CHAPITRE PREMIER

I*e M*oin$, ta Ligne droite et le M*ian.

1. Projections. Dans la géométrie plane on exprime exactement par des figures les relations de grandeur et de forme qui existent entre les quantités qu'il s'agit de comparer. Ainsi, on peut faire un angle droit ou tracer une circonférence lorsque la solution du problème exige la construction d'une perpendiculaire ou d'un cercle.

Il n'en est plus de même dans la géométrie de l'espace. En effet, lorsque le plan qui contient une figure est placé obliquement par rapport au rayon visuel , toutes les parties de celte figure sont déformées; les angles paraissent plus petits, ou plus grauds, suivant leurs positions. Les lignes droites sont plus ou moins raccourcies, par suite de leur éloignement ou de leur direction dans l'espace.

La loi de toutes ces déformations doit être étudiée dans les traités de perspective. Mais dans un grand nombre de questions pratiques, il est nécessaire de conserver les rapports de forme et de position des objets que Ton dessine , et c'est pour atteindre ce but que Ton a imaginé la méthode des projections.

2. Projections du point. L'espace n'ayant pas de limites, on ne peut déterminer la position d'un point qu'en le rapportant à des limites de convention. Concevons donc (fig. l9pl. 1 ) un plan quelconque X, que, pour mieux fixer le6 idées, pous supposerons horizontal. Si par le point M nous abaissons la droite Mm perpendiculaire sur le plan X , le pied m de cette perpendiculaire sera la projection horizontale du point M , et si l'on conçoit la droite Mm' perpendiculaire sur le plan Y, que nous supposerons vertical , le point m' sera la projection verticale de M.

3. Les deux plans X et Y se nomment -plans de projections, la droite Mm est la verticale projetante du point M , et la droite Mm' est l'horizontale projetante du même point. La droite AZ est l'intersection des plans de projections.

4. La position d'un point ne peut pas être déterminée par une seule de ses projections. En effet , si l'on ne donnait que la projection horizontale m , cela indiquerait que le point dont il s'agit appartient à la verticale mM. Mais on ne saurait pas s'il est situé au-dessus ou au-dessous du plan X, s'il est près ou loin de ce plan , tandis que si l'on connaît les deux projections m et m', la position du point sera déterminée , puisqu'il devra se trouver à l'intersection des deux lignes mM et m'M menées par les points m et m' perpendiculairement aux plans de projections.

5. Épure. Si nous concevons que l'on fasse tourner le plan horizontal X jusqu'à ce qu'il vienne s'appliquer sur le plan vertical Y', le point m se placera au-dessous de la ligne ÀZ , et dans le prolongement de la ligne m'o. La figure 3, que l'on obtiendra dans ce cas , sera ce que Ton appelle une épure.

Ainsi , une épure est une surface plane sur laquelle on trace toutes les lignes nécessaires à la solution des problèmes qui dépendent de la géométrie descriptive. La partie de l'épure qui

est au-dessus de la ligne AZ, représente le plan vertical de projection, et tout ce qui est au-dessous de la ligne AZ, représente le plan horizontal , qui est censé avoir tourné jusqu'à ce qu'il soit venu s'appliquer sur Y', prolongement du plan Y. Les épures se font ordinairement sur une feuille de papier bien tendue ; quelquefois, cependant, on fait les épuras sur des murs, sur des planches ou sur la terre. Mais dans tous les cas, les projections tracées sur une épure doivent être dessinées avec le plus grand soin.

6. Le plan qui contient les deux droites Mm, Mm', fig. 1, est perpendiculaire aux deux plans de projections et par conséquent à leur intersection AZ, de sorte que sur l'épure, fig. 3, la droite <m doit former le prolongement de m'o; d'où il résulte que les deux projections d'un même point doivent toujours se trouver sur une même droite perpendiculaire à la ligne AZ. De plus, la distance mo de la projection horizontale du point m à la ligne AZ exprime la distance du point M au plan vertical de.projection Y, et la perpendiculaire m'o exprime la hauteur du même point au-dessus du plan horizontal X.

7. Quadrant principal. Les plans de projection étant infinis, partagent l'espace en quatre parties qui sont également infinies; mais la plupart des objets que nous aurons à considérer dans les applications, étant limités dans tous les sens, il sera presque toujours possible de les supposer entièrement contenus dans l'un des quatre angles dièdres ou quadrants, formés par les plans de projection. Cependant il arrivera quelquefois que des lignes d'opérations employées pour la solution du problème, iront se rencontrer derrière le plan vertical ou dessous le pl$n horizontal de projection. Il est donc nécessaire que nous sachions déterminer la position d'un point situé dans l'un quelconque des angles dièdres formés par les plans X et Y.

Nous appellerons quadrant principal toute la partie de l'espace comprise dans l'angle dièdre Y— AZ — X, fig. 1 ; on doit toujours supposer, fig. 3, que la partie AZX du plan horizontal est venue se placer au-dessous de la ligne AZ. Par la même raison, le prolongement AZX' du plan horizontal doit venir se placer derrière la partie supérieure du plan vertical. D'où il résulte

i INTRODUCriON. *L. ï.

que dans une épure, fig. 3, lout l'espace qui est au-dessus de la ligne AZ, représente en même temps le plan vertical de projection et le prolongement du plan horizontal, tandis que la partie de Tépure qui est au-dessous de la ligne AZ représente le plan horizontal el le prolongement du plan vertical.

8. D'après cela, concevons, fig. 2, un point N qui serait situé au-dessus du plan X et derrière le plan Y, il est évident que sa projection verticale sera ri. Mais, par le rabattement du plan X, la projection horizontale n viendra se placer au-dessus de la ligne AZ, et les deux projections w,n' seront alors dans la partie supérieure de Tépure, fig. 3.

9. Si le point U donné fig. 4, est situé au-dessous du plan X et devant le plan Y, sa projection horizontale u doit venir se placer au-dessous de la ligne AZ, et les deux projections u>u' sont alors dans la partie inférieure de l'épure, fig. 3. Si le point S donné. fig. 5, est situé au-dessous du plan X, et derrière le plan Y, la projection horizontale s vient se placer au-dessus de la ligne AZ ; tandis que sa projection verticale s' est au-dessous de cette ligne, fig. 3. Enfin, il est évident que la ligne AZ contient les projections verticales de tous les points qui appartiennent au plau X, et les projections horizontales de tous ceux qui sont situés dans le plan Y.

