POUR LB8 CANDIDATS A LA LICENCE
La direction suivant laquelle la lumière qui émane d'une étoile arrive à l'observateur, et qui est celle de Taxe optique de la lunette braquée par l'observateur sur Tastre, diflëre de la ligne droite joignant l'œil de l'observateur à cet astre, c'est-à-dire de la véritable direction de l'astre. Cette différence tient à deux causes distinctes : d'une part, c'est l'atmosphère terrestre qui, infléchissant les rayons lumineux, nous fait voir les astres au-dessus de leurs positions réelles^ d'autre part, la vitesse de trans-
lation de noire globe ayant un rapport fini avec la vitesse de la lumière, nous apercevons les étoiles en avant de leurs véritables positions dans le sens du mouvement de la Terre. Les théories de la réfraction astronomique et de l'aberration ont pour objet le calcul de ces deux ell'ets, de telle sorte qu'on puisse corriger les observations, c'est-à-dire déduire les directions vraies des directions apparentes.
Nous ne nous occuperons pour le moment que du phénomène de la réfraction, qui est le plus important. Dans un second travail, que nous publierons incessamment, nous exposerons la théorie de l'aberration.
§ I. — Notions préliminaires.
La lumière se meut en ligne droite dans le vide ou dans un milieu homogène. Mais, si un rayon lumineux passe d'un milieu homogène dans un autre milieu homogène, de densité diflerente, il se réfracte, c'est-à-dire est dévié de sa direction primitive, conformément aux trois lois expérimentales dont nous rappellerons d'abord les énoncés :
Première loi. — Le rayon incident AM {fig* i), /« rayon réfracté MB et la noimale ,NMN' à la surface [plane ou courbe) de séparation des deux milieux sont dans un même plan.
Deuxième loi. — Pour les deux mêmes milieux, le rapport du sinus de V angle i d'incidence au sinus de
l'angle r de réfraction est constant quelle que soit la direction du rayon incident.
Ce rapport -: — est appelé indice de réfraction du
second milieu par rapport au premier.
Si le rayon lumineux passe du vide dans un milieu
quelconque, le rapport -: — se nomme indice absolu de
réfraction de ce milieu.
Troisième loi. — Soient trois milieux homogènes successifs {fig- a ) que nous appellerons (A), (B), (C) \ si n est
Fig. i.
l'indice de réfraction du milieu (B) par rapport au milieu (A), n' V indice du milieu C par rapport au mi-
lieu (B), le produit nn! sera égal à l'indice de réfraction du milieu (C) par rappoi t au milieu (A).
De ces trois lois résultent plusieurs conséquences : 1° (A) et (B) étant deux milieux homogènes quelconques, si n est Tindice de réfraction du milieu (B) par
rapport au milieu ( A ), Tinverse - sera Tindice de réfraction du milieu (A) par rapport au milieu (B); il suffit, pour le démontrer, d'appliquer la troisième loi au cas où le troisième milieu (C) est identique au premier milieu (A).
7? n* et n" étant les indices absolus de réfraction de deux milieux homogènes (A') et (A'') et n Tindice de réfraction du milieu (A'') par rapport au milieu (A'), on a
Il su65t encore d'appliquer la troisième loi en supposant que le milieu (C) devienne le vide, puis de lenir compte de la propriété précédente.
3° Soient (/^. 3)
AiAj, A2A3, A3 A4, ..., kp-i\p, ApXp^i
les chemins rectîlignes successivement parcourus par
un rayon lumineux qui traverse une suite de milieux
homogènes séparés chacun du suivant par une surface
quelconque et ayant pour indices absolus de réfraction
respectifs
n-i, «2, /la, ..., /ip i, np.
La somme
AiA2./ii-l- Aj A3./I2-1-. . .-i- Ap i A;, ./ip-i-f- Ap Ap4.j./ip
ou
N Aa-Aam-i.wa
(5) des produits obtenus en multipliant chaque chemin recliligne élémentaire par Tindice du milieu auquel il se
Fig. 3.
rapporte sera un minimum parmi les sommes analogues relatives à tous les ensembles de chemins rectilignes élémentaires que Ton peut inscrire à la suite Tun de l'autre dans les milieux successifs, de manière à former un polygone continu allant du point A| au point A^^<. Remarquons d*abord que, lorsque deux points  et B sont transportés en A' etB' à la suite de déplacements
rectilignes ou curvilignes infiniment petits, on a, en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur
(6) aux déplacements,
A'B'— AB4-AA'cosA'AB + BB'cosB^BA =o (i).
Ce théorème étant rappelé, considérons la propriété énoncée. Elle sera évidemment démontrée si nous faisons voir que, lorsque Ton déplace infiniment peu les points A2) A3, . . . , A^ chacun sur la surface de séparation à laquelle il appartient, de manière à les amener
(*) Voici une démonstration élémentaire de cette proposition bien connue :
On peut se borner à considérer le cas où AA' et BB' sont recti-* lignes; car, lorsque A A' par exemple est curviligne, le remplacement de AA' par sa corde et de l'angle que nous avons appelé A'AB, et qui est celui de la tangente en A à AA' avec AB par l'angle de la corde AA' avec AB, n'introduit que des termes de second ordre que nous négligeons par hypothèse.
