CHAPITRE VI
197. intersections des cylindres. Trouver la courbe provenant de l'intersection de deux cylindres (166). Soient (fig. 24 et 27) les deux cylindres dont on demande l'intersection. Par un point quelconque (971, m'), on construira deux droites parallèles aux génératrices des cylindres donnés ; ces deux droites détermineront un plan mvo parallèle aux deux cylindres. Or, tout autre pian p parallèle au plan mvo coupera le cylindre AA' suivant deux de ses génératrices désignées sur l'épure par (a, a). Le même plan coupera le cylindre BBr suivant deux génératrices (6. 6). Ces quatres lignes étant dans un même plan , donneront parleurs intersections quatre points (w, u, u, u) appartenant à la courbe cherchée. On obtiendra les projections verticales w', u', vl, u1 de ces points, en projetant les génératrices qui les contiennent. Un second plan parallèle au plan mvo, et par conséquent parallèle aux deux cylindres, déterminera quatre nou-
veaux points. Un troisième plan en donnera quatre autres, et ainsi de suite. Enfin on continuera ces opérations jusqu'à ce que Ton ait obtenu un nombre de points suffisant pour que 1 on puisse tracer la courbe avec beaucoup d'exactitude.
198. On fera bien de commencer par la recherche de quelques points essentiels, de ceux surtout qui, parleur position, pourraient donner une première idée de la forme de la courbe. On chercherait ensuite des points intermédiaires dans les parties où la courbure deviendrait plus sensible. On % devra surtout ne pas négliger les points suivant lesquels la courbe cherchée doit toucher les génératrices principales. Ainsi, pour avoir les points qui appartiennent aux limites des projections verticales et horizontales des deux cylindres, on emploiera les plans coupants dont les traces passeraient par les pieds des génératrices qui forment ces limites.
199. Il n'est pas nécessaire de construire de plan coupant hors de l'espace compris entre Us plans dont les traces toucheraient celles des cylindres donnés, parce que tout plan hors de cet espace couperait l'un des cylindres sans toucher ni couper l'autre, et par conséquent ne contiendrait pas de points communs. Lorsque la courbe sera entièfement obtenue, on regardera comnfe vu, tout point provenant de l'intersection de deux génératrices vues. Tous les autres points sont cachés ; on tracera en ligne pleine toute la partie de la courbe qui contient les points vus et le reste en ligne ponctuée.
200. Tangentes aux eourbe* d'intersection. Pour construire la tangente en un point quelconque de la courbe , on peut; comme nous l'avons dit au n° 175, construire par les projections de ce point , des tangentes aux deux projections de la courbe ; mais cela ne peut se faire que lorsque ces projections sont connues ; or la construction de la tangente a souvent pour but de donner plus de précision à la forme de la courbe , et de faire disparaître l'incertitude qui existe sur sa direction dans le voisinage du point de tangence. 11 faut donc que l'on puisse construire la tangente avant que les projections de la courbe ne soient tracées. Dans ce cas, on remarquera que la tangente devant toucher les deux cylindres donnés , il
pl. S. GÉonÉTttt MacuittivK. TS
faut qu'elle «rit située en même temps daim lea plant tangents à ces deax surfaces, d'où il résulte qu'elle doit être l'intersection de œs plat» \ ainsi , pour obtenir une tangente en an point de la courbe cherchée , en construira par ce point nn plan tangent k chacun des deux cylindres , et l'intersection de ces deux plans sera la tangente demandée.
201. La construction des tangentes a beaucoup d'importance dans la recherche des courbes ; en eflét , si nn point est déterminé par l'intersection de deux lignes «6, cd {fy. 17) , cela ne donnera aucune idée de la direction de la courbe , en deçà ou an delà de point dont il s'agit , tandis que la tangente fait sentir la direction de la courbe dans le voisinage du point de tangence, et Ton conçoit parfaitement comment , par la construction d'un certain nombre de tangentes (^j. 38), on pourra déterminer, avec une exactitude presque absolue, les. changements et variations de courbure de la ligne cherchée.
202. Développements. Si on veut tracer la courbe d'intersection dans les surfaces des deux cylindres , H faudra projeter chacun d'eux sur un plan parallèle à ses génératrices ; on obtiendra par ce moyen les deux projections auxiliaires À" et B" (fig. 28 et 30) ; puis on construira les sections droites A" et B"\ et les développements Aw Bw, en opérant comme nous l'avons dit au n° 190. Il sera très-essentiel de s'assurer que tous les points correspondants des deux cylindres et de la courbe d'intersection sont à la même hauteur sur les trois projections verticales A'B', A" et B". Pour tracer les courbes de pénétration snr les cylindres donnés, on enveloppera sur ces corps les figures Aw et Bw.
203. Quelquefois l'un des cylindres pénètre dans l'autre et s'y trouve entièrement engagé ; alors l'intersection se compose de deux courbes séparées, l'une d'entrée et l'autre de sortie, comme on le voit {fig. 25) ; dans ce cas, on dit qu'il y a pénétration. Hais si l'un des deux cylindres n'était pas tout à fait engagé dans l'autre , l'intersection se nommerait arrachement (fig. 22). Dans la question que nous venons de résoudre, il y avait arrachement.
