DE LA TRAJECTOIRE LUMINEUSE

Soient AMB la trajectoire lumineuse allant de A en B et AM'B une courbe quelconque infiniment voisine ayant les mêmes extrémités. Considérons les valeurs de l'intégrale fnds définie précédemment : i° pour AMB, 2° pour AIVrB, et appelons fnds et fn'ds* ces valeurs.

D'après la définition même, f nds étant plus petit que

( «o) toutes lès valeurs de f n!dsf^ la diiFéreiice

fn'ds' — fnds

devra être nulle eu négligeant les infini ment petits du deuxième ordre. Evaluons donc cette différence.

Il s'afi'it, .cpniuie on voit, delà différence de deux sommes^ or le moyen le plus simple, en pareil cas, consiste à faire correspondre à chaque élément de la première somme un élément convenablement choisi de la seconde, à prendre la différence des éléments correspondants et à faire la somme des résultats obtenus. As-

socions à l'élément de la première somme qui se rapporte à un point quelconque M de AB {fig* 5) l'élément delà seconde somme qui se rapporte au point M' de AM'B pour lequel l'indice absolu de réfraction est le même qu'en M \ nous aurons alors, pour la différence cherchée,

f n{ds' — ds)

ou, à un infiniment petit près du second ordre,

/ Al 8 dsj

en représentant par la caractéristique S les différentielles totales relatives à des variations qui laissent n constant

et qui, par suite, correspondent à des déplacements effectués d'une manière quelconque sur une surface d'égal indice absolu de réfraction. La condition qui définit la trajectoire lumineuse est donc

(i) fnBds = o.

Mais X, j", z étant les coordonnées rectangulaires d'un point du milieu et la caractéristique d représentant toujours les différentielles relatives à un déplacement effectué sur la courbe AMB, on a

ds^ == dx^ -+- dy^ h- dz^,

d'où

^ds = -j-^dx-h -^^dy -\ — j-hdz\ as as as

Téquation (i) prend donc la forme

que Ton peut, en intervertissant Tordre des différentîations correspondant à tZ et à 8 dans chaque terme.

écrire ainsi

/dx r dy r dz

n-j- d^x -\- f ^-4- dhy -f- / n-^d^z = o.

Intégrons par parties ; le premier terme donne

I n -7- dùx = [n —r bx) — / bx d.n -r-9 J ds \ ds Jq J ds

In -j-^x\ étant la différence des valeurs de /i -^ 8a:,

pour les limites des intégrales, c'est-à-dire pour les extrémités de la trajectoire lumineuse-, maison a 8.r= o h ces deux extrémités, puisque, lorsqu'on passe de AMB à AM'B, les extrémités sont conservées; donc

/n —j- d^x = — / Bx d.n -rr-' ds J ds

On verrait de même que

donc régalité (a bis) devient

(3) jilxd.n-^ -t-Sjrf.n -^ -irizd.n ~\ =o.

Les différentielles totales Sx, 8/, 5 s ne sont pas entièrement indépendantes, mais elles ne sont liées que par une seule relation, celle qui exprime que ces diffërentiellcs laissent n constant et qui est

dn ^ dn ^ an ^

âx oy "^ oz

en tirant de cette relation la valeur de Sz en fonction de ^et de 8j^ et la portant dans Téquation (3), on obtienl

dn \ / dn

j dx ôx j dz\ ^ I j dy ày , dz

d,n -J T — d.n -j- | h- ôy I d.n -^ f- d.n -7-

ds on ds I '^ \ ds dn ds

âz / \ dz

OÙ dès lors Zx et 8jk sont tout à fait quelconques en grandeur et en signe; on voit par là que Ton doit avoir, en tous les points de la courbe,

dn dn

/ / X J ^'^ dx J dz J dy dy . dz

(4) d.n -J T— ûf./i -7- = o, d.n -Y —- d.n -^ —o\

ds dn ds ds dn ds

dz dz

car, s*il en était autrement, on pourrait disposer de Sx et de hj de façon que les éléments de l'inlégrale fussent tous de même signe, et l'intégrale ne serait pas nulle. Les conditions (4), que l'on écrit ordinairement sous

( '3 ) la forme d'une suite de rapports égaux,

, dx j dy ^ dz

a.n—rj- a,n —=- d»n -rr

. - , . . as ds ds

(4 bis) — = — = — j ,

on on on

dx dy dz

sont les équations différentielles de la trajectoire lumineuse. Ces équations ne peuvent être intégrées que dans des cas très particuliers; mais elles fournissent plusieurs résultats utiles que nous allons faire connaître.

§ III. — Propriétés générales des trajectoires