LUMINEUSES

Ajoutons terme à termeles rapports (4 his, § II), après avoir effectué les différentiations indiquées et avoir multiplié les deux termes du premier rapport par -t-> les deux

termes du second rapport par-^> les deux termes du

dz . .

troisième rapport par -j- ; il viendra, pour la valeur commune des trois rapports,

, Vfdx\^ /dy\^ /^^\n (dx .dx dy .dy dz , c?^\

L\<a?5/ \ds I \ds I \ \ds ds ds ds ds ds)

dn dx dn dy dn dz dx ds dy ds dz ds

OU simplement ds^ à cause des relations

(dx\* \ds)

<ty-

fdzy

dx ^ dx ds ^ ds

dy ^dy ds ^ ds

dz , ds

dz ds'""'

dn dx dx ds

dn dy dy ds

dn dz dz ds ~

dn ds

Cela posé, on aura les trois équations

ds ~~ dx'

(i) / "^ y" Ts) ^dn

ds " ày

ds àz

dont Tetnploi simultané offre de grands avantages, mais qu'il ne faudrait cependant pas regarder comme distinctes, car, en réalité, elles se réduisent à deux.

Si Ton effectue enfin les dilFérentiations indiquées dans les équations (5), on trouve les relations suivantes

, dx dndx '^Ts dn

ds ds ' ds dx '

( I bis) ( dn dy ds __ dn

ds ds ds ~" dy

- dz dn dz ds dn

i ds ds ds "" dz

qui se résument en une propriété géométrique élégante, donnant sur-le-champ tout ce que Ton connaît de général sur les trajectoires lumineuses.

On sait que "T"' -7^» 77" sont les cosinus des angles que

la tangente positive à la courbe AMB fait avec les axes des coordonnées et qu'en appelant p le rayon de courbure,

, dx , dy , dz

cLs as as ^ i . -, 1

p —z- > p , ? p —7— sont les cosinus des angles que

la normale principale prolongée de la courbe vers le

centre de courbure fait avec les mêmes axes; donc les

dn dx dn dy dn dz ^

premiers termes j- -7-' -7- -7-' -j- ir des premiers ^ ds ds ds ds ds ds '■

membres des trois équations (5 bis) sont les projections

Fig. 6.

respectives sur Taxe des x^ sur Taxe des y et sur Taxe

des z, d'une droite MT égale à -j- et dirigée suivant la

tangente positive à la trajectoire lumineuse, et les se-

. dx

conds termes n

, dz ds

y n —-j — y n —j— des premiers mem-

ds ds ' " ds

bres des mêmes équations sont les projections respectives sur Taxe des x, sur Taxe des j- et sur Taxe des z^

d'une droite MC égale à - et dirigée suivant la normale

allant de la courbe au centre de courbure ; d'ailleurs les

y y dn an dn ^x , » / » • \

seconds membres ;r-' t-' ^^^ équations (i bis) sont

les projections respectives sur Taxe des x, sur Taxe des y et sur Taxe des z d'une droite MN égale à

i/(ë)'-(iy-(ï)'=

et ayant pour cosinus directeurs

an dx

( >6) c*est-à-direqui est dirigée suivant la normale à la surface d'égal indice absolu de réfraction^ =:const. Cela étant, on conclut du théorème fondamentaToes projections que la droite MN est la résultante géométrique des deux droites MT et iNIG, et par conséquent que le point M de la trajectoire lumineuse et les trois points T, N et C précédemment déûnis sont les sommets d'un parallélogramme qui, à cause de laperpendicularitéde MC et de MT, est ici un rectangle. Ce théorème de Géométrie équivaut aux trois équations (5 bis); il montre immédiatement que le plan d'incidence TMN coïncide avec le plan osculateur TMC de la trajectoire lumineuse et que l'angle d'incidence TMN = i a pour tangente TN MG n TM ~ TM "" dn'

Ce dernier résultat

P ds

nous sera plus tard d'une grande utilité; on en déduit

d'abord

ds . dn

— = tangi —

et, en intégrant depuis l'origine A jusqu'à l'extrémité B de la trajectoire lumineuse,

Or deux cas sont à distinguer : la trajectoire peut être plane ou gauche.

