seraient entre eux comme 1 : 3,14 ou , ce qui est la même chose, comme 100 : 314. Alors, pour développer un cylindre qui aurait pour base la circonférence N (fig. 33), on fera, sur la fig. 32, ac' égal à a"c"; puis on tracera c'V parallèle à c&, ce qui donnera aA' pour la longueur de la circonférence N. Si ensuite on fait as égal à la hauteur du cylindre donné, le rectangle sttk'k sera le développement, sur lequel on pourra ensuite tracer les génératrices à des distances égales ou inégales , suivant la nature de la question.

193. cylindre cirtmlair*. S'il s'agissait de construire les projections d'un cylindre circulaire terminé par deux bases perpendiculaires à sa direction, les propriétés du cercle donne-* raient lieu à des simplifications qu'il serait utile de ne pas négliger. Supposons, par exemple, que l'on veuille projeter {fig. 39 et 40) un cylindre circulaire incliné par rapport au plan horizontal de projection; que les droites acya'd soient les deux projections de l'axe de ce cylindre, et que le rayon de sa base soit connu. Le moyen le plus simple sera de projeter le cylindre sur un plan vertical AZ parallèle à Taxe et par conséquent à la direction du cylindre demandé. Le rayon a'x' étant donné par la question, les deux droites ro'd/,jsV, perpendiculaires sur oV seront les projections des deux bases, et le rectangle m'x'z'o' sera la projection du cylindre sur le plan vertical AZ.

Quant à la projection horizontale , elle sera limitée par les deux droites Kk9hK parallèles à la ligne AZ, et dont l'écartément hhl sera déterminé par le diamètre du cylindre. Enfin, les deux bases trix', z'o' auront pour projections les deux ellipses hh!,kkr, dont les grands axes sont égaux au diamètre du cylindre , et qui ont pour petits axes les deux droites tnx,zo, projections horizontales des diamètres m'x\z'o\ La courbe mn, trace horizontale du cylindre , est une ellipse que Ton pourra construire par ses axes.

194. On pourrait prendre pour directrice du cylindre la base mx ou la trace ron, mais il vaudra mieux employer pour cet usage le cercle mv , représentant la base m'x' que Ton aurait

fait tourner autour de l'horizontale mm! jusqu'à ce qu'elle soit rabattue dans sa véritable grandeur sur le plan horizontal de projection. En général, lorsqu'un cercle fait partie des lignes nécessaires à la solution d'un problème, on préfère le rabattre, afin d'éviter la construction de l'ellipse qui résulterait de sa projection. Enfin, si par le point v on mène la droite vvf perpendiculaire à AZ, on déterminera sur le cylindre une section oblique mV qui aurait pour projection horizontale la circonférence mv. Cette courbe très-simple, puisque ses projections seront une ligne droite et un cercle , pourra encore servir de directrice à la surface proposée.

Ainsi on pourra, selon les circonstances, prendre pour directrice du cylindre circulaire la base mx, la trace mn, la circonférence mt>, qui est la base rabattue sur le plan horizontal de projection , ou enfin la section oblique mV, qui a pour projection horizontale la circonférence mv. C'est principalement lorsque le cylindre sera parallèle à l'un des plans de projection que l'usage de cette dernière directrice sera très-commode. Au lieu de la section mt>, mV, on pourrait prendre pour directrice la section par l'un des deux plans p" ou pm dont les directions seront déterminées par les deux verticales tangentes aux points r et s d'un cercle quelconque inscrit à la projection horizontale du cylindre.

195. La comparaison des lignes diverses que l'on peut prendre pour directrices d'un cylindre circulaire donne lieu à des simplifications remarquables, suivant les différents problèmes à la solution desquels elles doivent concourir. Ainsi, pour exprimer qu'un point uur appartient à la surface du cylindre, on construira les projections de la génératrice qui passe par ce point, le pied 1, 1' de cette génératrice sera situé sur la courbe que l'on aura choisie pour directrice.

196. Aux abréviations provenant de la nature des courbes qui peuvent être tracées sur une surface , il faut ajouter celles plus importantes encore qui résultent du choix des plans de projection. En effet , ces plans ne sont autre chose que des conceptions géométriques adoptées par convention, pour faciliter la solution des problèmes. Ils doivent donc rester entièrement à

la disposition de celui qui opère , et pourvu qu'on ne change rien aux données ni à leur position relative, la généralité de la question n'en sera pas moins complète. J'insiste particulièrement sur cette remarque, parce que c'est surtout dans le choix des moyens d'opération que consiste toute l'habileté du praticien. Il faut donc s'appliquer à reconnaître , dans chaque question générale, quelle doit être la disposition d'épuré la plus commode , et dans chaque cas particulier, quelles sont les relations qui» résultant de la nature des données, peuvent contribuer à simplifier le travail ou augmenter l'exactitude du résultat.