10. Projections de la ligne droite. Si par une droite M, fig. 6, on conçoit un plan P perpendiculaire au plan horizontal de projection X, la droite m, suivant laquelle le plau P rencontre le plan X, sera laprojection horizontale de la droite M. Le plan P se nomme plan projetant vertical. La projection verticale de la droite M sera m', et provient de l'intersection du plan vertical Y par le plan P' qui lui est perpendiculaire et qui contient la droite M. Le plan P' est le plan projetant perpendiculaire au plan vertical de projection.

11. Lorsque Ton donne les deux projections m et m! d'une droite, la position de cette ligne est déterminée ; car, puisqu'elle duit appartenir en même temps aux deux plans projetants P et P', elle ne peut être que leur intersection M. Sur l'épure fig. 8, les droites m et m' sont les deux projections d'une ligne inclinée par rapport aux deux plans X et Y,

PL. 1. GÉOMÉTItlE DESCRIPTIVE. O

12. Toutes les droites devant être considérées comme infinies, il s'ensuit qu'une ligne, inclinée par rapport aux deux plans de projection, aura quelques-uns de ces points au-dessous du plan horizontal et derrière le plan vertical. Mais, les conventions qui précèdent, suffisant pour faire reconnaître la position de chaque point de la ligne donnée, nous n'avons plus qu'à rechercher comment on peut exprimer la direction des lignes.

13. Si la droite donnée N, fig. 7, est perpendiculaire au plan horizontal de projection, les deux jplans P et Y seront perpendiculaires sur le plan X, et la projection verticale vl de la droite donnée, sera perpendiculaire sur la ligne AZ (Géom.). Il est évident que les verticales projetoutes abaissées des différents points de la droite N, se confondent toutes avec cette ligne, dont la projection horizontale su réduira au point n, fig. 8. Par la même raison, lorsqu'une droite est perpendiculaire au plan vertical de projection, sa projection verticale doit être un point, tandis que sa projection horizontale est une perpendiculaire à la ligne AZ.

14. Lorsque la droite U, donné fig. 9, est parallèle au plan horizontal de projection; le plan projetant P' est lui-même horizontal, et la projection verticale u', fig. 8, est parallèle à la ligne AZ {Géom.). Si la droite donné était parallèle au plan vertical de projection, sa projection horizontale serait parallèle à la ligne AZ. Enfin, si la droite S, donnée fig. 10, était parallèle aux deux plans de projection, ses deux plans projetants PetP' seraient eux-mêmes parallèles aux plans de projection et les deux projections s et s'y fig. 8, seraient alors parallèles à la ligne AZ.

15. Traces des plans. On sait que la position d'un plan est déterminée:

1° Lorsqu'on connaît trois points situés dans ce plan, pourvu que ces points ne soient pas en ligne droite.

2° Lorsqu'on connaît deux droites parallèles situées dans le plan dont il s'agit.

3° Lorsqu'on connaît deux droites quelconques de ce plan.

On pourra donc déterminer la position d'un plan dans l'espace, en projetant trois quelconques de ses points, ou deux droites parallèles, ou enfin deux droites quelconques situées dans ce plan. On détermine ordinairement la position d'un plan, en projetant

deux droites de ce plan. Et pour plus de simplicité, on choisit de préférence tes deux droites, suivant lesquelles ce plan coupe les deux plans de projection. Ces droites se nomment les traces du plan.

Ainsi les deux droites ox et en/, fig. 11, sont les traces du plan donné P. Les mêmes droites sont désignées parles mêmes lettres sur la fig. 13, qui représente l'épure.

Si le plan donné P', fig. 12 et 13 était perpendiculaire au plan horizontal de projection, sa trace verticale o'y1 serait perpendiculaire à la ligne AZ. Tandis que si le plan donné était perpendiculaire au plan vertical de projection, sa trace horizontale serait perpendiculaire à la ligne AZ.

Quand le plan donné P'', fig. 14 et 13, sera parallèle au plan horizontal de projection, sa trace verticale o"yn sera parallèle à la ligne AZ, et la trace horizontale n'existera pas, puisque le plan donné ne peut rencontrer nulle part le plan horizontal de projection. Enfin, si le plan donné P'", fig. 15 et 13. était parallèle à la ligne AZ, ses deux traces o'"y'u o'rV", seraient parallèles à cette droite.

1 6 Théorème. Une droite inclinée dans F espace est en général plus longue que sa projection. En effet, fig. 1, pi. 2, sî nous représentons le plan de projection par X, il est facile de voir que la droite MN sera plus longue que sa projection mn\ mais si par le point N, on mène la droite NO, parallèle au plan de projection, et par conséquent égale à la projection de la ligne donnée, on pourra reconnaître qu'en général une ligne droite MN, située comme on voudra dans l'espace, est l'hypoténuse ctun triangle rectangle MON, dans lequel un des côtés NO de l'angle droit est égal â la projection de ta droite, et Vautre côté MO est la différence entre les distaûces Mm, Nn des extrémités de cette droite, au plan sur lequel elle a été projetée. On remarquera cependant que si la droite donnée MN, fig. 2, était parallèle au plan de projection X, elle serait alors égale à sa projection sur ce plan, puisque dans ce cas les deux droites MN, mn, seraient les côtés opposés d'un rectangle.

Ce que nous venons de dire pour une droite s'applique à une figure plane quelconque. Ainsi le polygone incliné, fig. 3, est

plus grand que sa projection ; car, si Ton trace une droite quelconque AC dans le plati du polygone, cette ligne sera plus longue que sa projection. Les seules droites qui dans le polygone seraient égales à leur projection sont les sections que Ton: obtiendrait en coupant le polygone par un plan parallèle au plan de projection X.