Dans le premier cas, l'intégrale / — est évidemment

l'angle que forment les tangentes à la courbe lumineuse en ses extrémités A et B, et par suite ce qu'on appelle la

( <7 ) réfraction totale qu'éprouve la lumière pendant tout son trajet. Ainsi l'évaluation de cette réfraction, qui est, en définitive, l'objet véritable du problème à résoudre,

se ramène à celle de l'intégrale / tangi

Si la trajectoire lumineuse n'est pas plane, l'intégrale

tangi — > quoique moins utile, a encore une significa-

tion remarquable.

Supposons que les rayons lumineux considérés soient ceux qui émanent d'une étoile et que le milieu traversé par ces rayons soit l'atmosphère; menons par l'œil de l'observateur des rayons de la sphère céleste respectivement parallèles aux différentes tangentes à la courbe lumineuse, depuis celle qui répond au point A jusqu'à celle qui correspond au point B5 les extrémités de ces rayons seront les positions apparentes de l'étoile pendant le temps que la lumière émanée de l'étoile met à traverser l'atmosphère; donc le lieu de ces extrémités sera

l'arc de courbe que paraîtra décrire l'étoile dans le même

/ds — sera ce que nous avons appelé

la distance angulaire correspondant à cet arc de courbe.

§ IV. — Mouvement de la lumière émanée d'une

ÉTOILE, A TRAVERS l'aTMOSPHÈRE, DANS LE CAS OU LA DENSITÉ DE CELLE-CI NE DÉPEND QUE DE LA DIS- TANCE AU CENTRE DE LA TeRRE.

Nous allons appliquer les résultats généraux qui précèdent à un cas particulièrement utile en Astronomie, celui où il s'agit d'un rayon lumineux qui, émanant d'une étoile, c'est-à-dire partant du vide, arrive en un point de la surface de la Terre, après avoir traversé la

( '8) masse gazeuse appelée atmosphère. Nous supposerons, comme on le fait communément, que la Terre est sphérique et que les surfaces d'égale densité ou d'égal indice absolu de réfraction de T atmosphère sont des sphères concentriques à la Terre*, nous conserverons d'ailleurs les mêmes notations que dans ce qui précède. Cela posé, si nous prenons le centre de la Terre pour origine des coordonnées, n sera une fonction de

les dérivées partielles t-» t-» ^—seront donc respectî-

* ox oy az *■

vemcnt proportionnelles à x^y^ z et les deux équations (4 his^ de la trajectoire lumineuse deviendront

que nous remplacerons par les trois suivantes :

ds -^ ds

dz - dx

(i) < xd.n — = zd,n — r- = o,

^ \ ds ds

, dx , dy

yd.n -z xd,n -j- = o.

^ ds ds

Les premiers membres sont ici des différentielles exactes. En effet,

j dy j dz

zd.n -f yd.n -=-

ds -^ ds

j dy dy dz ^ dz dz dy

= d.nz -y- — n -^ d,ny -— -h n — r^

ds ds "^ ds ds

yd.n

" ds

ds '

Wi-

on peut donc faire immédiatement une première in gratîon pour chaque équation et, en appelante, C, des constantes arbitraires, on trouve les trois équatio dilTérenli elles du premier ordre

ds '

i distinctes et

lesquelles, bien entendu, ne réduisent à deux.

Ces dernières équations conduisent encore à une au qui est en termes finis; on n'a qu'à multiplier la pi mière par x, la deuxième parj)', la troisième par r e ajouter membre à membre, ce qui donne

0=C3f+G'/-HG'3.

On voit alors que l'on peut, en définitive, prend pour les deux équations qui définissent complèteme la trajectoire lumineuse l'équation en termes finis

{a) Cx + C'y-^Cs^o,

et l'une des équations difTérenti elles du premier ordre (■ l'équation

par exemple.

L'équation (a) montre que

meut dans un plan passant par l'origine^ ce plan n est autre que le plan appelé vertical qui contient le rayon lumineux à un moment donné, au moment où il pénètre dans Tatmosplière ou lorsqu'il parvient à l'œil de Tobservateur.

