CHAP. I

en mouvement par rapport au sol; il faut seulement qu'ils soient en repos l'un par rapport à Tautre.

^B. Coasidératioiis de symétrie. — 11 faul observer que la pression dans it!i fluide^ la tensiou le long d'un fil et la force qui agit sur un point ont des symiHries clifTereates, La pression <*n un point d'un fluide eâL coraplèLenient délinie parle nombre qui la rncsure: c'est ce qu'on nomme une grandeur scalaire. Mais la tension en un point d*un fil n'est complètement définie que si l'on connaît^ outre le nombre qui la mesure, la direction de la droite le long de laquelle est tendu le 111 ; c'est le Ljpe des grandeurs iensorielles^ qui ont la s jmé trie du cjlîndre circulaire droit- On représentera ■Hppléteni^nt la tension en un point pur un segment rectilignc P^ftiëtrique ayant pour milieu ce point, pour longueur une longueur mesurée par le même nombre que la tensiouj et couché le long ilu fil. Un tel segment se nomme tenseur.

Enfin, pour déterminer une force agissant sur un point, il faudns donner en grandeur et en direction la tension du fil qui produit cette force, et, en oittre, dire de quel côté du point, sur cette direction j se trouve le fil : la force est donc une grandeur ttectorielle, c'est-à-dire une grandeur qui a même symétrie qu'un tronc de cène circulaire droit. On représente complètement une force par un vecteur {^) ayant pour origine le point d^application, pour direction celle du fil qui produit la force, pour sens le sens qui va du point d'application aux autres points du fil, et |ïour longueur une longueur mesurée par le même nombre que la force,

9, Composition des forces. — Les forces étant toujours supposées définies par des fils tendus, on peut démontrer, ou, si Ton trouve obscure cette démonstration classique» on peut du moins |idmetti*e comme un résultat d'expérience que deux forces appli-

tjuée^ en un même point et représentées par deux vecteurs F' et F'^

(') Je rappeUc? qu'on nomme vecteur un segment de droiti; ayant dans l'espace iae position ri3iét!p et dotit les deux bouts sont rendui dilTércnts par le moyen le signes queteonqnes (une flt^che csi le signe ordinaire). On pourra d^nc délipier CC5 dcuï bouts par deux mois différents {origine eL exUémité)^ et dis* linguer sur le vecteur un sens de parcours (allaut. de l'origine à l'exlrémité).

Ilâiis désignerons un vecteur de loQgucur F par la nolation V\

g TKAITÉ BS CHIMIE PHTSTQCE. — LES PBINCIPES,

peuvent être remplacées par une force unique, qu'on nomme leuti

résultâmes cl qui est représenlëe par le vecteur R rliagonale du!

pardillélogranîme construil sur F' et sur F*^, Nous admeUrons cett€ équivalence et nous rexprimerons par Féquatton symbolique

Dès lors^ et procédant de proche en proche, on pourra camp des forces concouranteSf quel que soit leur nombre.

Considérons un corps solide y c'est-à-dire pratiquement indé-^Ê formable. Si une force agit (n* 7) sur un point A de ce corps, nous dirons que ce corps est soumis à une force appliquée en A. Nou admeUrons qu'on peut déplacera volonté le long de sa direction l point d'application de la force sans qu'il en résulte aucun effe appréciable pour le corps solide. De m.êuiCj nous admettrons comme intuitif qu^ou peut^ sans aucun efl'et pour le corps (^)5 appliquer en un même point deux forces égales et opposées» On démontre alors sans difficulté de principe les propositions relatives à la com-*^ position des forces paralièles, propositions que je supposerai" connues* De même, on démontre, sans faire appel à des notions nouvelles, que des forces en nombre quelconque appliquées à u même corps solide peuvent être remplacées par deux forces seuL meot, dont Tune a un point d'application arbitraire*

10. Conditions d'équilibre d'un systëme de forces appliquées à un soHda. — Lin cas important est celui où des forc<*^ appliquée»™ •é un corps solide %^ équilibrent, c^est-à-dire peuvent être sup-| primées en même temps, sans qu'il en résulte aucun eifet pour It* corps (^)*

Une démonslratioo qui n'introduit non plus aucune notion ph^*-^ sique nouvelle montre que, pour qull en soit ainsij les vecteurs^ qui représentent les forces doivent être tels que la sompie de leurs projections sur an axe quelconque soit nulle ^ et que lai somme de leurs moments par rapport à un axe quelconque soit

(' ) Piua rixoureusemcalf à de très pctilcs dérormations près (^) A de 1res peLiLeâ tli^furmationâ près.

^l^^mU

iïi///e ('). Or ces coDditions sont vérifiées pour un axe quelconque sî elles sont vérifiées pouF trois axes concourants; cela donne donc six condîiîons d'équilibre pour un système de forces appliquées â un corps solide par des Tds tendus.

