I.{\dx-^\dy-\-Zdz

étendue à tous les points qui déterminent le champ de force étudié^ est indépendante du choix d*axes, aussi bien que la variation d'énergie potentielle du champ. Par conséquent, et puisque dans un cas elle mesure celte dernière, elle la mesure toujours, quels que soient les axes choisis.

Nous avons, en effet, admis qu'il y avait réaction égale à l'action. Supposons, pour simplifier, que les points matériels étudiés >e réduisent à deux points M|, M2.

Si la force F agi^ sur M|, une force — F agit sur M2, et l'expression précédente devient

d\} = \{dxi — dxt)^\{dyi-dyi)^Z{dz, — dzi),

ou bien, 6fr désignant la variation, dans le temps rf/, de la distance r des deux points,

^î 17^^/^^^» — ^''*^ Y dyi—dvi Z dzi—dzi\ ^=^^^VF dr ^F -117^ -^ F dr ) '

la parenthèse mesure le cosinus, égal à i, de fangle formé par les directions parallèles de la force F et de la droite qui joint les dcu\ points. Donc, en valeur absolue,

I c/U ! = F dr, qui est manifestement indépendant du choix d'axes.

Plus généralement, on aura

\d\]\ = JLFdr.

Cette expression ne fait intervenir que la déformation géométrique du système de points étudiés.

118. Énergie cinétique. — Supposons maintenant que les points matériels étudiés soient abandonnés dans le vide. Soient toujours X, Y, Z les composantes parallèles aux axes de la force F du champ (') qui, à l'instant ^, agit sur le point matériel placé en M. La variation d'énergie potentielle d\] reste toujours donnée parla même expression, mais le changement qui la neutralise réside uniquement dans la variation d'énergie cinétique des points matériels étudiés, en sorte que, si rfE désigne cette variation, on a

D'autre part, la loi d'inertie donne (n"41), pour chacun des points matériels, si les axes de coordonnées sont des axes de Galilée,

F -T-(— m J ) = o, et, par suite, projetant sur les trois axes

multipliant respectivement ces trois équations par rfj:, d/^dz et ajoutant, on trouve

Xdx^Xdy^Zdz = m (^^ d.r + ^ dy -^ ^^ dz^ Si Ton observe (|ue le carré de la vitesse est

, (dxy (dvy (dzy '^' = [dt)--[-dl)--(di)^

on voit que Técjuation précédente peut s'écrire X dT H- Y dv -v-Zdz--=d '— .

(') II peut y avoir plusieurs champs de force superposés; l" sera alors leur résultante.

CHAP. 111. — ÉQUIVALENCE ET NOTION d'ÉNERGIE. II3

Etendant ce résultat à tous les points matériels étudiés, il vient

— dV= ï:(Xdx^\dy ~r-Z dz) = d ?-^* , el, par suite,

les ^^itesses étant rapportées à un système quelconque d'axes de Galilée (n« 37).

Ainsi, dans le cas où Ténergie cinétique d'un système de points matériels est acquise aux dépens d'un champ de force, déterminé par ces points, nous savons calculer cette énergie. Comme la façon dont un changement est produit n'importe pas au nombre qui le mesure, nous avons, en définitive, obtenu le résultat important qui suit :

A^T variation d'énergie cinétique d'un système matériel, à partir d'un état donné, est égale à l'accroissement éprouvé, à partir de cet état, par V expression \^ -^ — étendue à tous les points du système, les vitesses étant rapportées à des axes de Galilée.

Ce qu'on écrit, en abrégé,

prenant pour origine un état dans lequel les points du système

seraient immobiles relativement aux axes choisis.

Cette équation s'appliquera aux vitesses comptées par rapport

au sol, dans les limites où il est légitime de considérer les axes terrestres comme formant un système d'axes de Galilée.

J^ai dû détailler un peu les démonstrations qui précèdent, afin de bien y marquer la part du raisonnement mathématique et la part des notions empruntées à l'expérience. En particulier, nous ne sommes bien sûrs de l'équation précédente que dans les limites où la loi d'inertie a été vérifiée, c'est-à-dire pour des vitesses ne dépassant pas loo*'" par seconde (*).

(*) En admeltant que la matière est faite d'électricité (n" 23), et appliquant les théories de Maxwell, J.-J. Thomson, puis Heaviside et Searle (Phil. Afag.)^ ont trouvé que l'inertie d'une masse donnée grandit quand la vitesse devient très grandes et deviendrait infînie si cette vitesse atteignait celle de la lumière. Ces prévisions ont été partiellement confirmées par un récent travail de Kaufmann, relatif à des rayons cathodiques très rapides (i» ^ 286000'"° par seconde). P. - I. 8

Il4 TRAITÉ DE CHIMIE PHYSIQUE. — LES PRINCIPES.

119. Critérium d'équilibre de corps soumis à un champ de force. — Imaginons qu'un système de corps exerçant les uns sur les autres des actions newlonienncs soit abandonné à lui-même, sans intervention d'aucune action extérieure. Soient U l'énergie potentielle du système, E son énergie cinétique, comptées toutes les deux à partir d'un état initial arl)itrairc. La variation d'énergie cint*ti(|ue étant neutralisée à chaque instant par la variation d'énergie potentielle, on doit avoir

Il -T- E — const.

Si donc les différents corps du système isolé se trouvent à un certain instant dans une position pour laque lie y en raison des liaisons imposées au système, V énergie potentielle est minimum, on peut être assuré que V énergie cinétique sera maximum.

Supposons que, a ce même instant, les corps du système soient (*n repos les uns par rapport aux autres et tous animés de vitesses nulles par rapport à un certain système d'axes de Galilée. Alors on peut être assuré que le système ne subira aucune déformation, ou, ce qui revient au même, que l'équilibre subsistera. En effet, le système ne pourrait se déformer sans que ses parties prennent des vitesses différentes de zéro, ce qui, tout terme {^nii^^) étant forcément positif, ferait grandir E, donc décroître U. Or, cela est impossible par hypothèse.

En première approximation, ce résultat pourra être appliqué dans le cas de vitesses nulles relativement à la Terre. Par exemple, considérons une bille pesante placée au point le plus bas d'une cuvette arrondie. Pour tout déplacement imaginable compatible avec les liaisons imposées au système (*), la bille s'élève, donc Ténergie potentielle grandit. Cette énergie potentielle est donc minimum, et l'énergie cinétique est maximum. La bille restera donc «^n repos, car tout déplacement réel entraînerait un accroissement d'énergie cinétique.

(•) Par exemple, il est sous-entendu qu'on ne doit pas briser la cuvette; de plus, le déplacement virlucl est assujetti à ne pas dépasser une limite finie (il ne faut pas que la bille puisse passer au-dessous de la cuvette en contournant le bord supérieur).