L'équation ( i) est également susceptible d'une interprétation géométrique : en effet, diaprés une formule connue, y dx — x rfj^est la projection sur le plan des jc^ du double de l'aire infiniment petite dv décrite par le rayon vecteur r de la trajectoire et par conséquent est égal au produit de a éf o- par le cosinus de l'angle a> du plan de la trajectoire avec le plan des xy] mais d(T est la surface d'un triangle ayant ds pour base et pour hauteur la perpendiculaire abaissée du centre de la Terre sur la tangente à la trajectoire, c'est-à-dire rsini ; donc

n{y dx — X dy)^= nr smi cos (d, donc l'équation (6) peut s'écrire

nr sin i cosco =i: C,

ou simplement

nr sin i =■ K,

K étant une nouvelle constante.

La constante K est facile à déterminer : si nous appelons a le rayon de la Terre, fiq l'indice absolu de réfraction pour la couche d'air qui est en contact avec la

surface de la Terre et Za l'angle aigu sous lequel le

rayon lumineux vient frapper la Terre, dé façon que z^ soit la distance zénithale apparente de l'astre après que la lumière émanée de l'astre a traversé toute l'atmosphère, il est évident que noasinza est la valeur particulière de nrsini qui correspond à l'extrémité de la trajectoire^ cette expression est donc égale à la con-

stante K et nous pouvons écrire |

Nous terminerons là ce qui se rapporte à la recherche de la trajectoire lumineuse. La détermination complète de cette trajectoire n'est pas, en effet, indispensable pour le but que nous voulons atteindre ; ce qu'il importe de connaître, c'est le changement de direction subi par le rayon lumineux depuis le moment où il pénètre dans l'atmosphère, jusqu'à celui où il parvient à la surface de la Terre, c'est-à-dire ce que nous appellerons la réfraction totale R. Or, la trajectoire lumineuse étant plane, comme on l'a vu plus haut, la réfraction totale R est l'angle que forment les tangentes aux extrémités de cette courbe et par conséquent a pour valeur, d'après un résultat obtenu à la (in du paragraphe III,

l'intégrale définie / tangi — > étendue de l'origine à l'extrémité de la courbe lumineuse. C'est de l'évaluation de cette intégrale que nous allons exclusivement nous occuper dans ce qui va suivre.

§ V. — Relations entre les divers éléments

DE l'atmosphère. — TRANSFORMATIONS DE l'iN- TÉGRALE DÉFINIE / tangT .

L'évaluation exacte de l'intégrale définie / tangi — ne peut être entreprise qu'après avoir mis celle-ci sous

la forme / ^(x)dx^ où x désigne la variable que l'on

choisit pour fixer les différents points de la trajectoire lumineuse, cp(x) une fonction bien déterminée de x^ et Xo et X les valeurs particulières de x qui se rappor-

tent aux extrémités de la courbe. Or, dans l'état actuel de nos connaissances sur la constitution de Tatmosphère, ce premier pas est absolument impossible à franchir, quelle que soit d'ailleurs la transformation que Ton fasse subir à l'intégrale. En effet, les différentes quantités qui se rapportent à un point M de l'atmosphère sont, indépendamment du rayon vecteur r et de l'indice absolu de réfraction n déjà considérés, la densité p, la pression p rapportée à l'unité de surface, la gravité g^ c'est-à-dire l'attraction terrestre rapportée à l'unité de masse, ou bien encore, d'après ce que l'on démontre cnMécanîque, l'accélération du mouvement des corps pesants dans le vide, la température T indiquée par le thermomètre centigrade et la hauteur barométrique H; elles ne sont pas reliées entre elles par un nombre de relations suffisant pour permettre d'exprimer les quantités dont on a besoin en fonction de celle d'entre elles qui est prise comme variable indépendante et qui fixe la position des différents points de la trajectoire lumineuse. La seule chose que Ton puisse faire, c'est de se servir des relations connues pour mettre

tangi — sous diifé rentes formes et de voir si, parmi ces

formes diverses, il n'en est pas une qui, au moyen d'hypothèses permises et de restrictions convenables ,

tangi — j sinon exactement, du moins avec une approximation suffisante pour les applications.