17. Théorème. Lorsque deux droites sont parallèles, leurs projections sont parallèles. En effet , fig. 4 , le plan projetant d'une ligne droite doit contenir cette ligne et toutes les perpendiculaires abaissées de ses différents points sur le plan de projection. On peut donc dire qu'une de ces perpendiculaires, ateo la ligne donnée, suffit pour déterminer la position du plan projetant. Donc, si deux lignes AB, CD, sont parallèle* dans l'espace, leurs plans projetants P et P' seront parallèles et les (rates ab, cd, de ces plans, ou autrement les projections des lignée données éeront parallèles.

16. ïhéôïétrte. Lorsqu'une ligne droite est perpendiculaire â un plan, les projectiotoé de cette ligne sont perpendiculaire* iût les traces du plan. Soit, fig. 5, la ligne droite AB perpendiculaire sur le plan P ; représentons le plan de projection par X, el par P' le plan projetant de la droite AB, on aura ac pour la projection de cette droite, et co sera la tracé du plan P. Or le plan P', Comme plan projetant, est nécessairement perpendiculaire sut* le plan de projection X; de plus, il est perpendiculaire sur le plttn P, puisqu'il contient la droite AB, qui, d'après la question, est perpendiculaire à ce plan. 11 résulte de là, que le plan P' étant perpendiculaire en mêrtié temps sur le plan P et sur le plan de projection X, sera perpendiculaire à leur intersection co, qui n'est autre chose que là tfrafcè du plan P ; cette ligne co séf a dohô perpendiculaire au plan P', et par conséquent à todte ligtte telle que at qui passerait par sort pied dans Ce plan: ce qu'il fallait démontrer.

19. Rédiproquetiieiït (fig. 10), H Uk projections (àb, a'b') d'une droite sont perpendiculaire^ dux traces d'un plan p, cette droite sera perpendiculaire au plati p; car les deux plans projetants p' et p" étant perpendiculaires sur les traces du plkn p, seront tous dèa* petyetidieuIkiHca à ce plan (GéoM.), et par»

conséquent la ligne ab, a'b\ qui est leur intersection, sera aussi perpendiculaire au plan p. Donc, pour exprimer qu'une droite est perpendiculaire à un plan ou réciproquement, il faut faire en sorte que les deux projections de la droite soient perpendiculaires sur les traces du plan.

20. Remarque essentielle. Afin de ne pas trop multiplier le nombre des planches on a souvent employé la même figure pour la solution de plusieurs problèmes. Cela est sans aucun inconvénient, parce que le lecteur ne doit pas étudier sur les figures du livre; il doit commencer par construire les données snr une planche à dessin et chercher lui-même les points, les lignes ou les plans qui satisfont aux conditions du problème. Chaque épure doit être faite beaucoup plus grande que la figure correspondante du livre.

21. Notation. Pour rendre les épures plus faciles à comprendre, on est convenu de tracer en ligne pleine les portions de lignes droites situées au-dessus du plan horizontal, et en deçà du plan vertical , et de tracer en points les portions de ces lignes qui passent derrière ou dessous les plans de projection. On trace aussi en lignes pleines et en noir les données et les résultats de la question ; et l'on emploie des points plus ou moins allongés ou de l'encre de couleur pour les lignes nécessaires à la construction de l'épure, en ayant soin surtout de ponctuer toujours de la même manière les deux projections d'une même droite, et de changer la ponctuation de cette ligne lorsqu'elle traverse les plans de projection.

Pour énoncer un point ou une droite, on écrira ses deux projections; ainsi [a, a!) exprime Je point dont les deux projections sont a et a'. Par la même raison (6,6') serait la droite qui aurait b et V pour projections. Il est quelquefois utile de désigner la projection d'une droite par deux lettres ; (cdyc'd') serait la droite qui a pour ses projections les lignes cd et dd\

22. Problème. Construire les projections d'une droite passant par un point donné. Le plan projetant d'une droite contenant toutes les perpendiculaires abaissées des différents points de cette ligne sur le plan de projection, il est évident que la projection de la droite doit contenir la projection de chacun de ses

points. Par conséquent, pour exprimer qu'une droite située dans l'espace contient un certain point, il suffit de faire passer les projections de la droite par celles du point On conçoit que cette question est indéterminée, c'est-à-dire que l'on peut construire une infinité de droites qui passent par un point donné*

23. Réciproquement^ si l'on voulait exprimer qu'un point est sur une droite, il faudrait placer les projections du point sur celles de la droite, et sur une même perpendiculaire à la ligne AZ. Si l'on voulait faire passer une droite par deux points, il est évident, d'après ce qui vient d'être dit, qu'il faudrait faire passer les projections de la droite par les projections des deux points.

24. Problème. Exprimer que deux droites se coupent dans l'espace. 11 suffit pour cela de les faire passer par un même point ; dans ce cas , le point de rencontre des projections verticales et l'intersection des projections horizontales doivent être situés sur une même perpendiculaire à la ligne AZ. Dans le cas contraire les droites ne se coupent pas.

Ainsi, les deux droites (6,6') {c,c'),fig. 15, ne se rencontrent pas, tandis que les droites (c9cf) ) (d9<f) se coupent au point (n,n').

25. Problème. Trouver les traces d9une droite. On donne le nom de traces aux points suivant lesquels la ligne donnée perce les plans de projection. Soit donc la droite (a,a'), fig. 6. 11 est évident que le point (v,v') appartient à la droite, puisque ses projections appartiennent à celles de la droite (22); de plus il appartient au plan vertical de projection, puisque sa projection horizontale v est sur la ligne AZ (9). Donc, il est l'intersection de la ligne donnée avec le plan vertical. De même, le point (u,w') étant en même temps dans le plan horizontal et sur la ligne donnée, représente l'intersection de cette ligne avec le plan horizontal.

11 résulte de ce que nous venons de dire, que pour obtenir les traces d'une droite, il faut prolonger ses projections; puis au point où la projection horizontale rencontrera la ligne AZ , on élèvera sur cette dernière ligne une perpendiculaire qui , par son intersection avec la projection verticale de la droite proposée , donnera la trace verticale de cette droite. De même, par le point où la projection verticale rencontrera la ligne AZ -4 qn mènera

10 ÎHTROdUCTION. PL. 2.

une perpendiculaire dont l'intersection avec ta pfojectton horizontale de la ligne donnée sera la trace horizontale de cette ligne.

