THÉORIE GÉNÉRALE DES TRAINS ÉPICTCLOÏDAUX

Emploi pratique des traim épicycloidaux , M. Willis range en quatre classes les divers usages qu'on peut en faire.

Premier usage. Il a lieu lorsque le mouvement épioycloïdal, c'est-à dire celui d'un corps tournant autour d un axe qui tourne lui-même autour d'un autre axe, fixe, est le but spécial qu'on se propose.

Tracé mécanique des courbes épicycloidales. Si, par exemple, Taxe de l'arbre QQ mobile est parallèle à Taxe fixe MIV, un point quelconque adhérent à cet arbre et plus ou moins éloigné de son axe, décrit dans Tespace une courbe plane qui peut être dessinée sur un plan fixe par une pointe traçante T.

Le mouvement du corps QQT est alors, comme nous Pavons dit (2* question, d" cas), composé de la translation circulaire ^wa et de la rotation wq.

Mais il peut, plus simplement encore, se ramener à une rotation unique, instantanée, équivalente à un roulement cylindrique, suivant ce qui a été expliqué à larticle 66. Le plan de la figure H2 étant perpendiculaire aux axes de rotation, soient M la projection de l'axe fixe, et Q celle de l'axe mobile à un instant quelconque. La vitesse de la rotation w^ étant dans le sens de la flèche, la vitesse de la translation circulaire est représentée par QV = ^-iua. La rotation composante wq étant supposée de même sens que tu^^ Taxe instantané O du corps entraîné s'obtient en écrivant que, considéré comme invariablement lié à ce corps, il a actuellement et instantanément sa vitesse nulle dans Tespace. Or en représentant la distance OQ par X, on remarque que la vitesse du point O se compose de la translation q.Wt, dirigée au-dessus de MO, et de la vitesse jc.wq en sens contraire due à la rotation wq. Donc la situation de Taxe instantané O est donnée par l'équation

jc.WQ = ^.ti;A. [10]

Ainsi il suffirait de connaître le rapport des rotations wq et wa, et la distance q de leurs axes, pour en conclure l'autre dis-

228 CmÉHATIQUE. SECT. 11^ CHAP. II.

tance x, et se figurer que le corps entraîné QQT se meut comme s'il était invariablement lié à un cylindre dont le rayon serait x, roulant sur un cylindre fixe qui aurait MIV pour axe et MO ou y-— j: pour rayon.

Les vitesses angulaires tfQ et wi sont d'ailleurs^ comme on Ta vu, liées à la rotation k^b par l'équation [8]

ivq = w^ (1 — e) + w^& .

Concluons : 1° que si Ton se donne un train épicycloïdal et par conséquent les quantités e et ^ et si Ton assigne une valeur déterminée au rapport — des rotations de la première

roue B et du porte-train A, on pourra calculer — et par

suite X. Si Ton se donne en outre la distance r de la pointe traçante à Taxe Q, la courbe décrite sera parfaitement déterminée et pourra être griaphiquement construite par points. Dans le cas particulier où la distance r serait prise égale à x,

c'est-à-dire à a — , le point décrivant serait sur la sur-

face même du cylindre roulant et la courbe serait une épicycloïde.

2° Réciproquement, si Ton se donne .r et 7 — x, rayons des

deux cylindres dont l'un roule sur l'autre, on en conclura —

égal à ' et il ne restera plus qu'à déterminer — et s de manière à satisfaire à Téquation [8]

Cela pourra se faire d'une infinité de manières; et ce qui sera le plus simple, sans altérer la courbe décrite, sera de

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faire tiiB=o, c'est-à-dire de rendre la roue B fixe dans Tcspace. La courbe sera alors décrite par l'effet du mouvement du porte-train^ et la dernière formule se réduira à

en laissant subsister Téquation [10]

Construction graphique de la courbe épicycloîdale. L'équation [i 1] fournit le moyen de construire par points la courbe

dont il s'agit. Il suffit pour cela de considérer le rapport —

comme étant celui des déplacements angulaires simultanés du corps QQT entraîné et du porte-train. Ainsi la figure 143 étant dans le plan de la courbe, M son intersection avec Taxe fixe MIV,, et Q^ son intersection avec Taxe mobile QQ à un instant initial, soit T^^ la position à ce même instant du point décrivant. Pour obtenir un autre point T, de la courbe, on supposera que le porte-train a tourné d'un angle a, ce qui a amené l'axe mobile en Q, , et Ton tracera Q,IV, parallèle à QoTo, puis la droite Q,T, égale à Q^T^ et faisant avec Q,1V, Tangle P égal à (i — s) a , ce qui revient à faire avec le prolongement de MQ, un angle ea en sens contraire de Fangle a, si £ est positif; (et en effet dans ce cas la rotation relative Wq du rayon QT doit être de même sens que la rotation relative Wb, et puisque la roue B est immobile dans l'espace, sa rotation relativement au porte-train est égale en sens contraire à la rotation Wa de ce support ; c'est ce que dit d'ailleurs l'équation [11 quand on y fait Wb = o).

La construction qui vient d'être indiquée est conforme à ce qui a été décrit à l'article 65 pour la figure 26.

230 cmÉMATiQOB. SECT. n^ châp. n.

Le tracé mécanique des courbes épicycloïdales fournit des figures très-variées appiicîïbles au dessin d*ornement. Le Traité de Cinématique de M. Ch. Laboulaye, pages 583 à 587, en offre des exemples curieux.

Deuxième usage des trains épictcloïdaux. Ce genre de mécanistne sert à établir entre les vitesses angulaires de deux arbres un rapport exprimé par deux nombres dont les facteurs premiers sont très-grands. Nous en avons vu un exemple à Farlicle 463. A cette classe des applications se rapporte le cas où, deux rotations étant données, on en obtient une troisième égale à la demisomme des deux autres, comme il est expliqué à l'article 165.

Troisième usage. II a lieu lorsque» une rotation étant donnée, on veut en obtenir tme autre beaucoup plus lente. L'article 162 en indique un exemple.

Quatrième usage. Ce dernier emploi d'un train épicycloïdal se réalise lorsque, comme nous l'avons dit en terminant la, solution de la deuxième question, page 223, deux rotations étant données, Tune constante, l'autre variable, il s'agit d'en obtenir une troisième, composée de deux parties respectivement proportionnelles à ces deux rotations.

2^ GENRE. RAPPORT DES VITESSES GONSTAKT. AXES CONGOURAtlTS.

167. Contact Immédiat. — 17. Cônes roulants,*-*^ i8. Engrenage conique. Nous n'avons rien à ajouter ici à ce qui ajété dit au chapitre III, articles 106 et 107. Les mécanismes indiqués ci-après (169, 170 et 171) sont applicables an cas particulier où les axes exlrèines soal dans un même plan.

3' gënke. rappokt Dr.s vitesses constant, axks non sitoés dans on mêmb plan.