Avant de rappeler les lois auxquelles sont soumises les quantités r, tz, p, p, g^ T, H définies précédemment et auxquelles on donne le nom à^ éléments de V atmosphère, il ne sera pas inutile de bien préciser le sens que nous donnerons à ces éléments. Deux d'entre eux, n et T, sont des nombres abstraits d'après les définitions mêmes ;

( 23) ils ne donnent donc lieu à aucune difficulté-, les cinq autres seront aussi regardés comme des nombres abstraits, mais ces nombres n'auront rien d'absolu, ils résulteront de certaines conventions et de certaines propriétés géométriques ou mécaniques. On sait qu'en Mathématiques il existe trois entités essentielles et irréductibles : la longueur ou portion de droite, Tintervalle de temps, la masse d'un corps. On convient de remplacer une longueur, un intervalle de temps, une masse, pris chacun dans des circonstances bien déterminées et connues, par des nombres arbitrairement choisis, de manière à fixer ce qu'on appelle les unités de longueur, de temps et de masse; toutes les longueurs, tous les intervalles de temps, toutes les masses, sont alors remplacés par des nombres déterminés, car les rapports de deux longueurs, de deux intervalles de temps, de deux masses sont des nombres abstraits bien définis. Quant aux nombres représentant les autres éléments, nous les fixerons au moyen des égalités suivantes, que Ton emprunte à la Géométrie et à la Mécanique et qu'on démontre être vraies pour tous les cas, dès qu'elles ont lieu dans un cas particulier. Le nombre qui représente une surface de forme rectangulaire est égal au produit, des nombres qui représentent la base et la hauteur et le nombre qui représente un volume de forme prismatique est égal au produit du nombre qui représente la surface de la base par le nombre qui représente la hauteur. Si Ton fait osciller un pendule simple dans le vide, le nombre t qui représente la durée d'une oscillation, le nombre / qui représente la longueur du fil de suspension et le nombre g qui représente la gravité sont liés par la relation

Le nombre qui représente la masse d'un corps est égal au nombre qui représente le volume multiplié par le nombre qui représente la densité ; enfin le nombre qui représente le poids d'un corps est égal au produit du nombre qui représente la masse par le nombre qui représente la gravité.

Revenons maintenant aux lois qui régissent les éléments de l'atmosphère, en supposant d'ailleurs ceux-ci préalablement évalués en nombre : ces lois sont au nombre de quatre et consistent en des relations entre les valeurs générales de r, /z, p, /;, ^, H des éléments de l'atmosphère et les valeurs particulières /'', n!^ p\ p\ ^^ H' qui se rapportent à un point déterminé IV^.

1° Loi des puissances réfractives. — La fonction vr — I de l'indice absolu de réfraction n^ appelée puissance réfraciive, est proportionnelle à la densité p ; par conséquent on a

2** Loi de Mariotte. — Si en un point quelconque M de l'atmosphère on considère un volume d'air V répondant à une masse déterminée, ce volume, préalablement ramené à la température de o°. c'està-dire remplacé par ce qu'il devient lorsque la température passe de sa véritable valeur T à la valeur o, est en raison inverse de la pression p. Or au volume V à la température T correspond le volume

=î à la température de o**, m étant le coefficient

o, 008671 de dilatation de l'air; donc le produit ^-=

est constant. Mais, V répondant à une masse constante,

Vp est aussi constant: donc —, — — — t^ est constant, et

^ ' p(i-f-/nT) '

l'on a

P i-h /nT p' i-hmT'

3** Loi de la gravitation. — On sait qu'en appelant <p l'attraction exercée par une masse égale à i sur une autre masse égale à i placée à une distance égale à I de la première, l'attraction exercée par la Terre, dont nous désignerons la masse par [Ji, sur une masse égale à m placée en un point quelconque M de l'atmosphère, est \ 'y donc la gravité en M est ^ ; par suite, gr^ est constant et l'on a