26. Problème. Exprimer qu'un point est situé dans un plan. Supposons, fig. 6, que Ton connaît la projection horizontale m d'un point situé dans le plan p, on veut déterminer la prttjerHÎon verticale ni. On concevra, par le point m, une droite parallèle à la tr&ce horizontale du plan p, et par conséquent au plan horizontal de projection. Cette dfdite, dont là projection horizontale est me, rencontrera le plan vertical de projection en Un point o' situé sur la trace verticale du plan donné p, -La projection Verticale de la droite me, Sera donc c'm' parallèle à la Ugne ÀZ, et la rencontre de t!m' avec là perpendiculaire élevée du point m, donnera m' pour là projection verticale de ce point.

Pour vérifier r*of)éràtiort, on construira la droite mW parallèle à la trace verticale du plan p. Cette droite rencontrera le plan horizontal de projection en un point o, par lequel on tracera la droite ont parallèle à la ligne kî. Et»! l'ôri a bien opéré, ta droite mo doit contenir le (îoiilt rà. En général, pour exprimer qu'un point est situé dans utt plan, il fdiit etph'riier que de point appartient à une ligne quelconque du plan , et c'est pour plus de simplicité que flous avons employé de préférence une droite {mCitn'tf) parallèle à l'un des plaiiô de projection.

27. problème. Étant données les tirâtes d'un plan et l'une des projections d'une droite de Ce plan, trouver Vautré projection de cette même droite. Soient donrfés (fig. 6) le plan p et la projèdtidn verticale a1 d'une droite située dans ce plan. La droite donnée étant prolongée, s'il est nécessaire* coupera la trace verticale du plan donné en un point e', qui fera partie du plan vertical de projection, et aura, par conséquent, sa projection horizontale i) sur la ligne ÀZ. Ensuite, le point, dont la projection verticale se trouve en u' sur la ligne AZ, est, par cette riuson, nécessairement ai tué dans le plan horizontal de projection ; et comme, de plus, it fait partie du plan dotiné, puisqu'il est situé sur une droite de ce plan, il sera sur l'intersection du plan horizontal avec le plan donné, c'est-à-dire sur ht trace horizontale de ce plan. Donc,

Étdflt données, là projection Verticale à1 d'une Hgtie droite,

PL. à. GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. il

et les traces du plan qui la contient, on mènera par les points V et u' deux perpendiculaires à la ligne AZ ; puis joignant le point v , où la ligne perpendiculaire menée par le point v' rencontre la ligne AZ, avec le point u, suivant lequel la seconde perpendiculaire rencontre la trace horizontale du plan, on aura la projection horizontale vu de la droite. On ferait une construction analogue, si Ton donnait la projection horizontale de la ligne, et que Ton voulût déterminer sa projection verticale. Enfin, on pourrait vérifier l'opération en construisant (26), par un point de la droite, des parallèles aux traces du plan p.

11 résulte de ce qui précède, et il est très-essentiel de remarquer que, pour exprimer qu'une droite fait partie d'un plan, il faut faire en sorte que les traces v' et u de la droite soient situées dans le plan, ou plus généralement il faut faire les constructions nécessaires pour que deux points quelconques de ta droite soient situés dans le plan.

28. Problème. Étant donnés un plan et un point de ce plan, construire tes projections d'une droite qui passe par ce point et qui soit située dans le plan. On mènera par Tune des projections du point donné ro,m' [fig. 6), et arbitrairement, Tune des ppojeciions de la droite demandée; puis Ton déterminera la seconde projection par le moyen que nous venons d'indiquer (27). Le problème admet une infinité de solutions.

29. Problème (Fig. 7). Étant données les projections d'un point (m, m'), construire les traces d'un plan qui contienne ce point. On construira d'abord une trace verticale ps à volonté , puis, par le point donné m\ on fera la droite m'o' parallèle à ps; la projection horizontale de cette droite sera mo, parallèle à la ligne AZ ; la perpendiculaire o'o déterminera le point o , et la droite so sera la trace horizontale du plan demandé. Tout plan dont la trace horizontale passera par le point o, et dont la trace verticale sera parallèle à mV, contiendra le plan donné.

En construisant la trace verticale dans une autre direction , on obtiendra encore un nombre infini de plans. Enfin , on pourrait commencer par construire la trace horizontale.

Si Ton veut que le plan demandé soit parallèle à un pkn doonnépl?, on commencera par faire la droite mV parallèle à

Ib trace verticale du plan piv. Enfin (fig. 11) , si l'on veut que le plan demandé p soit perpendiculaire à une droite donnée (a, a), on fera m'o' perpendiculaire sur la projection verticale a' de lp droite donnée, puis so perpendiculaire sur a, enfin sp parallèle à m'o'.

30. Problème. Fig.7 Etant données les deux projection* (vu, v'u) d'une droite, faire passer un plan par cette droite. On fera passer les traces du plan par les traces v1 et u de la droite.

Ce dernier problème admet une infinité de solutions, parmi lesquelles on doit surtout remarquer les deux plans p" et p'". Le premier de ces plans est perpendiculaire au plan horizontal , et le second est perpendiculaire au plan vertical de projection. En général, pour mençr par uns droite un plan perpendiculaire d Vun des plans de projection, il suffit de prendre pour trace, sur ce plan , la projection même de la droite 9 et pour /autre trace , une perpendiculaire à la ligne AZ, Il ept évident (10) que le plan construit de cette manière, serp l'un des plans projetants de la ligne donnée ; ainsi, les deux plans/)" etp"' sont les plans projetants de la ligne teu,t?'ur).

La construction précédente peut encore servir pour construire des plans qui satisfont à clés conditions données. Ainsi, pour résoudre le problème du numéro 29 on pourra (fig. 7) :

1° Tracer par le point donné (M, m! ) une droite quelconque

2° Faire passer les traces du plan demandé par les traces t/et u de la droitQ ( vu, t?V ).