1 f . BxtenBÎon do Fîdée de force. ^ Les forces de contact* — Jusqu^à présent, en conformité iivec la définition donnée, il a été supposé, chaque fois qu'on parlait d^une force appliquée en un point, qu'un fd tendu s^attachait efTectivemenl en ce poînL C'est là un cas en apparence bien pu ri i eu lier. Mais nous allons pouvoir facilement utiliser les propositions précédentes dans le cas beaucoup plus général où un corps se trouve comprinié ou distendu de n^imporle quelle manière par d'autres systèmes matériels en contact avec lui, La possibilité de cette généralisation résulte, en abrégé, du fait que la forme imposée au corps par les systèmes voisins pourrait aussi bien lui être imposée par des fils tendus* C'est ce que nous allons expliquer.

Pression sur une paroi. — Plaçons*iious d'abord dttns le cas simple d'un corps solide immergé^ en tout ou en partie, dans un nutde. Considéronsi un élément dS de la paroi en contact avec le fluide, et soit p la pression du Jluide au voisinage de cet élément. 11 suffit de se rappeler comment nous sommes arrivés à définir la pression (n'* 6), et de songer que Félémcnt ^S pourrait former une soupape analogue à celle de la (igure '.i^ pour comprendre que l'action du fluide sur l'élément rfS est absolument équivalente à celle frtui fil tendu qui souinettnnl dS 4 une force représentée par un lecteur normal è la paroi, ayant le sens allant du fluide à la paroi, et numériquement égal k pdS.

Bien que ce fil n'existe pas en fait, nous conviendrons de dire que rélément rfS est soumis à la force que représente le vecteur précédent, convenlion legitimcj puisc|ue tout se passe comme si le fil existait.

f *î Je rappelle que le timmcnl d'un vecteur par rapport è unaneest un nombre positif ou négatif, suivant que le vecteur et t'axe sont en positiun de^iror.^um oy en position ^rnw/rorjwmj et dont b valeur absolue s'obLicni en multipliant h plus courte distance du vecteur à i'axc par U projecUt>n du vecteur $ur un plan perpendiculaire à Vaxç.

lO TRAITK DE CHIMIE PHYSIQUE, ~ LES PBIXCIPESi

De façon plus générale, supposons que le corps étudié (fluide ou iion)j en contact avec n'importe quels systèmes matériels^ conserve une fornie invariable; imaginons alors que Ton supprime le^ cooliicls en écartant un peu tous ces systèmes de fai;on à créer tout ^ autour du corps étudié une gaine vide très mince; en général^ îl ■ se produira alors un changement spontané dans la forme du corps qui, suivant les cas, se gonllera, emplissant la gaine, ou se contractera; c'est ce que nous exprimerons en disant qu'une liaison mécanique existait entre ce corps et les systèmes environnants- ■

Au lieu de considérer cetle liaison comme un toul^ nous pouvons la décomposer en éléments de la manière suivante :

Deux cas seront à distinguer :

i*' Si le corps est approximativement solide, nous pourrons tacher des lils endilTérents points de sa périphérie, et Ton conçoit (|u^en augmentant convenablement te nombre de ces fîU, on pourra toujours empêcher le corps de subir aucun changement de forme quand on supprimera le contact avec les corps environnants*

L'ensemble des forces F^. définies par ces fils sera équivalent à la liaison mécanique réellement existante.

a** Mais la périphérie du corps peut être franchement fluide.

Postulat, — Nous admettrons alors que, sans provoquer aucun , changement, on pourrait revêtir la surface par des écailles extrê^ memenl minces, rigides, inaltérables, parfaitement ajustées lesJ unes à côté des autres, mais sans liaison entre elles (' )*

Ceci admis, si Ton écartait un peu les corps extérieurs, comme on Ta supposé tout à Theure, ces écailles se déplaceraient, maîs.j on pourrait encore empêcher leur déplacement en sollicitant chaque écaille par un fil convenablement tendu et convenablement dirigé (*)j exerçant sur l'élément une force représentée par un vec-

(') Ce fonl là dc!S condttions Itmiies: on adiivel qu'on peut eu approcher autant qu'on TCutj ou pluiÔI qu*on cal arrêlé piir défaut d^habileté et non par les ( propriétés de la matière,

(') J'ai à peine besoin de faire obscrrer que plusieurs dispositions faeiletnent j imafînabfes permettent d'utiliser un fit au?si bien pour U compression que pour] l'eiLtensron du corps.

cil A p. i*

leur Ft** Dan* cç cas encorr^ oo a donc pu définir un sjstème de

fiirccs équivalenl à là Hai&on mécanique réellementf'itistanle.