4** Loi des hauteurs barométriques. — ■ Pour un corps incompressible, le poids est proportionnel au produit de la gravité g par le volume préalablement ramené à la température de o**. Or la pression p est le poids d'un volume de mercure égal à H à la température T et

par conséquent égal à jrpp à la température o*^, en

appelant M le coefficient o , ooo 1 79 de dilatation du mer-

cure^ donc p est proportionnel à j^^ ; donc on a

^ ' y ~ H' ^ i-f-MT'

Les relations (a), (i), (c), (d) ont été établies en regardant les points M et M' comme tout a fait quelconques et sans fixer les unités de longueur, de temps et de masse. Or supposons d'abord que le point M' appartienne à la couche de l'atmosphère qui est en contact avec la Terre et soit dans ce qu'on appelle les conditions atmosphériques normales^ c'est-à-dire celles pour les-

quelles le llicrmomètre et le baromètre marquent simultanément zéro et o^^y6^ nous aurons d'abord T'=: o, et, d'après les expériences de Biot,

Prenons ensuite la longueur du mètre pour unité de longueur, la masse du mètre cube d'air pris dans les conditions atmosphériques normales pour unité de masse; et choisissons enfin l'unité de temps de façon que la durée de l'oscillation du pendule simple dont le fil de suspension a i"^ de longueur soit représentée par le nombre w ; nous aurons sur-le-champ, en nous rappelant ce qui a été dit plus haut pour la détermination des nombres qui expriment les ditFérents éléments : H' =0,76; /•' qui est le nombre de mètres contenus dans le rayon a de la Terre =636()738, g'=i^ p' = I ; quant au nombre p^j nous le trouverons eu observant qu'il est égal à celui qui représente le poids d'un volume de mercure exprimé par 0,76 à o^y ou, d'après les expériences de Regnault, à celui qui représente le poids d'un volume d'air 10017,3 fois plus grand et pris cUns les ûpn^itipM atmosphériques normales, lequel poiafiJ?st représente par i ; clone

/>' = o,76 X io5i7,3 = 7993, i4g.

Cela posé, les relations (a), (è), (c), (d) deviendront

«) '' = ™'.'<S^(?)'tTTît'

qui permettront d'exprimer quatre des sept éléments de

( 27) l'atmosphère en fonction des trois autres et d'eflectuer, en supposant que le point M soit un point de la trajectoire lumineuse, toutes les transformations que Ton peut

tangi — • Ajoutons, toutefois,

que ces transformations nécessiteront encore la connaissance des valeurs des éléments pour l'extrémité B de la trajectoire lumineuse. Or, en supposant que le point M soit un point Mq d'abord quelconque de la couche qui est en contact avec la surface de la Terre, ce que nous exprimerons en mettant l'indice zéro aux lettres qui expriment numériquement les différents éléments, les équations (i), (a), (3), (4) deviendront

/l} — I = 0,000588768 pO)

/»o== 7993, i#ft(i -+- niTo),

Po^799h^^-~^

qui déterminent quatre des six nombres /io> ^9^ Po^ goj Tq, Ho en fonction des deux autres ; si donc on prend pour Mq l'extrémité B de la trajectoire lumineuse, on voit que ni — i, po^Po pourront être considérés comme connus, car, B étant alors le lieu de Tobservation, Tq et Ho seront donnés à l'aide du thermomètre et du baromètre, au moment de chaque observation.

Nous poserons, pour abréger,

0,000688786 ~ , -.^ . . 7v-^ = aa,

' ^ 76 (i-f-MTo)(i-hmTo)

7993, 145(1-+- '^To)=p,

a et ^ étant des constantes connues, ce qui nous donnera

«0= /i-+-aa, ^ — ?'>

puis^ nous bornant aux relations qui nous seront utiles, nous écrirons

p p p i-h mT

po /?o Po i-f-mT

ou, plus simplement y en posant

Po />0

i-f-mT i-f- /nTo

Ces dernières relations nous permettent de donner

///fi tangi — la forme qui doit en rendre

l'évaluation approchée la plus simple possible. Choisissons celle que Ton obtient en exprimant i et n en fonction de u et 5, ce qui rendra d'abord nécessaire la connaissance, pour ces deux variables, de leurs valeurs limites, c'est-à-dire des valeurs qui correspondent à la limite inférieure et à la limite supérieure de l'intégrale ou encore à la couche supérieure de l'atmosphère et à la couche qui est en contact avec la Terre. Or, s'il s'agit

de u =: -^, on trouve immédiatement o pour la limite în-

férieure et i pour la limite supérieure \ s'il s'agit de ^, la relation — = i — s montre que la limite supérieure esto et que la limite inférieure, que nous appellerons S, a pour valeur i =: = ^^ en appelant D la hauteur de l'atmosphère, laquelle hauteur ne dépasse pas 75^", en sorte que

est une limite supérieure de S.