Si Ton veut construire {fig. 12) un plan p parallèle à une droite donnée ( ab, a'b'), il suftyra de faire passer le plan demandé par une seconde droite (sk9s'k') parallèle à la première (Géom.). La question est indéteripinéer Si Ton veut que le plan cherché soit perpendiculaire à un autre plan donné , on commencera par construire une droite perpendiculaire au plan donné , et tous les plans qui contiendront cette droite seront perpendiculaires au plan donné (Çéom.). ,

3 1 . Problème. Fig. 8. Faire passer un plan par deux droites qui se coupent. On fera passer les traces du plan par les traces des deux lignes données.

32. Faire passer un plan par trois points donnés. On joindra ces points deux à deux par des droites, et la construction se fera comme dans le cas précédent.

33. Faire passer un plan par deux lignes parallèles. On cherchera encore les traces des deux lignes données , et les droites passant par ces iraces seront les traces du plan cherché.

#ttf*r«*eftoM« «fe« j»f<

34. Problème. {Fig. 7). Deux plans p et p' étant donnés par leurs traces, construire leur intersection. L'intersection de deux plans étant une ligne droite, il suffit de trouver deux points de cette ligne pour qu'elle soit déterminée ; or, le point v\ intersection des traces verticales , est un point commun aux deux plans donnés , donc il appartient à leur intersection ; mais, ce point faisant partie des traces verticales, est nécessairement situé dans le plan vertical de projection ; par conséquent sa projection horizontale v sera sur la ligne AZ. Par la même raison , le point u, intersection des traces horizontales, fait partie du plan horizontal de projection : c'est pourquoi sa projection verticale u' sera sur la ligne ÀZ. Il ne reste plus maintenant qu'à tracer (23) les projections de la droite qui contient les deux points (v,v') et(u, vl).

On conclura de ce que nous venons de dire , qu'en général : Pour obtenir V intersection de deux plans dont on a les traces, il faut 9 par le point d? intersection des traces verticales , abaisser une perpendiculaire à la ligne AZ5 et joignant le pied de cette perpendiculaire avec le point de rencontre des traces horizontales, on aura la projection horizontale de la ligne demandée; puis y du point où les traces horizontales se rencontrent, on abaissera une perpendiculaire sur la ligne AZ ; et joignant le pied de cette perpendiculaire avec le point de rencontre des traces verticales, on aura la projection verticale de cette même ligne.

35. problème. Trouver Vintersection dfune ligne droite avec un plan, fig. 8. Soient ad, la droite dont on demande ïïltersection avec le planp; on fera passer parla droite un plan

quelconque p\ que pour plus de simplicité on prendra perpendiculaire à l'un des plans de projection. Ce plan contenant la droite donnée, contiendra le point cherché; de plus, ce point, d'après la question, doit faire partie du plan donné p; donc il sera sur l'intersection du plan p avec le planp'; on construira, cette intersection t?V (34), et le point cherché devant être en même temps sur les deux droites {aa!) et (t>ti,t>W), sera au point (m,m') suivant lequel ces deux lignes se coupent. On s'assurera de l'exactitude des cûflslruotioaa, en faisant usage du plan p" perpendiculaire au plan vertical de projection, ou bien en construisait par le point {m,m) des parallèles aux traces du plan p (26).

36, Problème. Fig, 15. Par un point donné mm1 construire une droite (md,m'd') qui rencontre deux autres droites données (ce', bb'), On construira le plan qui contient le point mm' et la droite 66'; puis on déterminera l'intersection nn' de ce plan avec ce'. La droite (mn,m'ri) sera la ligne demandée.

Le plan auxiliaire sera déterminé par la droite 66' et par une seconde droite (î»u,mW) qui joindrait un point quelconque uu' de la droite 66' avec le point donné mm!. On s'assurera que la ligne [md.m'd1) rencontre la droite 66r (24),

Il n'est presque jamais facile de construire sur l'épure les traces du plan auxiliaire qui contient le point m et la droite 66'. Dans ce cas, on pourra opérer de la manière suivante On prendra sur la ligne 66' deux points quelconques {uu') (vv'). On joindra ces points avec mm1 par les deux droites (mw,roV) (jwv,mV) qui détermineront le plan auxiliaire. Les deux droites o'û, s's7 perpendiculaires à la ligne AZ, feront connaître les points o et s, Enfin, la droite os qui joint ces deux points seraTintersection du plsn projetante' avec le plan des deux droites (row,mV) (mr,roV). Cette dernière opération déterminera le point nn\ suivant lequel la droite (md,m'd') s'appuie sur la ligne ce' (35). Le plan auxiliaire qui contient le point mm' et la droite 66', serait déterminé complètement par cette ligne et par Tune des droites (mu,m'u') (mt?,mV). Il semblerait donc que l'une de ces lignes est inutile ; mais alors, pour construire os, il faudrait prolonger la droite 6' jusqu'à sa rencontre avec le plan projetant </,

Pi. 2. GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 15

ce qui serait souvent impossible, et dans tous les cas, moins commode que Ja construction précédente, puisque Ton peut toujours choisir les dçux points (w,u;) et {v&') de la manière qui convient le mieux à la disposition de l'épure.

Oiêiancem.

37. Problème. Trouver fa distance de deux points dont on connaît les projections (pan,m' n'). Fïg. 9. On pourra construire le triangle rectangle wW", dans lequel un coté de l'angle droit est la différence m'o des hauteurs des extrémités de la droite dont les projections sont données, de sorte que, pour achever le triangle, il n'y aura plus qu'à prendre avec le compas la grandeur de la projection horizontale mn\ puis après l'avoir portée de o en n"', l'hypoténuse m'n'" sera la longueur demandée (16).

38. On peut encore expliquer, d'une autre manière, la construction précédente. Supposons que la droite donnée tourne autour de la verticale projetante du point mm', en conservant toujours la même inclinaison par rapport à cette lignç. Le point n,n décrira un arc de cercle horizontal. Cet arc étant parallèle au plan horizontal, aura pour sa projection sur ce plan l'arç nri\ et sa projection verticale virî" sera parallèle à la ligne AZ. Or si nous arrêtons le mouvement de la droite (mra.mW) au moment où sa projection horizontale aura pris la position mn", la projection verticale correspondante wiV" sera la longueur cherchée, car la droite étant alors parallèle au plan vertical de projection, tt est facile de concevoir qu'elle sera projetée sur ce plan suivant sa grandeur (16).