Dans Vnn et l'autre cas, nous conviendrons de dire que le corps

est soumis de la part des corps qui le touchent à des forces de

'^ çoniaci, représenLées par les t ce Leurs F(. quVm vient de définir-

(Jette convention est It^-gilime, car tout se passe pour le corps

comoie si les fils imagines existaient.

Nous admettrons que, réciproquementj le corps étudié soumet

IfS corps qui le touchent à des forces de conlact (ou réactions)

représentées par des vecteurs — F^, égaux et opposés aux précédants.

J'ai supposé que la forme du corps ne varie pas ; cette hypothèse facilite la compréhension du raisonnement, sans lui être nécessaire. D'une façon générale je définirai les forces de contact de la manière suivante :

Considérons un corps arbitraire^ fluide ou non, animé d\in mouvement quelconque par rapport au sol^ et de forme variable y i^iipposé en contact avec dilTérenls corps. Imaginons un système mie difTéranl du premier, à l'instant/, seulement |)ar ceci que la iiirfatre de contact est remplacée par une mince gaine vide tapissée t'écailles sur ses deux faces. On conçoit que le système sosie poîîrra évoluer comme le premier pendant le temps dt s! les t^caiile^ sont sollicitées par des fils convenablement tendus. Ceux de ces fils qui seront attachés aux écailles qui revêtent la surface ihi corps définiront les forces de contact subies par le corps donné ^ [^instant i; ceux qui seront attachés aux écailles qui revêtent la surface en regard des objets environnants définiront 1rs forces de rontact exercées par ce corps au même instant. Il est évident que ttous fie saurons pas aller bien loin dans la mesure elTeclive de (pareilles forces. Nous admettrons, cependant, que les raisonnements qui leur sont relatifs gardent un sens et ne conduisent pas a des conséquences en désaccord avec Texpérience.

1% Nouvelle extension de Fidée de force. — Poids d*aa corps. ^~ Imaginons, en un point d'ailleurs arbitraire, un crochet invariabiemeni lié au soit ^^ à ce crochet suspendons par un fil, dans

TnAlTB OB CHIMIE t^HYSÎQtlB,

LES PRINCIPES

le vide, un corps quelconque. Le fil se trad aussitôt; de pliia sauf exceptions^ qui ne se réaliseront guère que si on les rechen Ih^ (électrisations, aiinanlatîons, elc), la direclion (ju'îl prcnJ est lunï à fait indépendante du corps choisi; c'est elle qui définilj couime on sait, la direction de la verticaie au lieu considéré, fl

Une fols admis ces fîiils, il est évident qu*on peut définir un vecteur vertical qui suffise à équilibrer (n" 10) ceux qui représentent les forces de contact agissant sur le corps; ces forces Av contact se réduisent en elTet à une seule force verticale exercéH par le fil tendu.

Ce résultat se généralise en donnant une proposition d^impoi^ tance capitaJe, justifiée par le schéma suivant, qui résume à' l^Ê norahrablos expériences très familitVes,

Considérons un corps quelconque, en équilibre par rapport au soL Imaginons encore que ce corps est revêtu de ces écailles exactement ajustées qui permettent de définir les forces de contact agissant sur le corps. Si nous fistons rigidement ces écailles Im unes aux autres^ il ne se produira rien : réquîlibre subsisteraH Nous aurons ainsi enfermé le corps dans une carapace indéfoi^ mablcj ou, si Ton préfère cette expression, nous aurons solidifié la surface périphérique du corps. Supposons que Fon vide celte carapace en enlevant le corps intérieur piir un procédé quelconque^; on eonstatera qu^alors l'équilibre ne subsiste pas, mais qu'il peut être rétabli, dans le cas général, par ruclion d'un seul fil tendu verticalement^ fixé en un point convenable de la carapace et déli-

nissant une force représentée par un seul vecteur l* , vertical dirigé de haut en bas.

Nous dirons alors, élargissant de nouveau la signification du in|

force f que ce vecteur P représente une force agissant sur le corps, bien qu'on ne puisse percevoir uucuoe liaison mécanique équivalente a un iil tendu soilicitant le corps vers le bas. Cette force de nouvelle espèce est, par définitionj le poids du corps. H

Bref, la carapace indéformable se maintiendrait en équilibre sous Tact ion de forces exercées par des fils tendus et respectivement équivalentes, d'une part, aux liaisons mécaniques imposé^ parles corps extérieur»; et, d^autre part, au poids du corps int Heur.

En d^autres termes :

Les forces de contact F^ exercées sur un corps quelconque,

en équilibre par rapport au sol, et un certain vecteur vertical P , dont on dit qu^il mesure le poids du corps, vérifient les six conditions imposées à C équilibre d^un système de forces exercées sur un corps solide par des fils tendus.