Observons maintenant que la valeur de n est fournie

par l'équation

qui, difTérentiée logarithmiquement, donne

dn % du

quant à la valeur de tang t, on la déduit de l'équation

nrsini = rioa sin^^,

que nous avons obtenue dans le paragraphe précédent, après une première intégration des équations différentielles de la trajectoire lumineuse. Si Ton y introduit les variables u et 5, elle devient

yi -Haaw d'où Ton tire

yi-4-2a(i — f)sin.3a tangi= TV'»

et, en divisant haut et bas par cosza, dans le second membre,

v/i H- aa(i — 5) langea

tangi =

Cela étant, on a, pour la réfraction cherchée,

R= / tangï' — =av/i-f- 2 a tangua /

Jù (i-+-2aM

Cette valeur de R est exprimée en unités trîgonomé-

triques ; si on veut Tavoir exprimée en seconde^jvilfoudra encore l a divioop pgp e îa i^^ ou ]fl. multiplier par !m6265 et Ton aura finalement

R = a/n-aa.2o626^nLkng^a j j

L i-f-aaw J ^

§ VI. — Démonstration de quelques propriétés QUI facilitent la détermination de la réfraction R.

L'intégrale définie à laquelle nous sommes conduits, et où 5 est une fonction inconnue de u, parait présenter encore de grandes difficultés; on peut cependant en avoir une valeur aussi approchée que Ton veut pourvu que tangua soit suffisamment petit. Pour le montrer nous établirons d'abord quelques propriétés préliminaires :

Premier lemme. — On a

u ds = — - dvy a

aet ^ ayant la même signification que plus haut.

En effet, on sait, ou plutôt on suppose, que l'atmosphère est en repos relatif par rapport à la terre sous l'influence de Pattractioi^ de celle-ci, ce qui revient à dire qu'elle est en repos absolu sous l'influence de son poids. Or la condition d'équilibre d'une masse gazeuse, pour laquelle en chaque point M l'unité de surface supporte la pression p et l'unité de volume est soumise à l'influence d'une force extérieure F, s'exprime par la

(3.) condition

eu représentant par la caractéristique S les diirérenti elles totales relatives à un déplacement infiniment petit quelconque du point M et par la caractéristique ^e les travaux élémentaires pour le même déplacement ^ mais, dans le cas particulier de l'atmosphère, F a pour grandeur le poids de l'unité du volume, c'est-à-dire le produit gp de la gravité par la densité et pour direction celle du rayon vecteur r prise en sens contraire, de sorte que EffF = — gpdr: donc la condition d'équilibre devient

laquelle entraîne comme cas particulier

dp='-gpdr,

en désignant toujours par la caractéristique d les ditFérentielles relatives à un déplacement infiniment petit effectué sur la trajectoire lumineuse.

Introduisant dans cette dernière équation z/, v^ s à la place de p, p^ r, il vient

Podv — — as,

et, à cause de gr- = a^,

uds = dv

poa

OU, d'après ladéfinition de p,

Uds=: — ^ dç, C.Q.F.D.

Remarque. — La propriété précédente conduit immédiatement à la valeur exacte de l'intégrale définie / s du

(3a) et à une limite supérieure de l'int^rale définie

J[ s^duj qui nous sel^ont utiles.

En effet, en intégrant par parties, on trouve

Jf sdu=( usY — / uds= I ^ dv = - Jr Ja "^ «

Jf s^du = (us^)\ — a / suds = %- \ sdv

= 2- (t'^)! — I çds\= — a" I vdsi

mais la relation vf=^u =- montre que if est tou-

jours plus petit que u, car, la température T s'abaissant à mesure qu'on s'élève dans l'atmosphère, on a

i-f-mT < i-4-mTo, donc

/v ds<i I uds = — ^ I dç = -y

donc

f s^du<7.(^y ou r s^du^z^^fiy,

étant un nombre compris entre o et i .