On aurait pu faire tourner la droite donnée autour de l'horizontale projetante du point m,m', jusqu'à ce qu'elle soit parallèle au plan horizontal. Enfin, on peut aussi concevoir que le trapèze MNmn, fig. 1, tourne autour du côté horizontal mn, jusqu'à ce qu'il soit rabattu dans la position mnm™ n", fig. 4, alors mlvnIT sera la ligne elle-même couchée sur le plan horizontal.

Ces opérations, auxquelles on donne le nom de rabattements, sont fréquemment employées; on en fait usage pour avoir la

1tf INTRODUCTION. PL. %.

grandeur d'une figure plane. On conçoit,. en effet, que pour cela il faut construire cette figure dans ses véritables dimensions ; ce qui peut se faire, soit en cherchant les grandeurs de toutes les parties qui la composent, soit en la faisant tourner tout entière, jusqu'à ce qu'elle soit parallèle à l'un des plans de projection ; car il est évident que si on la projette de nouveau dans cette position, elle sera égale à sa projection. Nous reviendrons plus tard sur ce sujet.

39. Problème. Déterminer la distance d'un point à un plan. Étant donnés, par exemple (fig. 5), le plan Pet le point A.

lre opération. On tracera par le point A une droite AB perpendiculaire au plan P.

2e opération. On déterminera le point B suivant lequel la perpendiculaire AB perce le plau P.

3e opération. On cherchera la longueur de la portion AB de perpendiculaire comprise entre le point donné et le plan.

La question étant ainsi décomposée, on commencera l'épure en exécutant successivement chacune des trois opérations précédentes , dans l'ordre suivant lequel nous venons de les indiquer. Ainsi, fig. 10, étant donnés le plan p et le point a,a\

lre méthode. 1° On tracera par les points a et a' les deux droites ab,a'b' respectivement perpendiculaires sur les traces du plan p. Ces deux lignes seront les projections de la droite perpendiculaire sur le plan p. 2° On déterminera (35) le point 6,6' suivant lequel la droite ab,a'b' perce le planp; de sorte que ab,a'b' seront les deux projections de la portion de perpendiculaire comprise entre le point (a^a1) et le plan p. 3° On fera tourner la droite ab^a'b1 autour de la verticale projetante du point aa' (38) ; ce qui donnera a'b" pour la distance du point aa! au plan p.

40. 2e méthode. On construira d'abord le plan vertical p' perpendiculaire sur la trace horizontale du plan p, et par conséquent perpendiculaire à ce plan (Géom.). Le plan p' contiendra la perpendiculaire abaissée du plan ad sur le plan p. On fera tourner le plan p' autour de sa trace verticale, jusqu'à ce qu'il soit rabattu sur le plan vertical de projection. Dans ce mouvement, le point aa' viendra se placer en a"\ et U point s en $'", après avoir décrit deux arcs horizontaux dont les centres ont le point o pour

PL. 2. GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. il

projection horizontale commune. On tracera la ligne t>V", intersection du plan donné p par le plan auxiliaire p'; et la droite a'"6'", perpendiculaire sur vV", sera la dislance du point ad au plan p. En effet, les deux plans p et// étant perpendiculaires entre eux, la droite a'"6'", située dans le planp' et perpendiculaire à l'intersection t?V" est aussi perpendiculaire au plan p, et mesure par conséquent la distance de ce plan au point donné aa\ s

Si on voulait avoir la projection verticale de la perpendiculaire, on ramènerait cette ligne dans le planp, ce qui donnerait db' perpendiculaire sur la trace verticale du plan p. 11 est évident qu'au lieu d'un plan vertical p', on aurait pu employer le plan p" perpendiculaire à la trace verticale du plan donné. Dans ce cas on rabattrait ce plan sur le plan horizontal.

41. Problème. Déterminer la distance de deux plans parallèle?. On choisira un point dans l'un des deux plans donnés, puis on cherchera la distance de ce point au second plan (39).

On peut encore opérer de la manière suivante. On construira une droite perpendiculaire aux deux plans donnés (19). On déterminera les points suivant lesquels cette droite perce les deux plans (35) et Ton cherchera ensuite la distance de ces deux points.

42. problème. (Fig. 11.) Mesurer la distance (Tun point [va, m') à une droite donnée (a,a') : 1° On mènera par le point mjm! un plan p perpendiculaire sur la droite a,a* (19) ; 2° on déterminera (35) l'intersection de la droite aa! avec le plan p, ce qui donnera en nn' le pied de la perpendiculaire abaissée du point mm' sur la droite aaf; 3° joignant ce point avec le point donné , on aura cette perpendiculaire (*îM,m'»')j 4° il n'y aura plus qu'à en chercher la grandeur n'm1" (38).

43. Problème. Mesurer la distance de deux droites parallèles* On choisira un point quelconque sur la première droite (23). Puis on cherchera la distance de ce point à la droite donnée (42).

2e Méthode. On peut encore opérer de la manière suivante : 1* On construira un plan perpendiculaire sur les droites données (19).

2* On déterminera les points suivant lesquels ce plan coupe

les deux droites (35), puis ou cherchera la distance de ces deux points*

44. Problème, Mesurer la distante de deux droites quelconques. Pour pk» de elarté, on fera bien, avant de Taire l'épure, de représenter par un croquis en perspective toutes les opérations indiquées cL-dessotip. Exprimons les droites données dans l'espace par Afi çt CD : V on prendra sur €0 un point quelconque H ; 2° on mènera par le point H une ligne KS parallèle à la droite AB ; 9* par les deux lignes CD et Kg on construira un -plan P (31). Ce plan sera parallèle à la droite AB? 4» on prendra ensuite sur la droite AB un point quelconque M ; 5° on abaissera de ce point ose ligne MN perpendiculaire au plan P (19) ; 6' on déterminera en N le pied de cette perpendiculaire (35)$ 7° on fera mouvoir la droite MN parallèlement à elle-même jusqu'à ce que le point N soit arrivé en O sur CD, puis en tracera la droite 01 parallèle à NM. La droite 01 sera perpendiculaire sur leedeux droites données. En effet, Oï étant parallèle à MN, sera, «oomroe cette dernière ligne , perpendiculaire au plan P, et par conséquent à la droite CD qui passe par son pied dans ee plan % par la même cijiso* , eUe «sera perpendiculaire à la droite NO et par conséquent à AB qui est parallèle à NO. 8° Quand on aura obtenu la ligne 01 perpendiculaire <eur les 4eu¥ droites données , il oe restera [dus qu'à eu «chercher la grandeur (37).