On peut exprimer cette loi par l'équation symbolique

Il n'est pas inutile d'ajouter qu'il n'j a aucun intérêt à décider si le vecteur ainsi introduit représente une force réelle ou fictive: c'est là une simple question de langage. Le fait important, c'est que la considération de ce vecteur aide à prévoir certaines réalités sensibles.

En voici un exemple classique.

13. Application. — Cherchons la différence des pressions p' dp en deux points M' et M d'un fluide homogène en équilibre. Concevons im cylindre circulaire droit, de longueur /, dont les bases passent par M et M'{fig. 4). Soit s la section droite, supposée très petite, de ce cylindre. Imaginons que la surface exté-

Fig. 4.

rieure soit solidifiée, comme il vient d'être expliqué en détail. Lne condition d'équilibre est que la somme des projections des

TRAITÉ DE CHIMIE PHISIOVE, — LES PRIKCIPES.

forces de conlact et du poids sur l'axe MM' soil nulle; ns ëlanl 1^ poids du cjlmdrc, on obtient ainsi

{p* — p)s — ra cosa.

Maiâ le poids d^une matière komogène est proportionnel à sôu volume (loi expérimentale) :

etj par suite,

si h est la distance verticale des deux points.

Ainsij la différence des pressions en deux points d^ un fiait en êqu ilib re est n u m értq ae nient éga le au po ids d ' u n cy lin dr du Jî a ide aya ni pour ba se l ' u n i t é de s u rfa ce et po u r h a u teti t la distance verticale des deux points.

Nous démontrerions de même que les forces de contact exercé sur un corps plongé dans un liqnide homogène sont représenté par un vecteur unique vertical dirigé de Las en haut, égal en valeur al>solue au poids du liquide déplacé (principe d^ A rchimède Les propositions fondamentales de T Hydrostatique peuvent J lors être regardées comme connues.

Remarquons encore qu'on démontrerait d^une manière îtosilogu que la diirércnee des tensions en deux points d'un fil homogène équiliiire est e'^galc au poids d'un segment de ce fil qui aurait poil longueur la distance verticale des deux points.

14. Forces de seconde espèce. — Nous avons vu de façon cki comment le poids d'un corps joue le rôle que jouerait un certa fil tendu invisible. En certains cas exceptionnels^ comme oo l'avons déjà fait pressenlir^ le Va invisible ainsi imaginé ne suflî' pas à éqnililyrer les forces de contact, alors pourtant que le corps est toujours en équilibre par rapport au soi. Tout se passe aioi comme s'il était sollicité par de nouveaux fils invisibles.

I)e façon générale j'appellerai /o/cejf de seconde espèce et dé*i

gnerai par la notation Fa les forces que définiraient des fils tendtts

invisibles, en équilibrant exactement les forces de contact F^ q agissent sur le corps étudié^ que ce corps soit en repos (ui eu mon vement par rapport au sol.

Les vecteurs qui représentent toutes les forces qui sont ainsi dé fin ies corn m e agtssa ni sur tu i co / ps j'o u e n tunt 'à le se m b table e n ceci q u <? , sa n s dis tinct io n d^orig in e, tfi s ont m e de le u rs p ro^ /ectiofis sur un axe quelconque est nullcj et que ta somme de leurs moments par rapport à un axe quelconque est nulle.

CVst ce que nous exprimerons d'une manière abrégée en disant que ces \ecieurs s'équilibrent el en écrivant

Il esl loul à fait évidnnl qu'on peut loiijour.^ trouver un système de vecteurs satisfaisant à celle condiiion d^équililjrer un autre système donné. On le peut même d'une infinité de manières, et, si IVxpénence nn nous apprenait rien de plus, rinlroduclion de forces de seconde espèce ne serait qu'un artilice mathématique*

Ce qui est remarquable, c'est qu'il tixiste une solution siHPtB de ce problème indéterminé^ et que l'on ait su trouver eeiie solution.

En d'autrej? termes, on a su, par expérience et par induction, atteindre à des lois excessivement simples, permettant d'affirmer a lavaîice que, dans telles conditions, tel système bien d('* terminé de forées de seconde espèce équilibreront les forces de contact appliquées à un ct^rps donné. Si donc ces dernières forces sonl inconnues, on aura par la même un renseijjnement sur elles : c'est ainsi que nous avons pu calculer la difVérence des pressions eu deux points d'un fluide. Cet exemple nous fait concevoir comment la considéra lion de forces de seconde espèce aisément calcu fables peut lacilitcr la prévision des phénomènes.

Heste a indiquer ces lois qui donnent une solution simple du problème de la recherche de forces de seconde es[>èce, CVst ce qnc je lais faire, en supjiosant d*abord que le corps en expérience esl immobile par rapport au sol (Statique), puis en passant au caïî général d'un raouvcmeni quelconque {Dynantique).

TRAITE D^ CHIMIE PllYSIOt^- — t^S P&tNCIP£S>