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tirai toutes les constructions que nous avons faites sur le plan horizontal.

53. 2e méthode. On sait (Géom.) que deux plans étant donnés, si d'un point pris où Ton voudra dans l'espace, on abaisse des perpendiculaires sur ces plans, l'angle que ces perpendiculaires feront entre elles sera le même que l'angle des deux plans. D'après cela, étant donnés les deux plans p et// (fig. 6 ou 7), on prendra (fig. 8), un point quelconque ss', et après avoir mené par ce point des droites (saja!) (sc,s'c') perpendiculaires aux deux plans donnés p et p' (19) , on cherchera (48) l'angle que ces deux droites feront entre elles.

54. Problème. Construire l'angle d'un plan donné avec les plans de projection. L'angle que le plan p ( fig. 1 0) fait avec le plan horizontal, étant situé dans le plan vertical p', on fera tourner ce plan autour de sa trace verticale jusqu'à ce que le point s, sommet de l'angle cherché, soit venu se placer en s' sur la ligne ÀZ; ce qui donnera l'angle os' a pour l'inclinaison du plan p sur le point horizontal. De méme% l'angle que le plan donné fait avec le plan vertical étant situé dans le plan p", son sommet u se rabattra en u't et l'angle ou'c représentera l'inclinaison du plan p sur le plan vertical de projection.

55. Problème. Construire un plan passant par l'intersection de deux plans donnés , et qui partage V angle qu'ils font entre eux en parties égales. (Fig. 9). Le plan demandé devant contenir la ligne (vu) qui représente l'intersection des deux plans donnés, sa trace horizontale doit passer par le point m, et sa trace verticale par v' (27). U ne reste donc plus qu'à trouver un second point de l'une de ses traces : pour cela , on rabattra sur le plan horizontal l'angle asc que les deux plans donnés font entre eux, et Ton construira la droite m qui partage cet angle en deux parties égales. Le point n suivant lequel cette droite perce le plan horizontal appartiendra à la trace horizontale du plan cherché. Après avoir construit cette trace un9 on fera passer la trace verticale par le point v\ et l'on aura satisfait à la question. En effet, les trois droites sa>sn,sc9 étant situées dans le plan p" perpendiculaire à l'intersection commune des trois plans p,p\pn\ les angles que ces lignes font entre elles mesurent les inclinaisons

de ces trois plans (Gèom.), et puisque m partage l'angle sac en deux parties égales, le plan p"', qui contient m, partagera l'angle des deux autres plans aussi en parties égales. Il est bon de remarquer que Ton n'a pas ramené la ligne sn à sa place, parce qu'il suffisait d'avoir le point où cette ligne perce le point horizontal.

Nous avons partagé en deux parties l'angle aigu formé par les deux plans donnés; on opérerait de la même manière pour obtenir le plan qui partage l'angle obtus en deux parties égales. Enfin, les mêmes moyens seraient employés si l'on voulait partager l'angle de deux plans suivant tout autre rapport. Sur la figure 10, le plan p'" partage en deux parties égales l'angle que le plan p fait avec le plan horizontal de projection.

Angle iWéifre.

56. Problème. 11 existe entre les faces et les angles plans d'un angle trièdre des relations telles, que si Ton connaît trois quelconques de ces quantités , on peut toujours trouver les trois autres. Cette question donne lieu à six problèmes. En effet , désignons par a,b,c les trois angles plans ou faces, et par A,B,C les angles dièdres ou d'inclinaison des faces entre elles. On peut avoir :