L'épure (fig. 12) représente les construction que nous venons d'indiquer. Pour obtenir le résultat, il suffit d'exécuter ces constructions dans l'ordre suivant lequel on vient de les énoncer, en faisant pour cela usage des principes établis précédemment.

Rabattements.

45. Qéfleitta». Nous avotps dit (au n° 38) que, pour avoir la grwdemr vérMabie de la portion de ligne droite qui joint deux points, ii fallait faire tourner cette ligne jusqu'à ce qu'elle soit parallèle à l'un des plans de projection. Cette opération , que

PL. S. GÉOMÉTME DESCRIPTIVE. 10

Ton nomme rabattement, a servi dans la solution de plusieurs questions précédentes.

La droite immobile autour de laquelle on fait ainsi tourner le plan que l'on rabat se nomme axe ou charnière de rabattement. Elle doit toujours être parallèle à Fun des plans de projection ; car si on faisait tourner une figure plane autour d'une droite qui ne satisferait pas à la condition que nous venons d'énoncer, la figure que l'on ferait tourner, ne pouvant jamaiê être parallèle au plan de projection , ne se projetterait jamais sur ce plan dans sa véritable grandeur.

Lorsque l'on fait un rabattement , chaque point décrit dans l'espace un cercle qui a son centre sur Taie de rotation , et qui a pour rayon la distance de cet axe au point que l'on rabat. Les notions précédentes étant admises , nous allons compléter cette théorie par quelques exemples.

46. Supposons que l'on veuille rabattre le point m,m\ fig. 13, sur le plan horizontal qui contient la droite ab,àb' et que l'on ait choisi cette droite pour l'axe du rabattement. Le point mm* ne quittera pas le plan vertical qui a pour trace horizontale la droite mm™ perpendiculaire sur ab; et pour connaître la place que le point mm1 doit venir occuper sur le plan horizontal qui contient la droite ab, a'b\ il suffit de chercher la véritable grandeur de la droite mo, m'o', qui n'est autre chose que le rayon de l'are de cercle parcouru par te point mwtf, dans son mouvement.

Pour obtenir la grandeur de la droite (mo, tnV) , il faudra opérer comme nous l'avons dit au n° 38 ; c'est-à-dire que . Ton fera tourner cette ligne autour de l'horizontale projetante du point oo'. Le point mm1 décrit alors un arc de cercle m'm" parallèle au plan vertical de projection , et qui , par celte raison, doit avoir sa projection horizontale mm'" parallèle à la ligne AZ. Par suite de cette opération , on aura mu'o pour la véritable grandeur.de la 'droite (mo,fftV) , et par conséquent pour la distanoe du point mm1 à la droite ab,a'b' ; de sorte qu'en ramenant m'"o dans la position rolvo, le point miv sera la place occupée par le point mm' rabattu en tournant autour de ab, bitr le plan horizontal qui contient cette droite.

11 est très-essentiel de remarquer que, dans l'opération précédente, il y a deux rabattements. L'un , qui se fait autour de aby a pour but de rabattre le point mm' sur le plan horizontal a'b\ Le second , qui a lieu autour de l'horizontale projetante du point o, sert à déterminer la distance du point mm' à la droite aby que Ton a prise pour axe du rabattement.

L'opération serait bien plus simple, si la droite que l'on prend pour axe du rabattement était perpendiculaire à l'un des plans de projection, comme on peut le voir par la solution du n° 38. Nous conclurons de ce qui précède :

1° Que les conditions essentielles pour qu'une droite puisse servir d'axe de rabattement , c'est qu'elle soit parallèle à l'un des plans de projection.

2° Que les constructions seront encore plus simples lorsque Taxe du rabattement sera perpendiculaire au plan de projection.

Or, dans un plan incliné quelconque, on pourra toujours obtenir un nombre infini de droites parallèles à tel plan de projection que l'on voudra; maison ne pourra obtenir de perpendiculaires au plan de projection que dans les plans qui satisferaient eux-mêmes à cette condition.

47. Problème. Déterminer la distance d'un point à une droite. Cette question, que nous avons déjà vue au n° 42, peut être résolue par un rabattement. Voici l'ordre qu'il faudra suivre :

lre opération. Fig. 14. Par le point donné (a,a') , concevons le plan horizontal p. L'intersection de ce plan par la droite donnée 66' sera un point nn' que l'on projettera en n sur le plan horizontal.

2e opération. La ligne droite an,a'n' sera une horizontale située dans le plan qui contient le point et la droite donnée.

3e opération. Nous ferons tourner la droite bn,b'ri autour de l'horizontale an,a!n\ jusqu'à ce qu'elle soit ramenée dans le plan horizontal p. Dans ce mouvement , le point nn' ne changera pas de place , puisqu'il appartient à la droite an,a'n!, que nous prenons pour axe de rabattement. Mais si nous prenons 5 sur la droite donnée , un point quelconque mm'9 il est évident que ce point, en tournant autour de an, ne quittera pas le plan vertical qui aurait pour trace la droite mmxy perpendiculaire sur an. De

PL. 3 GÉOMÉTHIE DESCRIPTIVE. 21

sorle qu'en cherchant, comme nous l'avons fait au n° 203, la distance om'" du point mm' à la droite an,a'n\ nous obtiendrons m" pour la place occupée par le point mm' rabattu sur le plan p. Jl ne restera donc plus qu'à tracer la droite nmiy et la perpendiculaire au'\ qui sera la distance demandée.