Deuxième lemme. — L'expression

i-4-aa

OU la suivante

H-aaw— (i-f-2a)(i — 5)*

est toujours positii^e pour toutes valeurs de s^ de o à S, et pour les valeurs correspondantes de m.

( 33) Puisque v est toujours plus petit que Uy il sera établi que

est positif, si nous démontrons qu'il en est ainsi de

Or cette fonction est nulle pour 5 = 0, car alors ^ = i : il suffit donc de faire voir qu'elle est croissante avec 5, ou que sa dérivée par rapport à s

aa -T- H-2(n-2a)(i — s) ou 2(n-îia)(i — s)—ii-^au est positive; par conséquent, que l'on a

OU, en remplaçant a et ^ par leur valeur,

Ho ^^^•7W3/4<P wr.294384 — \ <i »7i y9 y3i éKi-H/nTo)«(i-f-MTo).

Mais, dans les applications à l'Astronomie, on suppose toujours

o,63< Ho < 0,789 et --3o<To<5o,

ce qui donne

0,88987 <(!-+- /nToX I ,i836,

o, 99463 <(!-+- MToX i ,00896,

l^^iV^MO Ho

t,9i0û4y3"< log — g- < 0,01622810,

î? 949^^66 < log(i -i- /TiToX 0,0732050, 1,9976616 < logd -H MToX 0,0038696.

En remplaçant, dans le premier membre de l'inégalité

(34) qu'il s'agît de vérifier, r, u, — ~ par leur valeur maxîma,

c'est-à-dire r par a-f-D = 644i738, a par i,— ^j^par

i,o382, puis, dans le deuxième membre, i + mTo, I -h MTo par leur valeur minima, c'est-à-dire i -h mT„ par 0,88987, et i H- MTq par 0,99463, afin de se placer dans le cas le plus défavorable, qui est celui auquel il suffit d'avoir égard, on voit que tout se réduit à vérifier l'inégalité

6441738.394384. i,o382<io7..79r)3iiS%o, 88987.0, 99463 ou

IWÎ^

io«.6,44i738.Î^ÎH%^ I ,o382 < 7,99315.8,8987.9,9463 ou, a fortiori j

io».6,44i8. a,943JM ,o382< 7,9931.8,8987.9.9463.

Substituant à cette inégalité, l'inégalité logarithmique correspondante et observant que : 1**

ce qui donne. .. 3,2942ii3

pour le premier membre de la nouvelle inégalité, et, 2"

ce qui donne. . . 3,7990300

pour le second membre, on voit que l'inégalité logarithmique est satisfaite et, par suite, que l'inégalité primitive l'est aussi.

. Remarque, — Dans la démons Ira lion ou plutôt la vé" trifîcation qui précède^ ^i^ * supposé que les constantes my M, a, D, ^(«0^ — i) et Pq qui représentent respectlVe-* ment le coeHicient de dilatation de Tair, le coefficient de dilatation dû mercure,' le rayon terrestre, la hauteur de l'atmosphère, la demi-puissance réfractive et la pression en un point de Tatmosphère situé à la surface de la terre dans les conditions atmosphériques normales, étaient rigoureusement définies par les relations -

,/nt = OyOo367i, M, = 0,000179, « = 6366738, ^ . D= 7^000, \{n'^ — i) i= 0,000294384, />'o = 7993, i48.

Dé plus, on a regardé les logarithmes à sept décimales fournis par les Tables comme jouissant d'une manière absolument exacte des mêmes propriétés que lés logarithmes vrais ou. théoriques au point de vue de la simplification des calculs numériques. Or tout cela n'est vrai qu'approximativément, et l'on peut avoir des doutés sur l'exactitude de la conclusion à laquelle nous avons été conduits. Voici une manière de raisonner qui est entièrement rigoureuse.

On peut loujourp poser

ainsi que cela résulte de calculs et d'expériences incontestés. Cela étant, nous aurons d'abord