Équations 4o mouvemeiit d'un point dans l'espace

Pour définir le mouvement d'un point, il faut exprimer le moyen de trouvera tout instant la situation de ce point, A cet effets on introduit dans renoncé le temps écoulé à compter d'une origine convenue, instant initial, et les coordonnées variables nécessaires pour déterminer la situation du mobile. Si, par exemple, ces coordonnées sont «, y, », mesurées sur trois axes concourants, et qu'on puisse obtenir trois équations distinctes (**),

les lettres §^, J*,, 0^ indiquant des fonctions déterminées, et la lettre t désignant le temps écoulé depuis l'instant initial, c'està-dire choisi pour origine des t6mps, jusqu'à Pinstant où les coordonnées du point mobile sont devenues oc, y et «, le mouvement du point (xy y y z) est rigoure^sement défini, car à toute valeur de t, c'est-à-dire à tout instant choisi dans la succession du temps, répondent trois équations qui déterminent le mobile

(*) Od voit que, dans le langage précis qui convient à une science ma- Ihémalique, le mot instant a un sens plus restreint que dans le langage ordinaire, où il signifie souvent un tem'ps très-court. En mécanique, Tinstant n'a pas de durée, de même qu'en géométrie le point n'a pas de longueur. L'instant n'est pas même un temps infiniment petit, et nous évitons de dire « IMnstanl dt. »

(**) Nous appelons équations distinctes un groupe d'équations qui doivent être satisfaites simultanément et dont aucune n'est une conséquence nécessaire des autres. Deux groupes d'équations sont équivalents lorsque chacun d'eux a les mêmes solutionsque l'autre.

4 CmÉMATlQUB. SECT. I, CHAP. I.

par ses coordonnées. Ces trois équations ou leurs équivalentes s'appellent les équations du mouvement du point dans Tespacé. Lorsque, à priori, ou par les procédés de Télimination, on peut obtenir une des coordonnées variables exprimée en fonction du temps, cette équation définit le mouvement de la projection du point mobile sur l'axe parallèle à cette variable ; ainsi, par exemple, x'-= ç (i) exprime le mouvement de la projection du point dont il s'agit sur Taxe des x, projection faite à chaque instant par un plan parallèle à celui des j^ et des z. Si Ton peut obtenir deux équations indépendantes de Tune des trois coordonnées, comme

^(x,y,t)'=:0 et f, (x, y,t)=0,

elles expriment le mouvement de la projection sur le plan des deox autres coordonnées, par exemple le p(an des jc et y {*). Trois équations

qui donnent les trois coordonnées variables du point mobile, en fonctions explicites du temps, ramènent Tétude du mouvement quelconque d'un point dans ^espace à celle de trois mouvements rectilignes sur les axes coordonnés.

Si par Télimination du temps t on obtient une équation en JC, y et z, c'est l'équation d'une surface sur laquelle le point se meut ; si l'on parvient à deux équations en x, y et 2, ce sont les équations de la trajectoire. Si entre ces deux équations on élimine une des coordonnées variables, l'équation ^ (x, y) = 0,

{*] Les projections ont ici une signitication plus générale que dans les questions ordinaires de la géométrie descriptive. Divers points se projettent^ soit rectangulairement, soit obliquement, sur un plan par des parallèles à une. droite directrice; ils se projettent sur une droite par des .plans parallèles à un plan directeur.

ÉQUATIONS DU ttOUVBKfiflT D^UN POINT. 5

par exemple, qui en résulte, est celle de la projection de la trajectoire sur le plan des deux axes parallèles aux coordonnées restantes (plan des x et des y), projection faite par des droites parallèles au troisième axe (axe de z).

Ces aperçus généraux, sur lesquels il serait superflu d'insister en ce moment, suffisent pour faire pressentir Fimmense service que rend aux théories de la mécanique l'expression algébrique des projections des lieux géométriques suivant l'invention , aussi admirable que simple, de Descartes.