Si l'on veut avoir les deux projections de la perpendiculaire <ro", on supposera que la droite nro,Y revient à la place qu elle occupait primitivement dans l'espace, et l'on obtiendra (M,ti/) pour les deux projections du point suivant lequel la droite donnée est rencontrée par la perpendiculaire abaissée du point mm'.

Angïe* de* ligne:

48. Problème. Étant données (flg. 1, pi. 3) les projections de deux droites (a,a' ) ( b,b' ), on demande de construire V angle que ces deux droites font entre elles. On cherchera d'abord les points (cc',ddr) suivant lesquelles les droites données vont percer un plan horizontal quelconque p ,• puis, prenant la droite cd pour axe, on fera tourner le plan des deux droites données autour de cette ligne, jusqu'à ce qu'il soit rabattu sur le plan p. Dans ce mouvement, le sommet de l'angle que les droites font entre elles décrira un cercle dont le centre sera placé en oo' sur l'axe du rabattement. Le plan de ce cercle étant vertical , il aura pour projection horizontale la droile oss"\ et pour rayon la véritable grandeur de la droile so, s'o'. On cherchera (46) cette longueur représentée sur l'épure par la ligne os", et on la portera de o en *"' ; ce qui donnera la position que le sommet de l'angle viendra prendre sur le plan p. Enfin , si on joint le point s"' avec c et d, on aura l'angle demandé cs'"d rabattu sur le plan horizontal p. La construction précédente nous a donné l'angle aigu que les deux droites font entre elles; si l'on voulait avoir l'angle oblus, il suffirait de prolonger un des côtés de l'angle obtenu. On pourrait, si cela était plus commode , prendre pour axe de rabattement une ligne parallèle au plan vertical de projection.

49. Sur la figure 2, l'un des côtés de l'angle cherché est ver-

tieal. Prenant ce côté ad pour axe, on a fait tourner le plan des deux droites jusqu'à ce qu'il soit arrivé dans la position au". Alors il se trouve projeté en a's'u'", selon sa véritable grandeur. Si l'on voulait que l'angle donné fût partagé en deux parties égales , on construirait ld droite *V" qui partage l'angle rabattu aVtf'" en parties égales , et l'on ramènerait ensuite le tout à sa place , ce qui donnerait tW pour la projection verticale de la droite demandée. Enfin , fig. 3. Si Ton veut partager en trois par* ties égales un angle dont les projections seraient csd^c's'd'y on commencera par le rabattre , ce qui donnera cs"'d, puis on partagera ce dernier angle par les droites sf" — l,s"' — 2 que- Ton ramènera ensuite à leur place.

Angle* des lignes et des pians.

50. problème. Construire l'angle qu'une droite fait avec un plan. On sait {Gèom.) que l'angle d'une droite avec un" plan se rneisure par l'angle que cette droîte,fait avec sa projection sur ce plan. Mais pour éviter la construction de cette dernière ligne, on remarquera que l'angle demandé est le complément de l'angle que la ligne donnée ferait avec la perpendiculaire au plan donné, d'où résulte la construction qui suit: 1° on prendra {fig. k) sur la droite donnée (ac,dd) un point quelconque {aa')\ 2° on abaissera de ce point, la ligne {ab,a'b') perpendiculaire au plan" donné p\ 3° on rabattra l'angle c'd"b' que ces droite^ font entre elles; 4° on en prendra le complément cra"'w.

51. Problème. {Fig. 5). Construire les angles qu'une droite (ac,arc'} fait atieû les plans de projection. Pour avoir l'angle avec le plan horizontal : 1° On prendra sut* la droite donnée un point quelconque (aa')\ 2° on tracera la droite db perpendiculaire au plan horizontal de projection 5 3° on rabattra l'angle bdc'\ formé par les deux droites (ac,a'c') (abf a'b') ; 4° l'angle a'cf'b, cotnplémentdeôaV, mesurera l'inclinaison de la droite donnée (ac,dc) sur le plan horizontal de projection.

S 'on veut avoir l'angle que la même droite fait avec le

plan vertical de projection on opérera de la manière suivante : Ie Par un point quelconque cc\ appartenant à la droite donnée, on fera passer la droite (cd, c'a!) perpendiculaire an plan vertical de projection. 2° On rabattra l'angle dca" formé par les deux droites (ca,c'g>) (cd9c'df). 3° L'angle ea'd, complément de dea"9 sera l'angle demandé.

52. Problème. Construire l'angle que deux plané font entra eux. On 6a it (Géom.) que pour avoir l'angle de deux plans il faut mesurer l'angle que font entre elles deux droites menées dans ces plans, perpendiculairement par un même point de leur intersection.

1" Méthode. Soient (fig* 6) les deux plans p et/; on construira (34) la projection horizontale vu de l'intersection de ces deux plan», puis ofl mènera perpendiculairement à cette ligne, une droite p" qui représentera la trace horizontale du plan dans lequel se trouve l'angle que Ton cherche. Si l'on fait tourner ce plan autour de sa trace p" pour le rabattre sur le plan horizontal, le sommet de l'angle demandé se meut dans le plan vertical t/w, et ne peut, par conséquent, se rabattre que sur la ligne vu. H ne reste donc plus qu'à connaître sa distance à la ligne p" que l'on prend ici pour axe du rabattement : pour cela , faisons tourner le (dan v'vu, autour de sa trace verticale n/, L'intersection des deux plans donnés viendra prendre, sur le plan vertical , la position v'u' -, le point o , qui représente le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle demandé sur la ligne p" se rabattra en cl ; abaissant du point o' une perpendiculaire sur t/t*', cette perpendiculaire oV sera la distance du sommet de l'angle cherché à la ligne p" ; de sorte qu'en portant cette longueur oV de o en s , on aura em pour l'angle demandé rabattu sur le plan horizontal de projection.

Par cette construction, on aura évité de construire la projection de l'angle cherché dont on ne demandait que la véritable grandeur.

On peut rabattre le plan vertical v'vu sur le plan horizontal {fig. 7). Dans ce cas, l'intersection des deux plans serait représentée par t/'ti, et le sommet de l'angle cherché para''. On pourrait encore, si cela était plus commode , faire sur le plan ver-