Cela posé, projetons A'B' : i*» en A^B" sur le plan mené par AB parallèlement à A'B'; a* en PQ sur AB; menons d'ailleurs AT et B'^Q qui seront évidemment perpendiculaires à AB, nous aurons
ÂP = AA' cosA' AB = AA' cosA''AB,
BQ =- BB' cosB'BA=- BB"cosB''BA
et
mais, en prolongeant A"B'' et AB jusqu'à leur rencontre en C, les deux triangles A" A G, B"BC donnent successivement
AG=A''AcosA"AC+A"CcosC, BC = B''BcosB''BG-+-B"CcosC;
d'où, en retranchant membre à membre,
AB = A'A cosA'AG — B'B cosB'BG + A'B" cosC,
et comme, d'après la relation
cir^r- AA" sinA'AG sinC = AA ^„^ — ,
G est infiniment petit du même ordre au moins que AA' et que BB', on peut écrire
A'B' — AB H- AA" cosA" AG -h BB" cosB"BA = o, ou
A'B' — AB+AA' cosA'AGh-BB' cosB'BA = o,
en négligeant toujours les termes d'ordre supérieur au premier.
(7) respectiveraeiît en Ag, A3, . . ., A' , la somme
Al A2 . /Il -h A2 A3 . /l2 -h A3 A4 . /l3 -{- . . .
-h Ap-i Ap . rtp—i -f- A^ Ap|i . rip, quî devient
Al A 2 . Ail -4- A'a A3 . /i2 -h A3 A 4 . 713 4- . . .
-+- Ap j Ap . Ttp—\ -f- Ap Ap^i . rip,
conserve la même valeur aux infiniment petits près d'un ordre supérieur aux déplacements.
Or désignons par A la différence entre ces deux sommes, c'est-à-dire l'expression
A =(AiA; — AiA2)/ii-4-(A'2A'3 — A2A3)/i2 -\-{A'^A\ — AsAt) 713-+-. . .
-{-{A'p^A'p— Ap-xAp)np-i'^{A'pAp^i — ApAp+x)np,
Appelons i^ et /'i les angles d'incidence et de réfraction lors du passage de la lumière du premier dans le second milieu, 1*2 ^^ ^2 les angles d'incidence et de réfraction lors du passage de la lumière du second dans le troisième milieu, enfin ip s et ï'p-\ les angles d'incidence et de réfraction lors du passage de la lumière du (y:? — lyiême niilieu dans le/;^®"®. Nous aurons d'après le lemme établi ci-dessus et en négligeant toujours les infiniment petits d^un ordre supérieur au premier,
AiA'j — AiA2= AjAj sini'i,
A'j A3 — A2A3=— A2A2 sinri-f-AsAj sin£2,
A3 A4 — A3A4=— A3 A3 sinr2-f- A4A4 sini's, ,
Ap i A;„ -—Ap-x Ap =— Ap i Ap j sin rp 2 H- ApA'p sin ip-i, A'p Ap-,-1 — Ap Ap+i =— Ap Ap sin rp i .
Ajoutons ces égalités membre à membre après avoir multiplié la première par /Z|, la seconde par n^^ la troisième par /Zg, . . . , la dernière par Up-^ nous aurons
(8) d'abord, comme premier membre de! 'équation résultante, la différence A 5 quant au second membre, si l'on a soin, en l'évaluant, de grouper le terme positif du second membre de chaque équation partielle avec le terme négatif du second membre de l'équation partielle suivante, ce qui entraîne l'emploi de tous les termes, car la première équation n'a pas de terme négatif et la dernière n'a pas de terme positif, il prendra la forme
A j A j ( /Il sin l'i — /ij sin ri ) H- A3 A 3 ( /ij sin 1*2 — /I3 sin rj )
-+- Ap i Ap i (rip-i sin ip-^ — Wp i sin r^-j) -h ApA.'p{np-i sïnip-i— rip sin rp-^);
mais -; — - est, quel que soit k. l'indice de réfraction sinr^- ^ *
du (Ah- 1)'*"® milieu par rapport au (ky^^^y c'est-à-dire
nk+i
; donc
rifc sin ik — iik+\ sin r)t = o ;
de là résulte que le second membre de l'équation résultante est nul, et par suite qu'il en est de même de A. Nous ne nous sommes occupés jusqu'ici que de la marche de la lumière à travers une suite de milieux homogènes successifs ayant chacun des dimensions finies et une densilé particulière n'obéissant d'ailleurs à aucune loi. Le problème ainsi posé ne convient pas aux cas de la nature j en réalité, on n'a à considérer qu'un seul milieu, non homogène et dont la densité, bien déterminée en chaque point, varie d'un point à l'autre et est une fonction en général continue des trois coordonnées a:, y, z qui fixent la position du point du milieu auquel elle se rapporte. Les points pour lesquels la densité est la même appartiennent à une surface et ne constituent pas un volume ou un milieu.
L'indice absolu de réfraclion est également bien défini pour chaque point M de l'espace, mais varie d'une manière continue avec la position de ce [>oint. Il n'est autre que celui qui se rapporte au passage de la lumière du vide dans un milieude dimensions finies, ayant partout la même densité que le milieu considéré au point M. Enfin il existe des surfaces d'égal indice absolu de réfraction, lesquelles coïncident avec celles d'égale densité et jouent le même rôle que les surfaces de séparation de deux milieux consécutifs.
Quant à la marche de la lumière, il est évident qu'elle s'effectue non plus sur un polygone, mais sur une courbe, et que celle-ci, d'après le théorème que nous avons démontré en dernier lieu, jouit de la propriété d'être, parmi toutes les courbes qui joignant le point de départ A de la lumière au point d'arrivée B, celle qui rend minimum l'intégrale fnds^ où s est l'àrc de la courbe compté à partir de A, n l'indice absolu de réfraction du milieu pour l'extrémité de s et qui s'étend depuis A jusqu'à h. C'est cette propiiété que nous prendrons comme détinition de la trajectoiro lumineuse, et l'on va voir qu'elle conduit aisément aux équations diflërentielles de cette courbe.
§ II. — Équations différentielles
